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摘 要：“新课程改革”的理念重在培养学生的创新精神和驾驭知识的能力，重在塑造一种“沟通、理解、探索、创新”的教学过程． 传统的“纠错教学”是用正确答案替换学生头脑中的错误观念，这样的教学方式越来越受到广大师生的质疑，而以学生自我体验错误，经过自查自纠、反思交流、自我评价等多种形式的纠错教学已呼之欲出． 笔者以自己的亲身经历，结合学生在解题过程中出现的错误，尝试一种新的课堂纠错的方法，为实现高三教学的有效性和全面发展的教育目标而努力．
关键词：新课程；纠错；数学
我们在高三数学复习中，往往会遇到学生解题时出现的形形色色的错误，面对这些错误，传统的做法是直接把正确的答案教给学生，因为这样可以节省教学时间，增加课堂的密度和强度． 但不久便发现，学生的错误又死灰复燃，有时甚至屡次犯下同样的错误，使不少高三教师感到十分头痛． 怎样才能使学生的错误越变越少呢？作为高三的一线教师，笔者在教学实践中深切感受到只有在新课程理念的指导下，突破课堂的传统模式，塑造一种“沟通、理解、探索、创新”的教学过程，从学生的角度去模拟错误的情境，体验错误的原因，探索改错的方法，提出防范的措施，师生之间才能产生思维的共振和情感的共鸣，纠错教学才会做到有的放矢，深入人心． 下面笔者结合自己的教学经验，谈一些感悟和体会，以供参考．
■正确认识学生的错误
学生在数学学习活动中产生的错误是有价值的，数学教师要允许学生犯错误，但也要帮助学生改正错误，更要以一种开放、宽容的态度看待犯错误的学生．
1． 错误的价值．
在数学探究活动中，错误可能接连发生，也许正是这些错误在引领学生进行思想的漂泊和探险，获得了在平坦的大路上难以见到的景致；也许正是学生经历了一次次错误的探险，感受到心理的挫折、惊喜与顿悟，才从中获得了质疑、反思与多向思维的创新品质．
2. 错误的合理性．
高三学生产生错误，并不完全是粗心或是没有好好学所造成的． 很多错误的产生是有理由、有规律的，具有一定的合理性． ?摇
3. 产生错误的原因分析
（1）知识“断链”，我们通常称之为“忘记”． （2）曲解意义，即错误地或片面地理解某些概念或结论，并做出不恰当的类比和迁移，从而导致错误． （3）认知障碍，指学习者已有一些知识，这些知识一方面是进一步学习、理解的基础，但因包括有错误的或不够全面的成分，从而就有可能妨碍新知识的建立和运用． （4）学生解题过程中思考不到位，对题目的“无思、偏思、浅思”造成了解题的不完善．
■纠错教学的流程
课堂纠错教学的流程是“出错——发现——探究——进步”． 高三数学课堂是个随时会出现错误而且允许学生犯错的地方，真实的数学课堂正是因“出错——发现——探究——进步”的良性循环而充满活力．
■纠错教学的实践与思考
1． 感悟方法让“错”出彩
由于高三学生的知识背景、思维方式、情感体验等方面的不同，学习中难免会出现各种各样的错误． 教师若能慧眼识真金，让学生充分展示思维过程，显露错误中的“闪光点”，给予肯定和欣赏，并顺着学生的思路将“合理成分”激活，让智慧光芒喷薄而出，让错出彩．
案例1：已知函数f（x）=x2+2x+alnx，（1）若函数f（x）在区间（0，1］上恒为单调函数，求实数a的取值范围；（2）当t≥1时，不等式f（2t－1）≥2f（t）－3恒成立，求实数a的取值范围．
此题是高三复习卷上的一题，主要考查利用导数知识，研究函数的单调性，处理不等式恒成立问题，综合性强，思想方法深刻，能力要求较高．
