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【摘要】为实现高中数学的高效课堂，根据控制论通过探索及实验，促成高中数学教学过程中的高效、稳定的调控。通过对照班与实验班，约一年时间的实验对比，实验数据证明了实施教学调控系统的班级效果显著。从控制系统的建立到正确的处理系统，实验总结了系统的操作程式，提高了学生的自我控制意识，优化了教学过程。
【关键词】高中数学；教学调控；控制论；优化教学
一、问题的提出
实施新课程以来，由于传统观念的束缚和升学考试的压力，在高中数学课堂上，注重抓成绩而忽略了学生数学素养的提升，同时也限制了学习者思维发展的广度与深度。本文以控制论及相关教育理论为基础，尝试建立教学调控系统来打造高效数学课堂，通过大量的具体实验教学，探索其程式和操作规律。
1948年Norbert Wiener发表了控制论，其中信息反馈是控制论中极为重要的一个观点：“为达到预定目的，控制系统发出信息，然后返回其结果，并对信息的再输出产生抑制作用。”
本文认为，所谓的教学控制系统是由实施控制的老师和受支配的学习者两个子系统和讲授信息组成的。通过信息反馈，在两个子系统的相互作用中形成正向或逆向的目标迁移运动，并在此过程中不断地进行自我控制的调整。
教学调控系统有三个特点：第一，教学系统中，老师是一个子系统、学习者是一个子系统，它们受到外部环境和自我调节控制的影响（如图1）。
图1 教学调控系统
第二，控制论的关键是信息反馈。通过信息反馈，两个系统之间和子系统内部连续控制运动中的正向或逆向目标的移动。
第三，调节系统是不确定的。因为受环境因素、学生的知识程度和心理状态、教师的控制能力和经验、以及信息响应的控制等多种随机因素的影响。
二、反馈控制
1.反馈系统的结构
传统教学中的“全堂灌”是单向控制，在表象上，这个过程是可以按照预先设计的计划行事的，但是因为控制系统不会接受物体的反馈信息，几乎都是靠是主观的、闭塞的猜测，所以这种控制往往是不切合实际的 （如图2）。
图2开环单向控制系统
反馈系统则针对了开环中单向控制的缺点，进行了双向控制的改良。由于反馈效应允许系统无间地将反馈信息与控制目标进行对比，并根据其差异调整下一路的输出，因此反馈控制系统也被称为闭环双向控制系统（如图3）。
图3闭环双向控制系统
案例1：用几种教学形式来解线性方程的练习：过点作一条直線，使其在x，y坐标轴上有相等的截距，求线性方程。学生中有几种思路：
第一种方式是运用截距式：
由条件得；
第二种方式是运用点斜式：，由条件可知，将代入方程得或；
第三种方式是运用斜截式：，当 时，；当时，。
学生反馈出来的五花八门的信息是出乎老师讲课前意料的，从反馈出来的信息中发觉：①虽然学生对线性方程有基本的把握，但对各种方程的应用环境却没有深刻的了解；②存在截距概念的错误认识；③分类讨论方法仍陌生。
对此老师调整了教学策略，除了逐一评论解决方案外，也提出了供学生思考的问题：各种线性形式的环境怎么样？反馈控制是随机设置和调整的，但教学目标保持不变，变得更加切合实际。
2.反馈信息的取样
反馈信息不仅是控制效果的回馈，还是控制调节的基础。它必须是可靠、及时和有代表性的。反馈信息取自：学生的神情，课堂的氛围；学生的反应，练习或板书；测试、课后练习等，量化的信息就更具有指向性。在教学中，重要的是要知道何时何地对反馈进行取样。一般来说，整个控制过程的反馈时机应该是：问题呈现、思维转换、概念交叉、推理决策和结论。
案例2：国王听说阿凡提下棋很厉害，就召见阿凡提，如果国王输了就要满足阿凡提的一个条件，谁知道阿凡提赢了，他的要求很简单：按棋盘格放麦子，第一个格子放一颗，第二个格子放两颗，第三个格子放四颗……一直放到第六十四格。大家想想，最后一个格放多少颗？总共要放多少颗麦子？
（1）几何序列的定义用公式表示，答案可能是多样的：
