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【摘 要】现代认知心理学研究表明，形象化的图式呈现方式比抽象符号的叙述方式更有利于知识的理解和运用，言语叙述虽然能较确切地阐明知识的内涵，但当传递较复杂的知识时，学生往往无法由线性的言语叙述建构起对知识的非线性理解，而图式却有助于简化复杂关系的形式，对知识进行梳理和运用，并且构建图表的过程能让学生生动地、直观地表示数学知识面、思想方法的来龙去脉，使学生容易接受理解并学会应用。
【关键词】图表；小学数学；认知结构；知识建构
在传统的数学教学实践中，很多教师只关注语言表达、板书、课本上文字符号等言语化表征，而忽视了图式在数学学习中的作用，因此，学生的认知结构常常表现为：知识点单一、孤立、破碎、缺乏联系。如果能运用概念图、维恩图、示意图、鱼骨图及表格图等图式表征，将会极大地促进和增强学生对知识的建构，并养成学生善于运用图表策略进行高效学习的意识、习惯和素养。本文用实例诠释从图式的视角探讨促进小学数学高效课堂的学习策略。
一、对图式的思考和解释
图式这一概念最初是由德国的哲学家康德提出来的，他把图式看作是“潜藏在人类心灵深处的”一种技术、一种技巧。因此，在康德那里，图式是一种先验的范畴。瑞士的心理学家皮亚杰通过实验研究，赋予图表概念新的含义，他把图式看作是包括动作结构和运算结构在内的从经验到概念的中介，在皮亚杰看来，图式是主体内部的一种动态、可变的认知结构。
图式是组织和表征信息的一种可视化思维工具，通过可视化组织可以形成促进思维发展的引导框架和网络，它将解决问题过程中的各种思维以各种直观、形象和清晰的结构图示表现出来，促进他们整合新旧知识，建构知识网络，浓缩知识结构。
二、图式的构建与应用
图式减少烦冗累赘的文字叙述，直观简明地呈现出知识的结构性和认知的整合性，有助于学生对知识的理解和概括。因此，要积极地引导学生主动而有效地去构建图式，增强对图式的认知能力，并灵活运用图式高效地解决问题。构图是一个比较高的要求，难度也比较大。制作一个完整且合理的图式，除了要让学生掌握基本的制图方法外，更重要的是要引导学生探究发现各概念之间的内在联系，各知识点之间的逻辑关系和层级关系，作为教师最好能坚持“由扶到放，循序渐进”的原则，一步一步指导学生构建图式。在这里只对常用的图式如概念图、维恩图、示意图、鱼骨图及表格图等的构建与应用进行阐述。
（一）如何运用概念图帮助学生建构知识
概念图是利用节点、连线以及连接词来组织和表征知识，通常从一般概念出发，往下逐级延伸至具体概念，以层级结构表明各概念间的关系概念图不但能帮助学生经历知识的形成过程，还可以帮助学生组织整合信息。当学生在学习知识之后，常常忽视对所学知识进行小结与反思，致使知识点只是零乱地存放在大脑中，并没有形成具体的知识结构框架，其主要原因是缺乏一种学习策略去帮助学生进行这项活动，如果此时要求学生构建概念图，促使学生再一次经历建构的过程，把新旧知识进行整合，把所学知识融入知识框架之中，这样，就能使有关知识综合贯通，并且系统化、有序化，从而有助于完善认知结构。比如，学完人教版五年级下册“分数的意义和性质”后，就可以运用概念图的策略，来建构如图1所示的概念图进行复习巩固。
（二）维恩图在表示概念之间的关系及在解决重叠问题中的应用
维恩图是英国数学家维恩所推崇的利用固定位置的交叉环形式再加上阴影来表示逻辑问题，作为可显示事物重叠区域的图示，它常常用于区别、表达不同事物的异同，数学中常用维恩图来表示集合与集合之间的关系或表示各种概念之间的形式逻辑关系（如并列、隶属、交叉等）。如图2和图3就是常见的表示概念之间的形式逻辑关系的维恩图。
又例如：一个班有45个学生，全班学生都借有语文或数学课外书，已知借语文的有39人，借数学的有32人，语文、数学两种课外书都借的有多少人？
这是牵系到重叠问题的题目，可以借助维恩图来解决，如图4。
（三）如何借用示意图来解决稍复杂的数学问题