学生的歪打正着：构造函数g（t）=f（2t－1）－［2f（t）－3］（t≥1），注意到g（1）=0，所求问题转化为g（t）≥g（1）对任意的t∈［1，+∞）恒成立． 即g（t）在［1，+∞）上为增函数，从而g′（t）≥0在t∈［1，+∞）上恒成立，而g′（t）=2［f′（2t－1）－f′（t）］，故f′（2t－1）>f′（t）在t∈［1，+∞）恒成立，由于（2t－1）－t=t－1≥0，即2t－1≥t，故f′（t）在［1，+∞）上为增函数．令h（t）=f′（t），则h′（t）=2－■≥0当t∈［1，+∞）时恒成立，即a≤2t2，从而a≤（2t2）min=2，故实数a的取值范围为a≤2．
解答的结果与正确答案完全一致，乍一看似乎简洁明了，无懈可击，但仔细分析，不难发现其中的破绽：“由g（t）≥g（1）对任意的t∈［1，+∞）恒成立． 直接推出g（t）在［1，+∞）上为增函数”此推理不一定成立． 如图1所示：
虽然此解法歪打正着，但它为正确求解提供了有意的启示．
师生合作共探的解法：构造函数g（t）=f（2t－1）－［2f（t）－3］（t≥1），注意到g（1）=0，所求问题转化为g（t）≥g（1）对任意的t∈［1，+∞）恒成立．因为g′（t）=2［f′（2t－1）－f′（t）］=2（t－1）2－■（t≥1）． 当a≤2时，由于t（2t－1）≥1，故g′（t）≥0，从而g（t）在［1，+∞）上为增函数． g（t）≥g（1）对任意的t∈［1，+∞）恒成立． 当a>2，g′（t）=■=■．
因为■<1<■，当t∈1，■时，g′（t）<0，当t∈1，■时，g（t）是减函数，于是g（t） ?摇?摇此解法思路自然，过程清晰，这样在学生错误的思路上做适当修正，既保护了学生学习的积极性，又能激活其合理的成分，以促进学生的思维朝着正确、完美的方向发展，从而对数学的推理的严密性以及等价转化思想有了更深刻的领悟．
2. 将错就错，开拓思维空间．
学生在真正学习新知识之前，需要对根深蒂固的错误观念进行重组，因为这些错误观念会干扰新的学习． 克服错误观念对新知识学习的排斥的唯一可能解决方法是迫使学生去正确面对他们的错误与所学知识之间的矛盾． 学生每遭遇并克服一次错误，学生的已有智慧结构就会呈现一种螺旋递升的状态，有了一次重组的可能，从而实现创新思维．
案例2：已知无穷数列｛ａn｝的前n项和Sn=■（an+2）2，满足题设的数列｛ａn｝有多少个？证明你的结论．
这是一道数列复习课上的例题，经过一番探索和思考，大多数学生得到了以下解法：由Sn=■（an+2）2，得Sn+1=■（an+1+2）2，故Sn+1－Sn=■（an+1+2）2－■（an+2）2，即8an+1=a■+4an+1－a■－4an，整理得（an+1+an）（an+1－an－4）=0，故an+1+an=0或an+1－an=4． 在题设中，令n=1，即a1=■（a1+2）2，得a1=2，于是数列｛ａn｝是以2为首项，公比为-1的等比数列或公差为4的等差数列． 所以an=2（－1）n-1或an=4n－2．
至此，大家似乎都觉得可以完美收场了，但笔者诡异的微笑却诱发了一些敏感学生的质疑． 不久，果真有学生另辟蹊径：令n=1，得a1=2；令n=2，得a2= －2，6；令n=3，得a3=2，－6，10． 这样已得出至少3个数列，按照这种方法可以大胆预测：满足题设的数列｛ａn｝有无数个．
此时此刻，平静的课堂一下子沸腾了，大家觉得前面的解法似乎有问题，但一下子又很难发现其中的破绽． 此时可以引导学生发现在从特殊到一般的探究过程中，“an+1+an=0或a■－a■=4”不一定对任意n都成立，即数列｛ａn｝不一定是等比数列，也不一定是等差数列． 如举例前4项有（1）2，－2，2，－2，…；（2） 2，6，10，14，…；（3） 2，－2，2，6，…；（4）2，6，－6，－2，…；（5）2，6，10，－10，…．可见，满足题设的数列｛ａn｝有无数个．