（2）哪个式子是可以构造（接近） 形式①，即答案可以是②的叠加，用等比结构由③组成
（3）现在是在做什么，然后该怎么做？ 引入 符号！后续推导由老师完成：
（4）式子还可以改进吗？如何化简？
（5） 在这个过程中有漏洞吗？要不要加限制条件？
与学生讨论关于 的取值范围，然后得到：
3.反馈信息的处理
假设把教师在假定目标下输出的信息设为中性的话，反馈信息使得原信息发生增强作用的称为“正反馈”，反之称“负反馈”。正反馈一般都会有利于形成新的观念，激励学习的兴趣。但如果操作不当却易造成目标过高。负反馈一般都会有利于稳定教学，使学生的错误率降低，然而负反馈通常会削弱信息量，降低目标值。
案例3：
师：同学们，我们是不是刚刚学完两角和公式呢？
师：由一般的两角和，设问特殊情况？探究推导出什么公式呢？
生：可令，推导过程为：
师：同学们推理得很好，但有没有要注意的地方呢？
有些学生发现第三个式子中的分母为零的话将无意义，然后教师启发学生，怎么样才能保证分母不能为零呢？学生们通过讨论与探究，得出结论：
此案例中，学生有机会发现、探索和发展他们的能力。此是“正反馈”控制的例子。
案例4：在学习了直线与 轴的夹角及其斜率的概念之后，原先设计了一组巩固题型给学生思考。没预料到第1题“已知直线 ，求倾斜角”完成后，教师发觉学生答案形式有，，甚至有等等，也有认为无法确定等。教师应该马上意识到这是教学中对直线倾斜角的范围，及斜率与倾斜角的对应关系未讲到位，或练习题难度的跨度过大导致的。因此，老师马上强调了直线的斜率与倾斜角的联系与分别代表的意义，列出对照表给学生对比： 然后老师把巩固练习题中a，b的取值条件改为同号，对教学进行降低难度处理。然后，继续做回原来a，b取值异号的情况，同学在这样设置有梯度的练习中，学习积极性得到了大大提高了。此是“负反馈”控制的一例。
三、自我控制
在教学控制系统中的教师和学生，在外界作用下，不停地进行自我控制和调整，以适应整个教学的发展。
1.教师自控
实施教学目标控制过程是教师在收到学生的反馈后大脑内部一连串思维动态的过程：
这是一个自控过程，当然，教师的自我控制与他们自己对目标的掌握、对学生的理解、对教材的熟悉以及教学方法的应用有关。
（1）即时控制
例如，在教学程序的设计中应推测出安排反馈控制的时机，做到有控制有反馈。因此，重要的是要建立起一种即时自我控制的意识。
案例5：在三角函数和差化积的课堂上，有学生提出了一个简化的公式：，比书上教的方法。旧人教版是有反正切函数的内容，但新人教版并没有此内容，可能这个学生在课外阅读了相关的知识。这是一个突发的事件，本不在教学设计中。如果当时教师选择直接跳过的处理方式，会大大打击学生的学习愿望。相反，如果老师把它展示给学生讨论并激起学生们对探索的渴求。通过讨论，不但对用反正切表示和差化积形式中的辅助角，使得运算更加简便，也对反三角函数概念有了更深刻的体会。
（2）延迟控制
教学具有延时性。在课后，许多反馈信息被记录在作业和试卷中，这就是教师自我控制的时间。因为这种自制力没有时间和空间的限制，所以称为“延迟控制”。
延时控制有三种方法：第一，做教学札记。札记包括教学中成功与失败的案例，包括教学方法，教科书处理等，这是一种很好的自我反思、调整和改进方式；二是学生常犯的错误文档，可以在反映出学生的思维或不良心理习惯和规律；三是建立比较科学的反馈抽样网络，学生中不同层次的反馈抽样样本应来自不同层次的学生代表，使教师的自我控制更准确、更有效。
2.学生自控
学生是教学控制系统的被控制对象，而任何其他控制都是通过自我控制实现的，如何提高学生的自我控制能力是有效控制的主要因素。要着重处理好如下几种关系：
（1）目标与自控
