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[摘要]余数要比除数小，这一规律在中年级教师看来是理所当然的，是不需要深入解释的。学情调查后发现，很多学生对于“余数要比除数小”的理解一知半解。教师可基于学情研究这一规律的阐释，以打通学生的思维脉络。
[关键词]余数;除法;五入调商
[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]1007-9068（2020）17-0064-02
“有余数的除法”是苏教版教材二年级下册第一单元的教学内容，它是学生学过的表内除法知识的延伸和扩展。除法计算教学的目标绝不能仅仅局限在让学生掌握一项运算技能上，而应着力引导学生经历算理的理解过程、算法的探索过程，及灵活应用相关运算方法解决问题的过程，促进学生掌握数学基本思想，发展数学思维。
一、案例回放：遭遇“余数等于除数”的尴尬
在教学苏教版教材四年级上册第二单元“两三位数除以两位数笔算”的“五人调商”这一课时遇到了“余数和除数相同需要调商”这一教学难点，笔者提问学生：“为什么当余数和除数相同时要把商调大？”绝大多数学生脱口而出：“余数要比除数小。”也有部分学生说：“余数不能等于除数，要小于除数。”但当笔者追问“你知道为什么除数要比余数小吗？”时，绝大多数学生沉默了。
为了让学生准确理解余数和除数的关系，笔者设计了如下三个教学活动。
活动一：说出“240÷40=”的口算结果。
学生很快就口算出结果是6，笔者进一步追问：“你知道商表示什么意义吗？”大部分学生可以说出商“6”是指6个40，有学生进一步解释：表示240里面有6个40。在回顾了整除意义以后，笔者给出了第二个活动。
活动二：完成“250÷40=6……10”的竖式计算。
根据已有的知识经验，学生基本理解商6表示250内有6个40，余数10是250减掉6个40（也就是240）后余下来的。由此可以确定余数10是被除数250上余下的。因此，余数是被除数不能被整除的情况下，也就是不能被整分的情况下从被除数上多出来的。余数本质属于被除数的一部分。在学生深刻理解余数是被除数一部分后，笔者给出了活动三。
活动三：根据情境图列出算式并用竖式计算。
大多数学生能够列出算式，也能用竖式计算，但有部分学生发现计算252÷36时，当商6时余36和除数相同，需要把商6調大1变成7。为什么要把商调大1呢？很快就有学生观察到了余数和除数相等，由于前面铺垫了“余数为什么要比除数小”，所以笔者在此追问：“为什么余数和除数相等时要把商调大17”经过讨论，学生汇报了几条理由：
理由一：36是从被除数上余下来的，由于余数是被除数的一部分，所以它还可以分出一个36，也就是能再除一次商1，这个1应该加在原来的商上，所以6 1=7，因此商应该调大1，变成7。
理由二：从题目的实际意义出发，252本书分给36名同学，现在如果每人分6本还余下36本，这时还能每人分1本，所以每位学生分到的应该是6 1=7本，体现在竖式上应该把商调大1变成7。
对于四年级学生来说，余数不是一个新概念，他们对于余数特定的内涵和外延有一定的理解，但又不是很清晰。在这一节课中，学生经历了“出现错误——发现错误——探究错因——改正错误——总结归纳发现”的过程，并能用自己的方法解决问题和合理阐述算理算法，而这正是教师所要追求的本真课堂。
二、“多维互动”实现教学目标有效路径
“五人调商”是在学习了“四舍调商”后的提升课，有的教师把四舍和五人合起来上，更多的教师是根据教参安排分成两课时上。合起来上的优点是能够把知识点前后串联，分开上的优点是每一课时都能让学生充分体验算理，掌握规律。
1.定位教学价值，明确教学目标的“深度指向”