怎样防止类似的错误？通过讨论大家共同认为：对数学问题中的“关键词”，如“或、且、非、至多、至少”等，首先一定要通过分类列举、数形结合思想以及从特殊到一般的策略，对隐含的数学含义进行深入的分析和鉴定，弄清其真正的内涵和实质再实施解题研究，其次应注意变形、代换的等价性． 可见，让 学生充分暴露错误的过程，“将错就错”，是探索纠错方法的前提，在此基础上，总结得出解题的一般规律，学生才会构建起属于自己的正确认识．
3. 合理设错，多向交流，发展思维
（1）“设错”的原则． 教学过程中“设错”应讲究自然、讲究方法、讲究场合，归根结底要讲究教学实效，绝不能为了刻求某种教学模式而故弄玄虚． 一般来说，“设错”应遵循以下三个原则． ①时机性原则．“设错”的时机性原则，就是在教学活动过程中，不能不分场合、随心所欲地来设置所谓的错误让学生讨论、辨别，而是要在适当时机，根据学生的学习态度、知识水平、思维习惯等具体情况，有目的、有针对性地“设错”． ②迷惑性原则． “设错”的迷惑性原则，就是教学活动过程中，所设置的错误既是学生容易出现的，也是学生难以辨别的问题，它看似正确，实则错误，正负模棱两可，具有一定的迷惑性． ③多样性原则． “设错”的多样性原则，就是在教学过程中，既要包括“设错”内容的多样性，又要包括“设错”形式的多样性．
（2）“设错”的技巧．无论是新课起始的“设错”，新课进行中的“设错”，还是新课结束后的“设错”，都要面向全体学生提出，要尽可能给不同层次的学生创设分层次的最佳“纠错”机会． 问题提出后，要给全体学生留有思维的机会和时间，使每个学生有一个“思考——纠错”的过程，同时对每一位学生的“纠错”都要给予适度的评价． “设错”难度要讲究艺术．“设错”难度的掌握要讲究分寸，既要符合课程对知识的要求，又要不脱离学生的实际认知水平；既要高于学生原有的知识水平，又要使他们经过努力后力所能及，同时，“纠错”方式要灵活多样．
案例3：设z=2x+y，式中变量x，y满足下列条件4≤x+y≤6…（1）2≤x－y≤4…（2）求z的最大值和最小值．
这是线性规划复习课的引入，学生经过探讨和辨析，形成了两个方案：
学生解法1：由（1）+（2）得6≤2x≤10…（3），由（2）得－4≤y－x≤－2（4）.
由（1）+（4）得0≤y≤2，因而得到6≤2x+y≤12，所以zmin=6，zmax=12．
学生解法2：由（1）得到6≤■（x+y）≤9，由（2）得到1≤■（x－y）≤2，从而7≤2x+y≤11，所以zmin=7，zmax=11．
两种解法都是将不等式变形，之所以结论不一致估计是没有等价变形，但又说不清楚问题到底出在哪里？这时候，教师就可以不失时机提问：既然从不等式变形的角度不能十分合理地解释，能不能另辟蹊径？接下来就是请学生尝试利用数形结合的思想解决问题，从而引入正题．
此例以问题为驱动，首先通过巧布“陷阱”，即采用学生在不等式学习中的典型“病案”，启发学生探讨、辨析． 该问题的引入虽然会预知学生的错误，但主要目的在于创设一个导情引思的情境，让学生主动地参与探索学习．
4． 利用纠错题组，整合课程资源
课堂中的“错误”其价值并不在于“错误”本身，而在于“错误”背后的创新过程．实现了“错误”背后的创新价值，才真正使课堂中的“错误”变成了重要的课程资源，这原本就是新课程中的教育理念，也是教师高超的教学艺术所在．
学生在复习三角函数的过程中，经常因为不注意一些隐含条件，在解题时频频出错． 如同角三角函数之间的关系、正余弦函数的有界性、角度取值范围的压缩等，为此笔者利用以下题组，让学生独立练习：
案例4：纠错题组（1）若θ在第二象限，sinθ=■，cosθ=■，求tanθ；