要把老师的控制变成学生的自我控制，还必须把学生的行为纳入整个教学目标，使学生清楚地知道这节课的教学目标是什么，自己要怎么做？要实现这一目标，必须营造学生课堂活动和心理活动的气氛，使学生从内心自发地遵循教学目的，学会排除外来的干扰，接受信息，做出反馈，成为课堂的主人。
（2）兴趣与自控
兴趣是一个人想知道某事或想从事某项活动的心理向往。它是建立在理解和探索事物的需求之上的，这是人们了解事物、寻求真知的主要动力。在教学中，必须多去發现数学本身的丰富内涵，调动和激起学生的心理兴奋。
（3）自主与自控
学生是教学的主体，应让他们积极投入整个教学环节中，这是教学控制成功的标记之一。然而，受老师的控制并不意味着学生倚赖于老师、没有自己的想法。恰恰相反，要树立学生的独立精神，达到学生善于思考、习惯思考的目的。通过强化的训练，学生才会用心、积极地接受老师发来的信息，分析、处理成为自我信息，并能在课后认真地做作业，教师收到的反馈信息才能是真实可靠的。
案例6：在《一元二次方程的解法》专题复习的同课异构课上，A老师是如此处理的：
A老师：同学们，这节课我们来温习一元二次方程的四种解法：（1）直接开平方法，（2）配方法，（3）公式法，（4）分解因式法，大家记住了没有？
紧接着老师出示了四道习题（并把解法写在题目的后面）：
然后学生就拿出笔来计算，A教师在巡视的过程中强调学生要按其规定的方法来解。最后，教师挑选了计算正确、书写漂亮的学生上来黑板演示，并对这些学生给予高度的评价。
剖析：课堂探究能否激发学生的思维，完全取决于如何合适地设问，如何引导学生回答问题。显然，A教师的教学方法打击了学生自主学习的热情。
而B老师是这样处理这节课的：
师：同学们，今天我们来进行一元二次方程解法的温习，看看大家可以总结出几种方法？通过解这四个方程，并告诉大家，你用了什么方法，好吗？
B教师通过课堂巡视，鼓励学生针对不同的题目用不同的方法解，学生们兴趣盎然地相互竞赛解题，并将自己的解法向同学们展现。
剖析：培养学生自主性的深层意义也在于培养他们在思维领域的独立性，即是说，教师在教学中要注重将数学思维方法传授给学生，这是提高学生自我控制能力的重要因素。
四、实验与结果
1.实验目的
通过建立教学控制系统，并采用教学控制的操作程序，能有效提高课堂教学的教学质量，使学生对数学学习更有兴趣，学生的数学素养得到优化，进而验证了实验假设的正确性。
2.实验组成
根据人数、男女比例、成绩、能力水平等选择设置实验班和对照班，各单元讲授的快慢要保持一致，测试题要一致。实验班全面贯彻教学控制的原则和方案，采用研讨形式上课，对照班则基本采取传统教学模式。
3.实验结果
（1）T检验，检验报告表如下：（a=0.01）
从上表可看出，实验前（即高一上学期末）两个班的成绩比较接近，t检验显示无差异。接下来的几次考试中，对测试成绩进行均值差异分析及t检验分析，高一下期末分析中t’小于t，说明试验差异不大，而其后的三次分析，检验值t’均比分布临界值t高，也就是说，控制技术的效果和传统教学的效果是差异显著的。
（2）问卷调查
在实验的后半段，用问卷方式调查了这两个班级，目的就是要了解学生是否理解教学目标，建立控制与评价意识，提升自我控制水平，会否分析、解决问题，其重点是通过学生的主观能动性来验证实验情况。问卷分教学目标、自我控制、思维推理、课堂表现、主观评价五大类的意识水平进行设问。其中前三类属定距变量（累积计分），后两大类属定序变量（不累积计分，只作百分比统计）。
统计结果如下：
从分值来看，实验班的学习者在学习过程中的心理自我控制的情况和主观评价意识约比对照班高出百分之十。
实验结果表明，学生在学习过程中能够发挥主体功能是因为教学控制系统的程序起到了一定效果，学生在其过程中能够积极配合教师的教学，形成一个闭环教学控制系统，在此系统中，教师和学生为了一个共同的教学目的而共同努力。
参考文献：
[1]诺伯特·维纳.控制论——关于在动物和机器中控制和通讯的科学（第2版）[M].科学出版社，2009.
