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习题是学生学习知识、运用知识、巩固知识不可缺少的内容，它往往只是提供了一个线索或某一个方面的类型，如果教学中只是就题解题或就题论题，那么培养学生的思维能力，特别是发散思维能力就会显得苍白无力．如果能开发性地使用习题，使学生举一反三、触类旁通，那么对学生发散思维能力的培养极为有效．下面谈谈本人在教学实践中，通过一道习题的开发，培养学生发散思维能力而进行的探索．
原题目：如图1，已知等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，DE、DF分别垂直AB、AC，垂足分别为点E、F，且AD=10，求DE与DF的长．
一、初探结论，激发发散思维
此习题的解答，大部分学生都能在1分钟内完成．在全班学生认真思考解法后，我让学生甲说出了解答思路：由于等边三角形的每个内角都等于60°，由等腰三角形“三线合一”性质可知∠BAD=30°，再根据“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”的性质即可得DE=AD=5，同理DF=5，所以DE、DF的长都是5．
在学生甲完成解答过程后，我提出“此题中的DE、DF、AD三条线段在数量上有何关系”的问题让学生思考，学生很快得出：DE+DF=AD． 此时我再引导学生分析、观察图形并思考：此题目中的三条线段DE、DF、AD在位置上有什么特点？学生观察后说有共点D，且D是BC边的中点，也就是说“DE+DF=AD”的结论是在这样特殊条件下得到的. 此时，我提出新的问题：如果没有这样的特殊条件，即“D不是BC边的中点，而是BC边上任意一点”时，这个结论还能成立吗？让学生开展小组讨论．一下子，学生们的探究热情被激发起来了，学生之间急切地讨论交流了起来．这样，通过对问题的结论进行初步探索，成功地激发了学生的发散思维．
二、类推结论，启动发散思维
学生们经过充分讨论和交流后，大部分认为结论“DE+DF=AD”仍然成立．这时，我提出如下问题让学生思考并回答：1. 原题目应作何变化？写出变化后的题目，并画出图形；2. 尝试证明结论“DE+DF=AD”． 问题提出后，学生的思维再次被激发，经过热烈的讨论后，学生们争先恐后地举手回答．在学生乙说出了题目并画出变化后的图形后，我把它板书出来.
变题1：如图2，已知等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，P是BC边上一点（不与B、C、D重合），PE、PF分别垂直AB、AC，垂足分别为点E、F，求证：PE+PF=AD．
但这题的证明毕竟有些难度，我适时地提示学生：证PE+PF=AD，可考虑把PE与PF的其中一条线段延长，使延长部分等于另一条线段长，再证与AD相等，所以解决问题的关键是如何作出辅助线．受到启发后，学生继续积极思考.这时，学生丙举手说出他的解答思路，我对他正确的解答部分及时肯定，对不完善的部分让其他学生加以修正，直至得到完整的证明思路，最后让全体学生写出变题1的证明过程.
证明：如图3，延长EP到G，使PG=PF，则GE=PE+PF，作CH⊥AB，垂足为H，由等边三角形的性质有CH=AD，连接CG． ∵在等边三角形ABC中，∠B=∠ACB=60°，且PE⊥AB、PF⊥AC，∴∠EPB=∠FPC=30°，∴∠GPC=∠EPB=∠FPC=30°，又∵PG=PF，PC=PC，∴△FPC≌△GPC，∴∠G=∠PFC=90°，又∵CH⊥AB，PE⊥AB，∴四边形HEGC是矩形，∴GE=CH，∴PE+PF=GE=CH=AD．
完成证明后，我提问学生：你们能否把这个结论用文字叙述出来呢？从而引导学生自主概括归纳，最后得出结论：等边三角形一边上的一点到其余两边上的距离之和等于这条边上的高．
整个教学过程，学生们都能在教师的引导下积极主动地探索新知，特别是学生在自己的猜想得到验证后，品尝到了成功所带来的喜悦．这样，通过对原题结论进行类推，成功地启动了学生的发散思维之门．
三、再探结论，培养发散思维
就在学生们很有成就感的时候，我趁热打铁地提出了新的问题：刚才我们研究点P在等边三角形的一边上的情形，那么点P的位置不在三角形的一边时，情形有几种，分别是什么？学生思考后回答：点P可以在三角形的内部，还可以在三角形的外部．我接着问学生：当点P在三角形内部时，过点P可作三角形三条边的垂线段，这时的结论会是怎样呢？请同学们说说看．在学生疑惑之时，我画出图4，引导学生观察、分析，思维灵活的学生思考后得到一个新的猜想：“此时的结论是PE+PF+PG=AD.”从而把原题变化得到变题2.