（2）已知3sin2α+2sin2β=2sinα，求sin2α+sin2β的最大值；
（3）已知tanA，tanB是方程x2+3■x+4=0的两根，且A，B∈－■，■，求A+B的值．
学生的错误果真出现：（1）由于忽视同角三角函数之间的关系，学生仅得到tanθ=■，而事实上，利用sin2θ+cos2θ=1，得a=0（舍去）或a=8，故tanθ=－■；
（2）学生由sin2β=■，代入得y=－■sin2α+sinα，配方得y=－■（sinα－1）2+■，得出y的最大值为■，而事实上sinα=1时，代入条件得到sin2β=－■，显然矛盾． 引导学生挖掘隐含条件sin2β≥0，从而得出0≤sinα≤■，故只有当sinα=■时，y的最大值为■．
（3）利用韦达定理可求得tan（A+B）=■，由A+B∈（－π，π），故学生得出A+B=■或－■，而事实上，原方程的两根均为负数，于是A，B∈－■，0，A+B∈（－π，0），故A+B=－■．
通过这些纠错题组，不仅找到了问题症结的所在，而且通过类比和总结，还发现了一些寻找隐含条件的常用方法，从而使学生能够用更高的观点去审视数学解题，这正是整合课程资源的价值所在．
5． 反思错误原因，提高数学思维能力
解题反思是对解题活动的反思，它是对解题活动的深层次的再思考，不仅仅是对数学解题学习的一般性回顾或重复，而是深究数学解题活动中涉及的知识、方法、思路、策略等，具有较强的科学研究的性质． 所以不能认为纠正了该题的错误就达到了教学的目的，还应进一步引导学生反思错误的原因，提高自我诊断的能力，拓展学生思维的领域，提高数学思维能力．
案例5：求函数y=■sin2α+■+1（α∈0，■）的最小值．
学生解答1：y≥2■+1=2；学生解答2：y=■sin2α+■+■+1≥■·2■+■+1≥■+■+1=■+■，这两种解法显然有学生提出了质疑：等号取不到，最后经过思考，学生发现了下面的解法： y=■sin2α+■+■+1≥■·2■+■+1≥■+■+1=■．
这样解题过程到这里就戛然而止，突然急刹住学生的思维，学生除了对本题的错误了解以外，收获并不大，而且学生感到本题就像玩魔术一样，深不可测． 或许还会存在疑问，这样的分拆是唯一的吗？下次碰到类似的问题，是否还能分拆出来？面对这样的疑惑，教师应引导学生进行反思．
反思1：除了上述分拆，还有别的合理分拆吗?
y=sin2α+■－■+1≥2·■－■+1≥■．
反思2：上述两种合理分拆有什么共同的特征？
两种合理分拆都满足“当sin2α=1时，y取最小值”，所以肯定会分拆出sin2α+■模块，这也说明两种分拆的本质是一样的．
反思3：为什么是“当sin2α=1时，y取最小值”？构造函数y=■+■+1在（0，2］上递减，在［2，+∞）上递增，而x=sin2α∈（0，1］，故当sin2α=1时，y取最小值． 所以分拆y=■sin2α+■+■+1，当■sin2α=■?圯t=■sin22α=■；或y=tsin2α+■+■－tsin2α+1，当tsin2α=■ ?圯t=■=1．
通过这样不断引导学生反思，学生真正明白了怎样去分拆变形，同时也引入了解决最值问题的另一种有效的解法——利用函数的单调性，比利用基本不等式更具一般性． 再进一步探究形如：y=ax+■（a>0，b>0）函数的最值或值域，会收到更好的效果． 在这一过程中，学生的数学知识与技能得以巩固，数学思想方法得以有效渗透，数学思维能力得以优化和发展．
■收获与反思