对于“五人调商”这一课时，教参上的教学目标为：（1）使学生学会用五人法试商后的调商方法，能通过调商计算两三位数除以两位数商一位数的得数;（2）使学生经历用五入法试商发现初商过小需要调大的探索过程，理解初商过小需要调商的原因和原理，提高除法笔算技能，发展除法运算能力和思维能力;（3）使学生在学习活动中积极思考、互动交流，并经历探究、获得新知的过程，提升学习数学的信心;培养认真计算、细心检查的学习习惯。
2.把握单元主题，提高教学目标的“深度限阈”
“限阈”在《新华字典》中的释义为界限与范畴，教学目标的“深度限阈”则指的是预期学习所能达到的合理界限与范畴。这就需要教师联系学生的数学学习经验，使教学目标的“深度限阈”完全契合学生的数学学习需求。
例如，利用教材上的例5教学当“四舍”试商时初商偏大需要调小的除法笔算;利用教材上的例6教学当“五入”试商时初商偏小需要调大的除法笔算。这样的安排，既突出了教学重点，又能有效突破教学难点，有利于学生通过自主学习理解算理、掌握算法，并形成必要的技能。教学中，教师需要对单元教学内容进行总体分析与把握，做出科学、合理且清晰的教学安排，从而提高教学的整体质量。
3.读懂思维路径，促进教学目标的“深度融合”
教师在明确教学目标的“深度指向”与“深度限阈”后还要将其与《义务教育数学课程标准（2011年版）》中要求的“知识技能”“数学思考”“问题解决”“情感态度”四个方面的总目标进行深度融合，抓住目标的构成要素，对“深度融合”后的教学目标进行清新表达。
一个个完整的教学目标包括了学习者、行为、情境和工具四个要素，这四要素要尽可能地在教学目标融合过程中凸显，同时知识技能、过程方法、情感态度三维目标要避免被割裂、被孤立。
总之，教师应在读懂学生思维的基础上尊重和理解学生;在教学实践中积极顺应学生的思维;在学生思维的断层处进行有价值的引导;在开放性问题的设计中不断优化学生的思维。让学生不断针对问题提出自己的见解，在对话、质疑、辩论、分享的过程中求同存异、谋求共识、建构意义，推动学生数学学习不断向纵深发展。
（责编黄春香）
[关键词]余数;除法;五入调商
[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]1007-9068（2020）17-0064-02
“有余数的除法”是苏教版教材二年级下册第一单元的教学内容，它是学生学过的表内除法知识的延伸和扩展。除法计算教学的目标绝不能仅仅局限在让学生掌握一项运算技能上，而应着力引导学生经历算理的理解过程、算法的探索过程，及灵活应用相关运算方法解决问题的过程，促进学生掌握数学基本思想，发展数学思维。
一、案例回放：遭遇“余数等于除数”的尴尬
在教学苏教版教材四年级上册第二单元“两三位数除以两位数笔算”的“五人调商”这一课时遇到了“余数和除数相同需要调商”这一教学难点，笔者提问学生：“为什么当余数和除数相同时要把商调大？”绝大多数学生脱口而出：“余数要比除数小。”也有部分学生说：“余数不能等于除数，要小于除数。”但当笔者追问“你知道为什么除数要比余数小吗？”时，绝大多数学生沉默了。
为了让学生准确理解余数和除数的关系，笔者设计了如下三个教学活动。
活动一：说出“240÷40=”的口算结果。
学生很快就口算出结果是6，笔者进一步追问：“你知道商表示什么意义吗？”大部分学生可以说出商“6”是指6个40，有学生进一步解释：表示240里面有6个40。在回顾了整除意义以后，笔者给出了第二个活动。
活动二：完成“250÷40=6……10”的竖式计算。
根据已有的知识经验，学生基本理解商6表示250内有6个40，余数10是250减掉6个40（也就是240）后余下来的。由此可以确定余数10是被除数250上余下的。因此，余数是被除数不能被整除的情况下，也就是不能被整分的情况下从被除数上多出来的。余数本质属于被除数的一部分。在学生深刻理解余数是被除数一部分后，笔者给出了活动三。