【关键词】高中数学；教学调控；控制论；优化教学
一、问题的提出
实施新课程以来，由于传统观念的束缚和升学考试的压力，在高中数学课堂上，注重抓成绩而忽略了学生数学素养的提升，同时也限制了学习者思维发展的广度与深度。本文以控制论及相关教育理论为基础，尝试建立教学调控系统来打造高效数学课堂，通过大量的具体实验教学，探索其程式和操作规律。
1948年Norbert Wiener发表了控制论，其中信息反馈是控制论中极为重要的一个观点：“为达到预定目的，控制系统发出信息，然后返回其结果，并对信息的再输出产生抑制作用。”
本文认为，所谓的教学控制系统是由实施控制的老师和受支配的学习者两个子系统和讲授信息组成的。通过信息反馈，在两个子系统的相互作用中形成正向或逆向的目标迁移运动，并在此过程中不断地进行自我控制的调整。
教学调控系统有三个特点：第一，教学系统中，老师是一个子系统、学习者是一个子系统，它们受到外部环境和自我调节控制的影响（如图1）。
图1 教学调控系统
第二，控制论的关键是信息反馈。通过信息反馈，两个系统之间和子系统内部连续控制运动中的正向或逆向目标的移动。
第三，调节系统是不确定的。因为受环境因素、学生的知识程度和心理状态、教师的控制能力和经验、以及信息响应的控制等多种随机因素的影响。
二、反馈控制
1.反馈系统的结构
传统教学中的“全堂灌”是单向控制，在表象上，这个过程是可以按照预先设计的计划行事的，但是因为控制系统不会接受物体的反馈信息，几乎都是靠是主观的、闭塞的猜测，所以这种控制往往是不切合实际的 （如图2）。
图2开环单向控制系统
反馈系统则针对了开环中单向控制的缺点，进行了双向控制的改良。由于反馈效应允许系统无间地将反馈信息与控制目标进行对比，并根据其差异调整下一路的输出，因此反馈控制系统也被称为闭环双向控制系统（如图3）。
图3闭环双向控制系统
案例1：用几种教学形式来解线性方程的练习：过点作一条直線，使其在x，y坐标轴上有相等的截距，求线性方程。学生中有几种思路：
第一种方式是运用截距式：
由条件得；
第二种方式是运用点斜式：，由条件可知，将代入方程得或；
第三种方式是运用斜截式：，当 时，；当时，。
学生反馈出来的五花八门的信息是出乎老师讲课前意料的，从反馈出来的信息中发觉：①虽然学生对线性方程有基本的把握，但对各种方程的应用环境却没有深刻的了解；②存在截距概念的错误认识；③分类讨论方法仍陌生。
对此老师调整了教学策略，除了逐一评论解决方案外，也提出了供学生思考的问题：各种线性形式的环境怎么样？反馈控制是随机设置和调整的，但教学目标保持不变，变得更加切合实际。
2.反馈信息的取样
反馈信息不仅是控制效果的回馈，还是控制调节的基础。它必须是可靠、及时和有代表性的。反馈信息取自：学生的神情，课堂的氛围；学生的反应，练习或板书；测试、课后练习等，量化的信息就更具有指向性。在教学中，重要的是要知道何时何地对反馈进行取样。一般来说，整个控制过程的反馈时机应该是：问题呈现、思维转换、概念交叉、推理决策和结论。
案例2：国王听说阿凡提下棋很厉害，就召见阿凡提，如果国王输了就要满足阿凡提的一个条件，谁知道阿凡提赢了，他的要求很简单：按棋盘格放麦子，第一个格子放一颗，第二个格子放两颗，第三个格子放四颗……一直放到第六十四格。大家想想，最后一个格放多少颗？总共要放多少颗麦子？
（1）几何序列的定义用公式表示，答案可能是多样的：
（2）哪个式子是可以构造（接近） 形式①，即答案可以是②的叠加，用等比结构由③组成
（3）现在是在做什么，然后该怎么做？ 引入 符号！后续推导由老师完成：
（4）式子还可以改进吗？如何化简？
（5） 在这个过程中有漏洞吗？要不要加限制条件？