建构主义认为：学习并非学生对于教师所授予知识的被动接受，而是依据其已有的知识和经验所作的主动建构． 而这种主动建构必须对问题有深入认识，在课堂教学中能反映学生认知水平必然有一个在学生之间、师生之间互相进行表达、交流、比较，批评和反思的过程． 新课程改革也要求教师必须改变角色，成为课堂中与学生平等的“首席”，促进学生实现学习方式的多元化，因此传统的用正确答案替换学生头脑中错误观念的讲评课受到置疑，而以学生自我体验错误，经过自查自纠、反思交流、自我评价等多种形式的纠错教学便呼之欲出，这并没有削弱教师的主导作用，而是要求教师从更高的观点去指导学生，以提高学生的认知水平，体验数学学习给人带来的成功愉悦感．
关键词：新课程；纠错；数学
我们在高三数学复习中，往往会遇到学生解题时出现的形形色色的错误，面对这些错误，传统的做法是直接把正确的答案教给学生，因为这样可以节省教学时间，增加课堂的密度和强度． 但不久便发现，学生的错误又死灰复燃，有时甚至屡次犯下同样的错误，使不少高三教师感到十分头痛． 怎样才能使学生的错误越变越少呢？作为高三的一线教师，笔者在教学实践中深切感受到只有在新课程理念的指导下，突破课堂的传统模式，塑造一种“沟通、理解、探索、创新”的教学过程，从学生的角度去模拟错误的情境，体验错误的原因，探索改错的方法，提出防范的措施，师生之间才能产生思维的共振和情感的共鸣，纠错教学才会做到有的放矢，深入人心． 下面笔者结合自己的教学经验，谈一些感悟和体会，以供参考．
■正确认识学生的错误
学生在数学学习活动中产生的错误是有价值的，数学教师要允许学生犯错误，但也要帮助学生改正错误，更要以一种开放、宽容的态度看待犯错误的学生．
1． 错误的价值．
在数学探究活动中，错误可能接连发生，也许正是这些错误在引领学生进行思想的漂泊和探险，获得了在平坦的大路上难以见到的景致；也许正是学生经历了一次次错误的探险，感受到心理的挫折、惊喜与顿悟，才从中获得了质疑、反思与多向思维的创新品质．
2. 错误的合理性．
高三学生产生错误，并不完全是粗心或是没有好好学所造成的． 很多错误的产生是有理由、有规律的，具有一定的合理性． ?摇
3. 产生错误的原因分析
（1）知识“断链”，我们通常称之为“忘记”． （2）曲解意义，即错误地或片面地理解某些概念或结论，并做出不恰当的类比和迁移，从而导致错误． （3）认知障碍，指学习者已有一些知识，这些知识一方面是进一步学习、理解的基础，但因包括有错误的或不够全面的成分，从而就有可能妨碍新知识的建立和运用． （4）学生解题过程中思考不到位，对题目的“无思、偏思、浅思”造成了解题的不完善．
■纠错教学的流程
课堂纠错教学的流程是“出错——发现——探究——进步”． 高三数学课堂是个随时会出现错误而且允许学生犯错的地方，真实的数学课堂正是因“出错——发现——探究——进步”的良性循环而充满活力．
■纠错教学的实践与思考
1． 感悟方法让“错”出彩
由于高三学生的知识背景、思维方式、情感体验等方面的不同，学习中难免会出现各种各样的错误． 教师若能慧眼识真金，让学生充分展示思维过程，显露错误中的“闪光点”，给予肯定和欣赏，并顺着学生的思路将“合理成分”激活，让智慧光芒喷薄而出，让错出彩．
案例1：已知函数f（x）=x2+2x+alnx，（1）若函数f（x）在区间（0，1］上恒为单调函数，求实数a的取值范围；（2）当t≥1时，不等式f（2t－1）≥2f（t）－3恒成立，求实数a的取值范围．
此题是高三复习卷上的一题，主要考查利用导数知识，研究函数的单调性，处理不等式恒成立问题，综合性强，思想方法深刻，能力要求较高．
学生的歪打正着：构造函数g（t）=f（2t－1）－［2f（t）－3］（t≥1），注意到g（1）=0，所求问题转化为g（t）≥g（1）对任意的t∈［1，+∞）恒成立． 即g（t）在［1，+∞）上为增函数，从而g′（t）≥0在t∈［1，+∞）上恒成立，而g′（t）=2［f′（2t－1）－f′（t）］，故f′（2t－1）>f′（t）在t∈［1，+∞）恒成立，由于（2t－1）－t=t－1≥0，即2t－1≥t，故f′（t）在［1，+∞）上为增函数．令h（t）=f′（t），则h′（t）=2－■≥0当t∈［1，+∞）时恒成立，即a≤2t2，从而a≤（2t2）min=2，故实数a的取值范围为a≤2．