活动三：根据情境图列出算式并用竖式计算。
大多数学生能够列出算式，也能用竖式计算，但有部分学生发现计算252÷36时，当商6时余36和除数相同，需要把商6調大1变成7。为什么要把商调大1呢？很快就有学生观察到了余数和除数相等，由于前面铺垫了“余数为什么要比除数小”，所以笔者在此追问：“为什么余数和除数相等时要把商调大17”经过讨论，学生汇报了几条理由：
理由一：36是从被除数上余下来的，由于余数是被除数的一部分，所以它还可以分出一个36，也就是能再除一次商1，这个1应该加在原来的商上，所以6 1=7，因此商应该调大1，变成7。
理由二：从题目的实际意义出发，252本书分给36名同学，现在如果每人分6本还余下36本，这时还能每人分1本，所以每位学生分到的应该是6 1=7本，体现在竖式上应该把商调大1变成7。
对于四年级学生来说，余数不是一个新概念，他们对于余数特定的内涵和外延有一定的理解，但又不是很清晰。在这一节课中，学生经历了“出现错误——发现错误——探究错因——改正错误——总结归纳发现”的过程，并能用自己的方法解决问题和合理阐述算理算法，而这正是教师所要追求的本真课堂。
二、“多维互动”实现教学目标有效路径
“五人调商”是在学习了“四舍调商”后的提升课，有的教师把四舍和五人合起来上，更多的教师是根据教参安排分成两课时上。合起来上的优点是能够把知识点前后串联，分开上的优点是每一课时都能让学生充分体验算理，掌握规律。
1.定位教学价值，明确教学目标的“深度指向”
对于“五人调商”这一课时，教参上的教学目标为：（1）使学生学会用五人法试商后的调商方法，能通过调商计算两三位数除以两位数商一位数的得数;（2）使学生经历用五入法试商发现初商过小需要调大的探索过程，理解初商过小需要调商的原因和原理，提高除法笔算技能，发展除法运算能力和思维能力;（3）使学生在学习活动中积极思考、互动交流，并经历探究、获得新知的过程，提升学习数学的信心;培养认真计算、细心检查的学习习惯。
2.把握单元主题，提高教学目标的“深度限阈”
“限阈”在《新华字典》中的释义为界限与范畴，教学目标的“深度限阈”则指的是预期学习所能达到的合理界限与范畴。这就需要教师联系学生的数学学习经验，使教学目标的“深度限阈”完全契合学生的数学学习需求。
例如，利用教材上的例5教学当“四舍”试商时初商偏大需要调小的除法笔算;利用教材上的例6教学当“五入”试商时初商偏小需要调大的除法笔算。这样的安排，既突出了教学重点，又能有效突破教学难点，有利于学生通过自主学习理解算理、掌握算法，并形成必要的技能。教学中，教师需要对单元教学内容进行总体分析与把握，做出科学、合理且清晰的教学安排，从而提高教学的整体质量。
3.读懂思维路径，促进教学目标的“深度融合”
教师在明确教学目标的“深度指向”与“深度限阈”后还要将其与《义务教育数学课程标准（2011年版）》中要求的“知识技能”“数学思考”“问题解决”“情感态度”四个方面的总目标进行深度融合，抓住目标的构成要素，对“深度融合”后的教学目标进行清新表达。
一个个完整的教学目标包括了学习者、行为、情境和工具四个要素，这四要素要尽可能地在教学目标融合过程中凸显，同时知识技能、过程方法、情感态度三维目标要避免被割裂、被孤立。
总之，教师应在读懂学生思维的基础上尊重和理解学生;在教学实践中积极顺应学生的思维;在学生思维的断层处进行有价值的引导;在开放性问题的设计中不断优化学生的思维。让学生不断针对问题提出自己的见解，在对话、质疑、辩论、分享的过程中求同存异、谋求共识、建构意义，推动学生数学学习不断向纵深发展。
（责编黄春香）