数学中的转化比比皆是,如:未知向已知的转化,命题之间的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维的转化,多元向一元的转化,高次向低次的转化等,都是转化思想的体现.在导数中转化思想的应用尤为突出,特别在难度较大的导数问题中更彰显了转化思想的强大功能.下面谈谈转化思想如何在导数解题中实现难点的突破.
　　转化策略一:“形”向“数”的转化
　　有些问题给出的是“形”的条件,而有些问题给出的是“数”的条件,根据“形”与“数”的密切联系,可把问题的空间形式与数量关系结合起来加以考察,其实质就是把直观的图形与抽象的数量关系结合起来,实施转化从而降低原命题的难度,使问题容易得到解决.
　　例1 (2007•湖南)已知函数f(x)=13x3+12ax2+bx在区间[-1,1),(1,3]内各有一个极值点.
　　(Ⅰ)求a2-4b的最大值;
　　(Ⅱ)当a2-4b=8时,设函数y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线为l,若l在点A处穿过函数y=f(x)的图象(即动点在点A附近沿曲线y=f(x)运动,经过点A时,从l的一侧进入另一侧),求函数f(x)的表达式.
　　分析:本题理解的关键点是:直线l在点A处穿过函数y=f(x)的图象.通过图象的直观性将该条件转化为某一点两侧函数值异号问题,而函数值异号问题又可通过函数极值点的知识加以解决,从而通过转化的实施达到顺利解决问题的目的.
　　解:(Ⅰ)略;
　　(Ⅱ)解法一:由f′(1)=1+a+b知f(x)在点(1,f(1))处的切线l的方程是
　　y-f(1)=f′(1)(x-1),即y=(1+a+b)x-23-12a,
　　因为切线l在点A(1,f(1))处穿过y=f(x)的图象,
　　所以g(x)=f(x)-[(1+a+b)x-23-12a]在x=1两边附近的函数值异号,则
　　x=1不是g(x)的极值点.
　　而g(x)=13x3+12ax2+bx-(1+a+b)x+23+12a,且
　　g′(x)=x2+ax+b-(1+a+b)=x2+ax-a-1=(x-1)(x+1+a).
　　若1≠-1-a,则x=1和x=-1-a都是g(x)的极值点,与x=1不是g(x)的极值点矛盾.
　　所以1=-1-a,即a=-2,又由a2-4b=8,得b=-1,故f(x)=13x3-x2-x.
　　
　　评注:本题判断出x=1不是函数的极值点,为利用导数判断函数的另一极值点创造了条件,从而将函数值异号问题顺利地转化为判断函数极值点问题,突破了本题直线穿过函数图象的难点.
　　
　　策略二:“数”向“形”的转化
　　“数”具有严密性,“形”具有直观性,有时给出数的问题抽象、难以解决,可利用转化思想将抽象思维变为形象思维,即将“数”的问题转化为“形”的问题,充分发挥以数促形,用形助数,常能巧妙地解决貌似困难和繁琐的问题,达到事半功倍的效果.
　　例2 已知函数f(x)=-14x4+23x3+ax2-2x-2在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增.
　　(Ⅰ)求实数a的值;
　　(Ⅱ)若关于x的方程f(2x)=m有三个不同实数解,求实数m的取值范围;
　　分析:第(Ⅱ)问中给出的条件实质为方程有解问题,特别是含有2x的形式,更是让人望而生畏,久久不敢入手,其实只要利用转化思想,将方程有三个不同实数解问题转化为两个函数在某个区间上有三个不同交点问题,此时问题便迎刃而解.
　　解:(Ⅰ)由函数f(x)=-14x4+23x3+ax2-2x-2在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增,
　　∴函数在x=1取得极小值,∴f′(1)=0.
　　∵f′(x)=-x3+2x2+2ax-2,
　　∴f′(1)=-1+2+2a-2=0a=12.
　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=-14x4+23x3+12x2-2x-2,
　　∴f′(x)=-x3+2x2+x-2=-(x-1)(x+1)(x-2),
　　令f′(x)=0得x=1,x=-1,x=2
　　
　　
　　x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,2)2(2,+∞)
　　f′(x)+0-0+0-
　　f(x)增-512减-3712增-83减
　　所以函数f(x)有极大值f(-1)=-512,f(2)=-83,极小值f(1)=-3712.
　　作出f(x)的示意图,如图
　　因为关于x的方程f(2x)=m有三个不同实数解,令2x=t(t>0),
　　即关于t的方程f(t)=m在t∈(0,+∞)上有三个不同实数解,即y=f(t)的图象与直线y=m在t∈(0,+∞)上有三个不同的交点.而y=f(t)的图象与y=f(x)的图象一致.又f(0)=-2由图可知-3712　　
　　
　　评注:涉及方程根的问题,特别是从一次方程或二次方程无从入手时,可利用转化思想将方程根的问题转化为函数图象交点问题,导数作为辅助工具作函数图象非常方便,是解决此类问题的一条有效途径.
　　
　　策略三:对问题进行等价转化
　　等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法.通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题.在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式去进行.它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换;它可以在分析和解决实际问题的过程中,普通语言向数学语言的翻译;它可以在符号系统内部实施转换,即所谓的恒等变形.
　　例3 若函数f(x)=ax3+bx2-3x+c为奇函数,且在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减.
　　(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
　　(Ⅱ)若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
　　
　　解:(Ⅰ)∵函数f(x)=ax3+bx2-3x+c为奇函数,∴b=0,c=0.
　　又∵函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,
　　∴f(x)在x=-1处取得极大值,
　　∵f′(x)=3ax2-3,∴f′(-1)=0,即3a-3=0,解得a=1.
　　∴f(x)=x3-3x.
　　(Ⅱ)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
　　∵曲线方程为y=x3-3x,m≠-2,点A(1,m)不在曲线上.
　　设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足.
　　因f′(x0)=3(x20-1),
　　故切线的斜率为3(x02-1)=x03-3x0-mx0-1,
　　整理得2x30-3x20+m+3=0.
　　∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线,
　　∴关于x0方程2x30-3x20+m+3=0有三个实根.
　　设g(x0)=2x30-3x20+m+3,则g′(x0)=6x20-6x0.
　　由g′(x0)<0,得00,得x0<0或x0>1.
　　∴g(x0)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减.
　　∴函数的极值点为x0=0,x0=1.
　　∴关于x0方程2x30-3x20+m+3=0有三个实根的必要条件是g(0)>0g(1)<0,
　　解得-3　　又当x0=-1时,g(-1)=-5+m+3<-4<0;
　　当x0=2时,g(2)=4+m+3>4>0.
　　∴-3　　故所求的实数m的取值范围是-3　　评注:此题中过一点作出曲线的三条切线很难理解,更不容易正确使用该条件,往往会使思维陷入误区,甚至茫然不知所措,但合理地将存在三条切线问题转化为方程存在三个根的问题,便使问题难点迅速瓦解,体现了转化的功效.
　　(作者:李洪洋江苏省东海高级中学)