解答的结果与正确答案完全一致，乍一看似乎简洁明了，无懈可击，但仔细分析，不难发现其中的破绽：“由g（t）≥g（1）对任意的t∈［1，+∞）恒成立． 直接推出g（t）在［1，+∞）上为增函数”此推理不一定成立． 如图1所示：
虽然此解法歪打正着，但它为正确求解提供了有意的启示．
师生合作共探的解法：构造函数g（t）=f（2t－1）－［2f（t）－3］（t≥1），注意到g（1）=0，所求问题转化为g（t）≥g（1）对任意的t∈［1，+∞）恒成立．因为g′（t）=2［f′（2t－1）－f′（t）］=2（t－1）2－■（t≥1）． 当a≤2时，由于t（2t－1）≥1，故g′（t）≥0，从而g（t）在［1，+∞）上为增函数． g（t）≥g（1）对任意的t∈［1，+∞）恒成立． 当a>2，g′（t）=■=■．
因为■<1<■，当t∈1，■时，g′（t）<0，当t∈1，■时，g（t）是减函数，于是g（t）
2. 将错就错，开拓思维空间．
学生在真正学习新知识之前，需要对根深蒂固的错误观念进行重组，因为这些错误观念会干扰新的学习． 克服错误观念对新知识学习的排斥的唯一可能解决方法是迫使学生去正确面对他们的错误与所学知识之间的矛盾． 学生每遭遇并克服一次错误，学生的已有智慧结构就会呈现一种螺旋递升的状态，有了一次重组的可能，从而实现创新思维．
案例2：已知无穷数列｛ａn｝的前n项和Sn=■（an+2）2，满足题设的数列｛ａn｝有多少个？证明你的结论．
这是一道数列复习课上的例题，经过一番探索和思考，大多数学生得到了以下解法：由Sn=■（an+2）2，得Sn+1=■（an+1+2）2，故Sn+1－Sn=■（an+1+2）2－■（an+2）2，即8an+1=a■+4an+1－a■－4an，整理得（an+1+an）（an+1－an－4）=0，故an+1+an=0或an+1－an=4． 在题设中，令n=1，即a1=■（a1+2）2，得a1=2，于是数列｛ａn｝是以2为首项，公比为-1的等比数列或公差为4的等差数列． 所以an=2（－1）n-1或an=4n－2．
至此，大家似乎都觉得可以完美收场了，但笔者诡异的微笑却诱发了一些敏感学生的质疑． 不久，果真有学生另辟蹊径：令n=1，得a1=2；令n=2，得a2= －2，6；令n=3，得a3=2，－6，10． 这样已得出至少3个数列，按照这种方法可以大胆预测：满足题设的数列｛ａn｝有无数个．
此时此刻，平静的课堂一下子沸腾了，大家觉得前面的解法似乎有问题，但一下子又很难发现其中的破绽． 此时可以引导学生发现在从特殊到一般的探究过程中，“an+1+an=0或a■－a■=4”不一定对任意n都成立，即数列｛ａn｝不一定是等比数列，也不一定是等差数列． 如举例前4项有（1）2，－2，2，－2，…；（2） 2，6，10，14，…；（3） 2，－2，2，6，…；（4）2，6，－6，－2，…；（5）2，6，10，－10，…．可见，满足题设的数列｛ａn｝有无数个．
怎样防止类似的错误？通过讨论大家共同认为：对数学问题中的“关键词”，如“或、且、非、至多、至少”等，首先一定要通过分类列举、数形结合思想以及从特殊到一般的策略，对隐含的数学含义进行深入的分析和鉴定，弄清其真正的内涵和实质再实施解题研究，其次应注意变形、代换的等价性． 可见，让 学生充分暴露错误的过程，“将错就错”，是探索纠错方法的前提，在此基础上，总结得出解题的一般规律，学生才会构建起属于自己的正确认识．
