中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1672-8882(2011)06-103-02
　　
　　著名数学家华罗庚说过:“数缺形时少直觉,形缺数时难入微。数形结合百般好,隔离分家万事非。”这说的就是数形结合思想,是中学数学中一种重要的数学思想,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。数形结合思想的应用非常广泛,常见的如在解析几何中,求函数的最值问题中,三角函数的问题中,利用它能较快的发现解题方法,并且避免了大量的计算。尤其,在解决填空题时具有很大的优越性。笔者在本文中将通过具体的例子说明数形结合思想在解题中的应用。
　　
　　一、数形结合思想在集合题中的应用
　　
　　【例1】某市数学、物理、化学竞赛时,某班有24名参加数学,28名参加物理,19名参加化学,全参加的有7名,只参加数学、物理两科的5名,只参加物理、化学两科的3名,只参加数学、化学两科的4名,如果此班级有学生48名,问有几名学生什么竞赛也没有参加？
　　【分析】我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如图）,则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数．
　　【解】由韦恩图可知:
　　什么竞赛都没有参加的人数=48-8-4-7-5-5-3-13=3。
　　则有3名学生什么竞赛也没有参加。
　　
　　二、数形结合思想在方程中的应用
　　
　　【例2】若关于x的方程 的两根都在区间(-1,3)内,求k的取值范围。
　　【分析】 ,其图象与x轴交点的横坐标就是方程 的根,根据函数图象的性质可以得出对应的方程情况。
　　【例3】求方程 的实数解的个数？
　　【分析】我们可把这个问题转化为确定函数
　　与 图像交点个数的情况。
　　【解】从图像可以直观看出:
　　两个函数有三个交点,所以实数解的个数为三个。
　　
　　三、数形结合思想在解析几何中的应用
　　
　　【例4】如果实数x,y满足 ,求x/y的最大值。
　　【分析】等式 有明显的几何意义,它表示坐标平面上的一个圆,圆心为(2,0),半径 ,（如图）,而 则表示圆上的点(x,y)与坐标原点（0,0）的连线的斜率,如此一来,该问题可转化为如下几何问题:动点A在以（2,0）为圆心,以 为半径的圆上移动,求直线OA的斜率的最大值。
　　【解】由下图可见,当点A在第一象限,且与圆相切时,OA的斜率最大,经简单计算,得最大值为 。
　　【例5】点M是椭圆 上一点,它到其中一个焦点F1的距离为2,N为MF1的中点,O表示原点,则 .
　　【分析】学生会选择通过确定M点的坐标,进而求MF1中点的坐标,最后利用两点间的距离公式求出 ,但这样就增加了计算量。
　　
　　四、数学结合思想在距离类问题中的应用
　　
　　五、数形结合思想在三角函数中的应用
　　
　　【分析】本题可以把函数化为关于x的三角函数,然后利用其有界性求值域,但其运算量大,对学生的运算能力有较高要求,有一定难度。此题可看成过两点M( ),
　　 构成直线的斜率的范围,又M( )在一个单位圆上,故可构造图像求此函数值域。
　　
　　六、数形结合思想在线性规划题中的应用
　　
　　七、数形结合思想在不等式中的应用
　　
　　【例9】、当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2　　【分析】:若将不等号两边分别设成两个函数,则左边为二次函数,图象是抛物线,右边为常见的对数函数的图象,故可以通过图象求解。
　　总之,数与形是数学中最基本的元素,数形结合思想不仅是基本的思想方法,而且是解决数学题中的一种常用方法。在解决数学问题时,常常要根据数学问题中的条件和结论之间的内在联系,要根据“数”与“形”既对立,又统一的特点去分析,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,把抽象思维变为形象思维。在平时的解题中,笔者希望同学们随时注意应用数形结合思想,加强训练,来提高解决问题的能力与速度。
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