变题2：如图4，已知等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，P是△ABC内任一点，PE、PF、PG分别垂直AB、AC、BC，垂足分别为点E、F、G，求证：PE+PF+PG=AD．
我启发学生：观察此图与变题1之间有怎样的关系？学生们经过认真观察、对比后，很快发现：图4中，若把BC平移到过点P的位置上，可得到变题1的图形，从而可根据变题1的结论作进一步的推理，顺此思路很快便找到了解决问题的方法． 在学生丁回答了证明思路后，我让他完成了推理证明过程：过点P作MN∥BC，分别交AB、AC、AD于点M、N、H，则四边形HDGP是矩形，∴ PG=HD．由变题1有“AH=PE+PF”的结论，∴ AD=AH+HD=PE+PF+PG．此时，我再启发学生用文字叙述出变题2的结论，从而概括得到：等边三角形内一点到三条边的距离之和等于这个三角形一边上的高．
经过变题2的演练，让学生自主发现变题1与变题2之间的联系，进一步调动了学生探究数学问题的积极性．这样，通过对原题结论的再次探索，很好地培养了学生的发散思维．
四、深探结论，升华发散思维
为了让学生对问题的探究达到高潮，我又不失时机地抛出“当点P在三角形外时，变题2结论还成立吗”的问题让学生思考，很多学生依以前的学习经验惯性判断结论仍成立．我画出图5，并让学生观察，有部分学生仔细分析后，说结论好像不成立了，我顺势引导：不成立的理由是什么？有没有新的结论呢？细细思考之后，一位思维敏捷的学生首先提出了新的结论应是“AD=PE+PF-PG”，并写出了变化后的题目：
变题3：如图5，已知等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，P是△ABC外任一点，PE、PF、PG分别垂直AB、AC、BC，垂足分别为点E、F、G，求证：AD=PE+PF-PG．
这位学生依照前面的解答思路，很快地说出他的理由：过点P作MN∥BC，分别交AB、AC、AD的延长线于点M、N、H（如图6），则四边形HDGP是矩形，∴ PG=HD． 由变题1有“AH=PE+PF”的结论，∴ AD=AH-HD=PE+PF-PG．
我肯定他的回答后指出，经过论证，此时的结论不同于变题2的结论，这个例子说明我们学习数学不能凭感觉或经验作判断的依据，一定要经过严密的推理论证，这样得到的结论才是正确的．
数学的奇妙之处在于它的灵活多变．通过设计这一系列的由易到难、循序渐进的梯度变化练习，让学生从“激疑”“生疑”到“化疑”的学习过程中，发散思维得到不断地深化和拓展．这样,通过对原题结论深入探索，学生的发散思维得到了明显的升华．
责任编辑罗峰
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
原题目：如图1，已知等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，DE、DF分别垂直AB、AC，垂足分别为点E、F，且AD=10，求DE与DF的长．
一、初探结论，激发发散思维
此习题的解答，大部分学生都能在1分钟内完成．在全班学生认真思考解法后，我让学生甲说出了解答思路：由于等边三角形的每个内角都等于60°，由等腰三角形“三线合一”性质可知∠BAD=30°，再根据“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”的性质即可得DE=AD=5，同理DF=5，所以DE、DF的长都是5．
在学生甲完成解答过程后，我提出“此题中的DE、DF、AD三条线段在数量上有何关系”的问题让学生思考，学生很快得出：DE+DF=AD． 此时我再引导学生分析、观察图形并思考：此题目中的三条线段DE、DF、AD在位置上有什么特点？学生观察后说有共点D，且D是BC边的中点，也就是说“DE+DF=AD”的结论是在这样特殊条件下得到的. 此时，我提出新的问题：如果没有这样的特殊条件，即“D不是BC边的中点，而是BC边上任意一点”时，这个结论还能成立吗？让学生开展小组讨论．一下子，学生们的探究热情被激发起来了，学生之间急切地讨论交流了起来．这样，通过对问题的结论进行初步探索，成功地激发了学生的发散思维．
二、类推结论，启动发散思维
学生们经过充分讨论和交流后，大部分认为结论“DE+DF=AD”仍然成立．这时，我提出如下问题让学生思考并回答：1. 原题目应作何变化？写出变化后的题目，并画出图形；2. 尝试证明结论“DE+DF=AD”． 问题提出后，学生的思维再次被激发，经过热烈的讨论后，学生们争先恐后地举手回答．在学生乙说出了题目并画出变化后的图形后，我把它板书出来.
变题1：如图2，已知等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，P是BC边上一点（不与B、C、D重合），PE、PF分别垂直AB、AC，垂足分别为点E、F，求证：PE+PF=AD．
但这题的证明毕竟有些难度，我适时地提示学生：证PE+PF=AD，可考虑把PE与PF的其中一条线段延长，使延长部分等于另一条线段长，再证与AD相等，所以解决问题的关键是如何作出辅助线．受到启发后，学生继续积极思考.这时，学生丙举手说出他的解答思路，我对他正确的解答部分及时肯定，对不完善的部分让其他学生加以修正，直至得到完整的证明思路，最后让全体学生写出变题1的证明过程.
