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1.问题提出
在知识交汇处命制高考题已成为热点和方向，纵观近几年的高考，在解答题中有关数列的试题出现的频率较高，不仅与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关.数列作为特殊的函数，在实际问题中也有着广泛的应用这就要求同学们除熟练运用有关概念外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.
2.数列与其它知识的交汇
2.1与函数的交汇
例1已知定义在R上的函数 和数列 满足条件： ，，
， ，其中 为常数， 为非零常数.
（I）令 ，证明 是等比数列；（II）求数列 的通项公式.
解：（I），故 是等比数列；
（II） ,=
评析：本题主要考查等比数列的定义和等比的求和公式，尤其要注意公比是否为1.
2.2与不等式的交汇
例2数列 满足 且 .
（I）用数学归纳法证明：；
（II）已知不等式 对 成立，证明 （ ）其中 .
解：（I）略
（II） ，两边取对数并利用 得， .
于是 ，把上式从1到 求和可得：
. 故 .
评析：本题的难点在于放缩以及两边取对数再进行叠加.在数列与其他知识的联系中以不等式最为紧密，而利用不等式的性质进行推算论证具有较大的灵活性，因而不易把握.
2.3与导数、解析几何的交汇
例3设点 和抛物线 ，其中
， 由以下方法得到： ，点 在抛物线 上，点 到 的距离是 到 上的点的最短距离，…，点 在抛物线 上，点 到 的距离是 到 上的点的最短距离，证明 是等差数列.
解：设点 是 上任意一点，则
由题意得 ，即 =0.
又因为 ,故 ，
即 .
下面用数学归纳法证明
⑴当 时显然成立；
⑵假设 时成立，即 ，
当 时，由 知 ,又 ，
∴ ，即 时也成立.
故 对 均成立.
评析：本题是数列与求导、解析几何综合的题目，考查学生综合运用知识分析问题解决问题能力，难度较高.
2.4．与三角的交汇
例4设函数 .
（I）证明 ；
（II）设 为 的一个极值点，证明 ；
（III）设 在 内的全部极值点按从小到大的顺序排列 ，
证明： .
解：（I）（II）略；
（III）设 是 的任意正实根，即 ，则存在一个非负整数 ，使 ，由 的符号知满足 的正根 都为 的极值点.
由题设条件， 为 的全部实数根且满足 , 则 = .
由于 故 ，由 知 .
评析：本题考查应用导数、三角函数、数列等知识分析问题的能力.
2.5．与概率的交汇
例5甲乙两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，由对方接着掷.第一次由甲掷，求第 次由甲掷的概率 .
解：第 次由甲掷这一事件包含两类：
第一类：第 次由甲掷，第 次继续由甲掷，概率为 ；
第二类：第 次由乙掷，第 次由甲掷，概率为 ；
故+ ，即+ ，由线性递推的方法可得 .
评析：数列与概率结合是应用题的一种重要形式.
2.6 与高等数学的基础知识联系
例6已知不等式 ，其中 为大于2的整数， 表示不超过 的最大整数.设数列 的各项为正，且满足.
（I）证明 ；
（II）猜测数列 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（III）试确定一个正整数 ，使得当 时，对任意 都有 .
解：（I）（II）略；
（III）因 ，令 ，有 ，得 .故取 ，可使得当 时，对任意 都有 .
评析：本题第三小题有点类似数列极限的“ 定义”，高考命题者大多为大学教授，故应引起重视.
巩固练习
1.若 则称 为 的不动点，函数 .
（I）求 的不动点；（II）数列 满足 ， ，求数列 的通项公式.
2．定义一种运算 ，满足 为非零实常数）.
（I）对任意给定的 ，设 ，求证：数列 是等差数列，并求 时该数列的前10项和；
（II）对任意给定的 ，设 ，求证：数列 是等比数列，并求出此时该数列的前10项和；
（III）设试求数列 的前 项的和 .
3．已知 ，点 在函数 的图象上，其中
（I）证明：数列 是等比数列；
（II）设 ，求 及数列 的通项公式；
（III）记 ，求数列 的前 项和 ，并证明 .
简 答:
1.（I）不动点为 和 （II） .
2.（I）数列 是公差为 的等差数列；当 时，.
（II）数列 是公比为 的等比数列； ；
（III） .
3.解：（I）略；（II） ；（III）略.