3. 合理设错，多向交流，发展思维
（1）“设错”的原则． 教学过程中“设错”应讲究自然、讲究方法、讲究场合，归根结底要讲究教学实效，绝不能为了刻求某种教学模式而故弄玄虚． 一般来说，“设错”应遵循以下三个原则． ①时机性原则．“设错”的时机性原则，就是在教学活动过程中，不能不分场合、随心所欲地来设置所谓的错误让学生讨论、辨别，而是要在适当时机，根据学生的学习态度、知识水平、思维习惯等具体情况，有目的、有针对性地“设错”． ②迷惑性原则． “设错”的迷惑性原则，就是教学活动过程中，所设置的错误既是学生容易出现的，也是学生难以辨别的问题，它看似正确，实则错误，正负模棱两可，具有一定的迷惑性． ③多样性原则． “设错”的多样性原则，就是在教学过程中，既要包括“设错”内容的多样性，又要包括“设错”形式的多样性．
（2）“设错”的技巧．无论是新课起始的“设错”，新课进行中的“设错”，还是新课结束后的“设错”，都要面向全体学生提出，要尽可能给不同层次的学生创设分层次的最佳“纠错”机会． 问题提出后，要给全体学生留有思维的机会和时间，使每个学生有一个“思考——纠错”的过程，同时对每一位学生的“纠错”都要给予适度的评价． “设错”难度要讲究艺术．“设错”难度的掌握要讲究分寸，既要符合课程对知识的要求，又要不脱离学生的实际认知水平；既要高于学生原有的知识水平，又要使他们经过努力后力所能及，同时，“纠错”方式要灵活多样．
案例3：设z=2x+y，式中变量x，y满足下列条件4≤x+y≤6…（1）2≤x－y≤4…（2）求z的最大值和最小值．
这是线性规划复习课的引入，学生经过探讨和辨析，形成了两个方案：
学生解法1：由（1）+（2）得6≤2x≤10…（3），由（2）得－4≤y－x≤－2（4）.
由（1）+（4）得0≤y≤2，因而得到6≤2x+y≤12，所以zmin=6，zmax=12．
学生解法2：由（1）得到6≤■（x+y）≤9，由（2）得到1≤■（x－y）≤2，从而7≤2x+y≤11，所以zmin=7，zmax=11．
两种解法都是将不等式变形，之所以结论不一致估计是没有等价变形，但又说不清楚问题到底出在哪里？这时候，教师就可以不失时机提问：既然从不等式变形的角度不能十分合理地解释，能不能另辟蹊径？接下来就是请学生尝试利用数形结合的思想解决问题，从而引入正题．
此例以问题为驱动，首先通过巧布“陷阱”，即采用学生在不等式学习中的典型“病案”，启发学生探讨、辨析． 该问题的引入虽然会预知学生的错误，但主要目的在于创设一个导情引思的情境，让学生主动地参与探索学习．
4． 利用纠错题组，整合课程资源
课堂中的“错误”其价值并不在于“错误”本身，而在于“错误”背后的创新过程．实现了“错误”背后的创新价值，才真正使课堂中的“错误”变成了重要的课程资源，这原本就是新课程中的教育理念，也是教师高超的教学艺术所在．
学生在复习三角函数的过程中，经常因为不注意一些隐含条件，在解题时频频出错． 如同角三角函数之间的关系、正余弦函数的有界性、角度取值范围的压缩等，为此笔者利用以下题组，让学生独立练习：
案例4：纠错题组（1）若θ在第二象限，sinθ=■，cosθ=■，求tanθ；
（2）已知3sin2α+2sin2β=2sinα，求sin2α+sin2β的最大值；
（3）已知tanA，tanB是方程x2+3■x+4=0的两根，且A，B∈－■，■，求A+B的值．
学生的错误果真出现：（1）由于忽视同角三角函数之间的关系，学生仅得到tanθ=■，而事实上，利用sin2θ+cos2θ=1，得a=0（舍去）或a=8，故tanθ=－■；
