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本文以特殊的线性振荡方程y+g(t)y=0(其中limg(f)=+∞)为例讨论了高振荡常微分方程数值解问题。
高振荡常微分方程是指其解具有高振荡性的一类微分方程，它在分子动力学、天体力学、量子化学以及原子物理等方面有着广泛的应用。对高振荡微分方程给出一种好的数值解法是一件非常困难的事情。例如，对于形如y+g(t)y=0的线性高振荡方程，用经典的方法，如Runge-Kutta方法、线性多步法等方法在处理该类问题时均会产生较大的误差。近来，Iserles利用Magnus展开方法详细研究了该类方程数值解法问题，给出了计算结果较好的数值算法。
在本文中，我们系统地介绍了Magnus展开和Neumann展开方法。利用Netamann展开构造的数值解法涉及高振荡函数积分。我们分别用Filon方法，泰勒展开方法及分段线性插值方法计算，给出了不同的数值解法。实验显示，这些方法都可以给出较好的数值结果。