在知识交汇处命制高考题已成为热点和方向，纵观近几年的高考，在解答题中有关数列的试题出现的频率较高，不仅与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关.数列作为特殊的函数，在实际问题中也有着广泛的应用这就要求同学们除熟练运用有关概念外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.
2.数列与其它知识的交汇
2.1与函数的交汇
例1已知定义在R上的函数 和数列 满足条件： ，，
， ，其中 为常数， 为非零常数.
（I）令 ，证明 是等比数列；（II）求数列 的通项公式.
解：（I），故 是等比数列；
（II） ,=
评析：本题主要考查等比数列的定义和等比的求和公式，尤其要注意公比是否为1.
2.2与不等式的交汇
例2数列 满足 且 .
（I）用数学归纳法证明：；
（II）已知不等式 对 成立，证明 （ ）其中 .
解：（I）略
（II） ，两边取对数并利用 得， .
于是 ，把上式从1到 求和可得：
. 故 .
评析：本题的难点在于放缩以及两边取对数再进行叠加.在数列与其他知识的联系中以不等式最为紧密，而利用不等式的性质进行推算论证具有较大的灵活性，因而不易把握.
2.3与导数、解析几何的交汇
例3设点 和抛物线 ，其中
， 由以下方法得到： ，点 在抛物线 上，点 到 的距离是 到 上的点的最短距离，…，点 在抛物线 上，点 到 的距离是 到 上的点的最短距离，证明 是等差数列.
解：设点 是 上任意一点，则
由题意得 ，即 =0.
又因为 ,故 ，
即 .
下面用数学归纳法证明
⑴当 时显然成立；
⑵假设 时成立，即 ，
当 时，由 知 ,又 ，
∴ ，即 时也成立.
故 对 均成立.
评析：本题是数列与求导、解析几何综合的题目，考查学生综合运用知识分析问题解决问题能力，难度较高.
2.4．与三角的交汇
例4设函数 .
（I）证明 ；
（II）设 为 的一个极值点，证明 ；
（III）设 在 内的全部极值点按从小到大的顺序排列 ，
证明： .
解：（I）（II）略；
（III）设 是 的任意正实根，即 ，则存在一个非负整数 ，使 ，由 的符号知满足 的正根 都为 的极值点.
由题设条件， 为 的全部实数根且满足 , 则 = .
由于 故 ，由 知 .
评析：本题考查应用导数、三角函数、数列等知识分析问题的能力.
2.5．与概率的交汇
例5甲乙两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，由对方接着掷.第一次由甲掷，求第 次由甲掷的概率 .
解：第 次由甲掷这一事件包含两类：
第一类：第 次由甲掷，第 次继续由甲掷，概率为 ；
第二类：第 次由乙掷，第 次由甲掷，概率为 ；
故+ ，即+ ，由线性递推的方法可得 .
评析：数列与概率结合是应用题的一种重要形式.
2.6 与高等数学的基础知识联系
例6已知不等式 ，其中 为大于2的整数， 表示不超过 的最大整数.设数列 的各项为正，且满足.
（I）证明 ；
（II）猜测数列 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（III）试确定一个正整数 ，使得当 时，对任意 都有 .
解：（I）（II）略；
（III）因 ，令 ，有 ，得 .故取 ，可使得当 时，对任意 都有 .
评析：本题第三小题有点类似数列极限的“ 定义”，高考命题者大多为大学教授，故应引起重视.
巩固练习
1.若 则称 为 的不动点，函数 .
（I）求 的不动点；（II）数列 满足 ， ，求数列 的通项公式.
2．定义一种运算 ，满足 为非零实常数）.
（I）对任意给定的 ，设 ，求证：数列 是等差数列，并求 时该数列的前10项和；
（II）对任意给定的 ，设 ，求证：数列 是等比数列，并求出此时该数列的前10项和；
（III）设试求数列 的前 项的和 .
3．已知 ，点 在函数 的图象上，其中
（I）证明：数列 是等比数列；
（II）设 ，求 及数列 的通项公式；
（III）记 ，求数列 的前 项和 ，并证明 .
简 答:
1.（I）不动点为 和 （II） .
2.（I）数列 是公差为 的等差数列；当 时，.
（II）数列 是公比为 的等比数列； ；
（III） .
3.解：（I）略；（II） ；（III）略.