证明：如图3，延长EP到G，使PG=PF，则GE=PE+PF，作CH⊥AB，垂足为H，由等边三角形的性质有CH=AD，连接CG． ∵在等边三角形ABC中，∠B=∠ACB=60°，且PE⊥AB、PF⊥AC，∴∠EPB=∠FPC=30°，∴∠GPC=∠EPB=∠FPC=30°，又∵PG=PF，PC=PC，∴△FPC≌△GPC，∴∠G=∠PFC=90°，又∵CH⊥AB，PE⊥AB，∴四边形HEGC是矩形，∴GE=CH，∴PE+PF=GE=CH=AD．
完成证明后，我提问学生：你们能否把这个结论用文字叙述出来呢？从而引导学生自主概括归纳，最后得出结论：等边三角形一边上的一点到其余两边上的距离之和等于这条边上的高．
整个教学过程，学生们都能在教师的引导下积极主动地探索新知，特别是学生在自己的猜想得到验证后，品尝到了成功所带来的喜悦．这样，通过对原题结论进行类推，成功地启动了学生的发散思维之门．
三、再探结论，培养发散思维
就在学生们很有成就感的时候，我趁热打铁地提出了新的问题：刚才我们研究点P在等边三角形的一边上的情形，那么点P的位置不在三角形的一边时，情形有几种，分别是什么？学生思考后回答：点P可以在三角形的内部，还可以在三角形的外部．我接着问学生：当点P在三角形内部时，过点P可作三角形三条边的垂线段，这时的结论会是怎样呢？请同学们说说看．在学生疑惑之时，我画出图4，引导学生观察、分析，思维灵活的学生思考后得到一个新的猜想：“此时的结论是PE+PF+PG=AD.”从而把原题变化得到变题2.
变题2：如图4，已知等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，P是△ABC内任一点，PE、PF、PG分别垂直AB、AC、BC，垂足分别为点E、F、G，求证：PE+PF+PG=AD．
我启发学生：观察此图与变题1之间有怎样的关系？学生们经过认真观察、对比后，很快发现：图4中，若把BC平移到过点P的位置上，可得到变题1的图形，从而可根据变题1的结论作进一步的推理，顺此思路很快便找到了解决问题的方法． 在学生丁回答了证明思路后，我让他完成了推理证明过程：过点P作MN∥BC，分别交AB、AC、AD于点M、N、H，则四边形HDGP是矩形，∴ PG=HD．由变题1有“AH=PE+PF”的结论，∴ AD=AH+HD=PE+PF+PG．此时，我再启发学生用文字叙述出变题2的结论，从而概括得到：等边三角形内一点到三条边的距离之和等于这个三角形一边上的高．
经过变题2的演练，让学生自主发现变题1与变题2之间的联系，进一步调动了学生探究数学问题的积极性．这样，通过对原题结论的再次探索，很好地培养了学生的发散思维．
四、深探结论，升华发散思维
为了让学生对问题的探究达到高潮，我又不失时机地抛出“当点P在三角形外时，变题2结论还成立吗”的问题让学生思考，很多学生依以前的学习经验惯性判断结论仍成立．我画出图5，并让学生观察，有部分学生仔细分析后，说结论好像不成立了，我顺势引导：不成立的理由是什么？有没有新的结论呢？细细思考之后，一位思维敏捷的学生首先提出了新的结论应是“AD=PE+PF-PG”，并写出了变化后的题目：
变题3：如图5，已知等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，P是△ABC外任一点，PE、PF、PG分别垂直AB、AC、BC，垂足分别为点E、F、G，求证：AD=PE+PF-PG．
这位学生依照前面的解答思路，很快地说出他的理由：过点P作MN∥BC，分别交AB、AC、AD的延长线于点M、N、H（如图6），则四边形HDGP是矩形，∴ PG=HD． 由变题1有“AH=PE+PF”的结论，∴ AD=AH-HD=PE+PF-PG．
我肯定他的回答后指出，经过论证，此时的结论不同于变题2的结论，这个例子说明我们学习数学不能凭感觉或经验作判断的依据，一定要经过严密的推理论证，这样得到的结论才是正确的．
数学的奇妙之处在于它的灵活多变．通过设计这一系列的由易到难、循序渐进的梯度变化练习，让学生从“激疑”“生疑”到“化疑”的学习过程中，发散思维得到不断地深化和拓展．这样,通过对原题结论深入探索，学生的发散思维得到了明显的升华．
责任编辑罗峰
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文