（2）学生由sin2β=■，代入得y=－■sin2α+sinα，配方得y=－■（sinα－1）2+■，得出y的最大值为■，而事实上sinα=1时，代入条件得到sin2β=－■，显然矛盾． 引导学生挖掘隐含条件sin2β≥0，从而得出0≤sinα≤■，故只有当sinα=■时，y的最大值为■．
（3）利用韦达定理可求得tan（A+B）=■，由A+B∈（－π，π），故学生得出A+B=■或－■，而事实上，原方程的两根均为负数，于是A，B∈－■，0，A+B∈（－π，0），故A+B=－■．
通过这些纠错题组，不仅找到了问题症结的所在，而且通过类比和总结，还发现了一些寻找隐含条件的常用方法，从而使学生能够用更高的观点去审视数学解题，这正是整合课程资源的价值所在．
5． 反思错误原因，提高数学思维能力
解题反思是对解题活动的反思，它是对解题活动的深层次的再思考，不仅仅是对数学解题学习的一般性回顾或重复，而是深究数学解题活动中涉及的知识、方法、思路、策略等，具有较强的科学研究的性质． 所以不能认为纠正了该题的错误就达到了教学的目的，还应进一步引导学生反思错误的原因，提高自我诊断的能力，拓展学生思维的领域，提高数学思维能力．
案例5：求函数y=■sin2α+■+1（α∈0，■）的最小值．
学生解答1：y≥2■+1=2；学生解答2：y=■sin2α+■+■+1≥■·2■+■+1≥■+■+1=■+■，这两种解法显然有学生提出了质疑：等号取不到，最后经过思考，学生发现了下面的解法： y=■sin2α+■+■+1≥■·2■+■+1≥■+■+1=■．
这样解题过程到这里就戛然而止，突然急刹住学生的思维，学生除了对本题的错误了解以外，收获并不大，而且学生感到本题就像玩魔术一样，深不可测． 或许还会存在疑问，这样的分拆是唯一的吗？下次碰到类似的问题，是否还能分拆出来？面对这样的疑惑，教师应引导学生进行反思．
反思1：除了上述分拆，还有别的合理分拆吗?
y=sin2α+■－■+1≥2·■－■+1≥■．
反思2：上述两种合理分拆有什么共同的特征？
两种合理分拆都满足“当sin2α=1时，y取最小值”，所以肯定会分拆出sin2α+■模块，这也说明两种分拆的本质是一样的．
反思3：为什么是“当sin2α=1时，y取最小值”？构造函数y=■+■+1在（0，2］上递减，在［2，+∞）上递增，而x=sin2α∈（0，1］，故当sin2α=1时，y取最小值． 所以分拆y=■sin2α+■+■+1，当■sin2α=■?圯t=■sin22α=■；或y=tsin2α+■+■－tsin2α+1，当tsin2α=■ ?圯t=■=1．
通过这样不断引导学生反思，学生真正明白了怎样去分拆变形，同时也引入了解决最值问题的另一种有效的解法——利用函数的单调性，比利用基本不等式更具一般性． 再进一步探究形如：y=ax+■（a>0，b>0）函数的最值或值域，会收到更好的效果． 在这一过程中，学生的数学知识与技能得以巩固，数学思想方法得以有效渗透，数学思维能力得以优化和发展．
■收获与反思
建构主义认为：学习并非学生对于教师所授予知识的被动接受，而是依据其已有的知识和经验所作的主动建构． 而这种主动建构必须对问题有深入认识，在课堂教学中能反映学生认知水平必然有一个在学生之间、师生之间互相进行表达、交流、比较，批评和反思的过程． 新课程改革也要求教师必须改变角色，成为课堂中与学生平等的“首席”，促进学生实现学习方式的多元化，因此传统的用正确答案替换学生头脑中错误观念的讲评课受到置疑，而以学生自我体验错误，经过自查自纠、反思交流、自我评价等多种形式的纠错教学便呼之欲出，这并没有削弱教师的主导作用，而是要求教师从更高的观点去指导学生，以提高学生的认知水平，体验数学学习给人带来的成功愉悦感．