作为函数三要素之一的定义域，它直接制约着函数的解析式、图象和性质.在解函数问题时，不少学生往往会忽视甚至无视定义域的作用，从而导致错误的发生.本文试举例说明，以期引起大家的注意和重视.
　　例1 已知f （x+1）=x+2x，求f （x）.
　　错误解法：设
　　t=x+1，则
　　x=t-1，x=（t-1）2.
　　于是f （t）=（t-1）2+2（t-1）=t2-1，
　　所以f （x）=x2-1.
　　错因剖析：通过换元把
　　f （x+1）=
　　x+2x化为
　　f （t）=t2-1时，要注意到
　　f （x+1）=x+2x的定义域是
　　{x|x≥0}，从而
　　t=x+1，则
　　t≥1，即
　　f （t）=t2-1的定义域是
　　{t|t≥1}，只有这样才能保证转化的等价性.本题错就错在没有对函数定义域进行关注和推敲.
　　例2 求函数
　　y=1-x2-2的值域.
　　错误解法：移项，得：
　　y+2=1-x2.
　　两边平方得，x2+（y+2）2-1=0（*）
　　将（*）看成关于x的一元二次方程，由
　　Δ≥0，可解得
　　-3≤y≤-1.
　　所以函数的值域是{y|-3≤y≤-1}.
　　错因剖析： 因为在原函数式中的自变量x并非是全体实数，而是
　　-1≤x≤1.它在方程（*）中作为变量仍不是可以取任意实数的，因而不能用
　　Δ≥0来求解
　　y的范围，因而据此得出的函数值的范围是靠不住的.
　　事实上，
　　因为1-x2≥0，且
　　1-x2≤1，
　　所以-2≤1-x2-2≤-1，
　　所以所求函数的值域是
　　{y|-2≤y≤-1}.
　　例3 求函数y=1-4-x2（-2≤x≤0）的反函数.
　　错误解法：由y=1-
　　4-x2得
　　4-x2=1-y，
　　两边平方，整理得：
　　x2=3+2y-y2，
　　因为x≤0，所以x=-3+2y-y2，
　　由3+2y-y2≥0，得
　　-1≤y≤3.
　　所以y=1-4-x2
　　（-2≤x≤0）的反函数是
　　y=
　　-3+2x-x2（-1≤x≤3）.
　　错因剖析：函数
　　y=1-4-x2
　　中-2≤x≤0，
　　可得出值域是
　　{y|-1≤y≤1}，因而反函数y=-
　　3+2x-x2的定义域应是
　　{x|-1≤x≤1}.
　　错误解法中仅将不等式3+2y-y2≥0的解
　　-1≤y≤3作为反函数的定义域，已将其取值范围扩大了.
　　例4 判断函数f （x）=
　　（x-1）1+x1-x的奇偶性.
　　错误解法：
　　f （x）=（x-1）1+x1-x
　　=1-x2，
　　f （-x）=
　　1-（-x）2
　　=1-x2=f （x）
　　所以f （x）=（x-1）1+x1-x
　　是偶函数.
　　错因剖析：这种解法犯了两个错误.一是没有检查定义域的对称性，函数定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的必要条件，如果解题时注意到这一结论，重视函数定义域的特征，就不会解错本题.二是在变形过程中将自变量 的范围被扩大了.从
　　（x-1）1+x1-x
　　变形为
　　1-x2，变形前
　　x≠1，变形后允许
　　x=1.这样得出的
　　f （-x）=f （x）的结论是站不住脚的，因而得出偶函数的结论是错误的.
　　例5 求函数y=log12t，t=x2+2x-8的递增区间.
　　错误解法：
　　y=log12t，t=x2+2x-8，
　　由于对数函数的底
　　12∈（0，1），所以
　　t=x2+2x-8的递减区间就是
　　y=log12（x2+2x-8）的递增区间.
　　因为t=x2+2x-8的递减区间为（-∞，-1]，
　　所以求函数y=log12（
　　x2+2x-8）的递增区间是
　　（-∞，-1].
　　错因剖析： 此错误解法同样也是忽略了函数的定义域所致.判断函数的单调性，首先必须求出函数的定义域，单调区间必须是定义域的子集.如果先由
　　x2+2x-8>0解出
　　x<-4或x>2，就不难发现（-∞，-1]是矛盾的，因而解题的错误也可以避免.