与学生讨论关于 的取值范围，然后得到：
3.反馈信息的处理
假设把教师在假定目标下输出的信息设为中性的话，反馈信息使得原信息发生增强作用的称为“正反馈”，反之称“负反馈”。正反馈一般都会有利于形成新的观念，激励学习的兴趣。但如果操作不当却易造成目标过高。负反馈一般都会有利于稳定教学，使学生的错误率降低，然而负反馈通常会削弱信息量，降低目标值。
案例3：
师：同学们，我们是不是刚刚学完两角和公式呢？
师：由一般的两角和，设问特殊情况？探究推导出什么公式呢？
生：可令，推导过程为：
师：同学们推理得很好，但有没有要注意的地方呢？
有些学生发现第三个式子中的分母为零的话将无意义，然后教师启发学生，怎么样才能保证分母不能为零呢？学生们通过讨论与探究，得出结论：
此案例中，学生有机会发现、探索和发展他们的能力。此是“正反馈”控制的例子。
案例4：在学习了直线与 轴的夹角及其斜率的概念之后，原先设计了一组巩固题型给学生思考。没预料到第1题“已知直线 ，求倾斜角”完成后，教师发觉学生答案形式有，，甚至有等等，也有认为无法确定等。教师应该马上意识到这是教学中对直线倾斜角的范围，及斜率与倾斜角的对应关系未讲到位，或练习题难度的跨度过大导致的。因此，老师马上强调了直线的斜率与倾斜角的联系与分别代表的意义，列出对照表给学生对比： 然后老师把巩固练习题中a，b的取值条件改为同号，对教学进行降低难度处理。然后，继续做回原来a，b取值异号的情况，同学在这样设置有梯度的练习中，学习积极性得到了大大提高了。此是“负反馈”控制的一例。
三、自我控制
在教学控制系统中的教师和学生，在外界作用下，不停地进行自我控制和调整，以适应整个教学的发展。
1.教师自控
实施教学目标控制过程是教师在收到学生的反馈后大脑内部一连串思维动态的过程：
这是一个自控过程，当然，教师的自我控制与他们自己对目标的掌握、对学生的理解、对教材的熟悉以及教学方法的应用有关。
（1）即时控制
例如，在教学程序的设计中应推测出安排反馈控制的时机，做到有控制有反馈。因此，重要的是要建立起一种即时自我控制的意识。
案例5：在三角函数和差化积的课堂上，有学生提出了一个简化的公式：，比书上教的方法。旧人教版是有反正切函数的内容，但新人教版并没有此内容，可能这个学生在课外阅读了相关的知识。这是一个突发的事件，本不在教学设计中。如果当时教师选择直接跳过的处理方式，会大大打击学生的学习愿望。相反，如果老师把它展示给学生讨论并激起学生们对探索的渴求。通过讨论，不但对用反正切表示和差化积形式中的辅助角，使得运算更加简便，也对反三角函数概念有了更深刻的体会。
（2）延迟控制
教学具有延时性。在课后，许多反馈信息被记录在作业和试卷中，这就是教师自我控制的时间。因为这种自制力没有时间和空间的限制，所以称为“延迟控制”。
延时控制有三种方法：第一，做教学札记。札记包括教学中成功与失败的案例，包括教学方法，教科书处理等，这是一种很好的自我反思、调整和改进方式；二是学生常犯的错误文档，可以在反映出学生的思维或不良心理习惯和规律；三是建立比较科学的反馈抽样网络，学生中不同层次的反馈抽样样本应来自不同层次的学生代表，使教师的自我控制更准确、更有效。
2.学生自控
学生是教学控制系统的被控制对象，而任何其他控制都是通过自我控制实现的，如何提高学生的自我控制能力是有效控制的主要因素。要着重处理好如下几种关系：
（1）目标与自控
要把老师的控制变成学生的自我控制，还必须把学生的行为纳入整个教学目标，使学生清楚地知道这节课的教学目标是什么，自己要怎么做？要实现这一目标，必须营造学生课堂活动和心理活动的气氛，使学生从内心自发地遵循教学目的，学会排除外来的干扰，接受信息，做出反馈，成为课堂的主人。
