随着科学技术的发展，非线性科学得到了蓬勃的发展.它们已经涉及几乎所有的科学领域.孤子、混沌和分形作为非线性科学的三大重要分支，对它们的研究有着重大的理论意义和应用价值，如光孤子通信、混沌保密通信和海岸线的长度等.　　 本文主要研究孤立子的数值解和混沌同步这两方面的问题.虽然它们表面上看是两种不同的现象，但它们却具有很多相似的特点.例如：它们都与非线性系统有关：孤立子与非线性偏微分、常微分、微分-积分方程(组)等相关，而混沌与非线性常微分、差分方程(组)等有联系.　　 本文以符号计算软件Maple为工具，拓展了Adomian分解法和同伦摄动法，研究了一些有重要物理意义的非线性孤子方程，并获得了一些有用的数值解(逼近解);同时对混沌系统的同步问题做了进一步的探究，提出了时间连续和时间离散混沌系统的函数级联同步法，给出了它们的自动推理格式，并研究了一些连续和离散、带有和不带有不定参数的混沌系统的函数级联同步.　　 本文分四章来介绍：　　 第一章介绍了孤立子研究的历史和发展，Adomian分解法和同伦摄动法的发展;混沌及混沌同步的发展历史和现状，同时介绍了了国内外学者这些领域所取得的成果.　　 第二章将原本用于求解整数阶微分方程精确解及数值解的Adomian分解法和同伦摄动法推广到了一些重要的分数阶非线性孤子方程中.例如：研究了一个数学物理上重要的、具有任意阶非线性项的非线性发展方程，获得了一些广义数值解，研究了一系列非线性分数阶耦台微分方程，获得了一些具有实际物理意义的数值解，研究了复KdV方程，获得了它的数值positon、negaton以及数值complexiton解.　　 第三章给出了混沌系统的时间连续和离散型的函数级联同步法的自动推理格式，研究统一馄沌系统、带不定参数的Lorenz系统、超混沌Lü系统和、离散的广义Hénon映射等混沌系统的函数级联同步问题，并利用数值模拟验证该算法的有效性.　　 第四章给出了本文的总结和展望