（2）兴趣与自控
兴趣是一个人想知道某事或想从事某项活动的心理向往。它是建立在理解和探索事物的需求之上的，这是人们了解事物、寻求真知的主要动力。在教学中，必须多去發现数学本身的丰富内涵，调动和激起学生的心理兴奋。
（3）自主与自控
学生是教学的主体，应让他们积极投入整个教学环节中，这是教学控制成功的标记之一。然而，受老师的控制并不意味着学生倚赖于老师、没有自己的想法。恰恰相反，要树立学生的独立精神，达到学生善于思考、习惯思考的目的。通过强化的训练，学生才会用心、积极地接受老师发来的信息，分析、处理成为自我信息，并能在课后认真地做作业，教师收到的反馈信息才能是真实可靠的。
案例6：在《一元二次方程的解法》专题复习的同课异构课上，A老师是如此处理的：
A老师：同学们，这节课我们来温习一元二次方程的四种解法：（1）直接开平方法，（2）配方法，（3）公式法，（4）分解因式法，大家记住了没有？
紧接着老师出示了四道习题（并把解法写在题目的后面）：
然后学生就拿出笔来计算，A教师在巡视的过程中强调学生要按其规定的方法来解。最后，教师挑选了计算正确、书写漂亮的学生上来黑板演示，并对这些学生给予高度的评价。
剖析：课堂探究能否激发学生的思维，完全取决于如何合适地设问，如何引导学生回答问题。显然，A教师的教学方法打击了学生自主学习的热情。
而B老师是这样处理这节课的：
师：同学们，今天我们来进行一元二次方程解法的温习，看看大家可以总结出几种方法？通过解这四个方程，并告诉大家，你用了什么方法，好吗？
B教师通过课堂巡视，鼓励学生针对不同的题目用不同的方法解，学生们兴趣盎然地相互竞赛解题，并将自己的解法向同学们展现。
剖析：培养学生自主性的深层意义也在于培养他们在思维领域的独立性，即是说，教师在教学中要注重将数学思维方法传授给学生，这是提高学生自我控制能力的重要因素。
四、实验与结果
1.实验目的
通过建立教学控制系统，并采用教学控制的操作程序，能有效提高课堂教学的教学质量，使学生对数学学习更有兴趣，学生的数学素养得到优化，进而验证了实验假设的正确性。
2.实验组成
根据人数、男女比例、成绩、能力水平等选择设置实验班和对照班，各单元讲授的快慢要保持一致，测试题要一致。实验班全面贯彻教学控制的原则和方案，采用研讨形式上课，对照班则基本采取传统教学模式。
3.实验结果
（1）T检验，检验报告表如下：（a=0.01）
从上表可看出，实验前（即高一上学期末）两个班的成绩比较接近，t检验显示无差异。接下来的几次考试中，对测试成绩进行均值差异分析及t检验分析，高一下期末分析中t’小于t，说明试验差异不大，而其后的三次分析，检验值t’均比分布临界值t高，也就是说，控制技术的效果和传统教学的效果是差异显著的。
（2）问卷调查
在实验的后半段，用问卷方式调查了这两个班级，目的就是要了解学生是否理解教学目标，建立控制与评价意识，提升自我控制水平，会否分析、解决问题，其重点是通过学生的主观能动性来验证实验情况。问卷分教学目标、自我控制、思维推理、课堂表现、主观评价五大类的意识水平进行设问。其中前三类属定距变量（累积计分），后两大类属定序变量（不累积计分，只作百分比统计）。
统计结果如下：
从分值来看，实验班的学习者在学习过程中的心理自我控制的情况和主观评价意识约比对照班高出百分之十。
实验结果表明，学生在学习过程中能够发挥主体功能是因为教学控制系统的程序起到了一定效果，学生在其过程中能够积极配合教师的教学，形成一个闭环教学控制系统，在此系统中，教师和学生为了一个共同的教学目的而共同努力。
参考文献：
[1]诺伯特·维纳.控制论——关于在动物和机器中控制和通讯的科学（第2版）[M].科学出版社，2009.