示意图就是根据问题本身的描述，结合学生自己的理解，用简易的图表表示问题间的结构关系，示意图可以将抽象问题直观化、形象化，有利于学生对较难问题的理解与掌握，这在解决复杂的现实问题的教学中尤为重要。
作者用以下具体实例加以说明。有一满杯的水，喝去2/3后又倒入140克水，这时杯中的水相当于原来的4/5，求喝去的水有多少克？画图分析数量变化情况如图5。
通过作该示意图，学生很容易发现题中各个量之间的对应关系，减少問题表面特征的干扰而建立正确的表征思路。
（四）如何运用鱼骨图来凸显知识形成的前因后果
鱼骨图是由日本管理大师石川馨先生发展出来的。鱼骨图很像鱼的骨骼，通常呈现事物产生的原因与造成的结果，使人一目了然地了解事物的前因后果，把握事物发生、发展的规律，凸显知识的形成过程。如图6就是“方程的意义”的鱼骨图。
（五）表格图在解决逻辑推理问题中的应用
表格具有整齐、简明、易于比较分析的特点。利用表格表征对相似、相近或相反的知识进行整合，有助于学生在比较中形成对知识的剖析和理解，特别是对于一些逻辑推理问题，这种问题的特点是层次重叠复杂，条件纵横交错，很容易扰乱思维。如果通过表格进行推理，既条理清晰、一目了然，又便于简化问题。例如：
小李、小王、小张三人中一位是营业员，一位是教师，一位是演员。现在只知道：
（1）小张比演员年龄大；
（2）小李和教师不同岁；
（3）教师比小王年龄小。
通过列表分析，确定谁是营业员，谁是教师，谁是演员。见表1。
三、图式的迁移与整合
系统的知识结构转化为图式后，不是固定不变的，而是动态的、开放的，它需要吸纳新知识，并提高知识的抽象水平，而这些都是在知识的运用和图式的迁移中实现的，在图式迁移的过程中，学生的认知结构就会不断地得到丰富、发展，还可以举一反三，触类旁通，进而同化新的信息。如前面提到的喝水问题，在教学中，教师可以设计与上述问题表面相似，结构不相似；表面不相似，结构相似；表面及结构都不相似等多种问题样例，教会学生建立正确的类比关系，从而激活相关的问题图表，并在对问题情境信息的解读中构建新的图式，进而完成图式的迁移。
作为学习策略来说，图式是一种高层次的学习策略，在运用的过程中结合其他的学习策略，能更好地发挥图式的作用。比如：在运用图式解决问题时，要与提问、启发、勾画等加工策略结合，经过分析、综合、概括等思维活动，实现题中信息与图式概念的整合，达到解决问题的目的。图式建立之后，还要与识记策略整合，以便把图式存贮在记忆中，为提取和输出奠定基础。因此，将图式策略与其他学习策略相结合，不但丰富了认知结构，而且发展和完善了认知结构，极大地搞高了学习的有效性。
简而言之，在小学数学教学中运用图式，可以将抽象的概念直观化、具体化，把无形的解题思路形象化、简单化，不仅有利于学生高效率的学好数学知识，更有利于学生兴趣的培养和能力的提高，使数学教学达到事半功倍的效果。
参考文献
[1]齐伟.概念图/思维导图导论[J].教育技术导刊，2005（05）.
[2]唐剑岚.数学多元表征学习与教学[M].南京：南京师范大学出版社，2009.
【关键词】图表；小学数学；认知结构；知识建构
在传统的数学教学实践中，很多教师只关注语言表达、板书、课本上文字符号等言语化表征，而忽视了图式在数学学习中的作用，因此，学生的认知结构常常表现为：知识点单一、孤立、破碎、缺乏联系。如果能运用概念图、维恩图、示意图、鱼骨图及表格图等图式表征，将会极大地促进和增强学生对知识的建构，并养成学生善于运用图表策略进行高效学习的意识、习惯和素养。本文用实例诠释从图式的视角探讨促进小学数学高效课堂的学习策略。
一、对图式的思考和解释
图式这一概念最初是由德国的哲学家康德提出来的，他把图式看作是“潜藏在人类心灵深处的”一种技术、一种技巧。因此，在康德那里，图式是一种先验的范畴。瑞士的心理学家皮亚杰通过实验研究，赋予图表概念新的含义，他把图式看作是包括动作结构和运算结构在内的从经验到概念的中介，在皮亚杰看来，图式是主体内部的一种动态、可变的认知结构。
图式是组织和表征信息的一种可视化思维工具，通过可视化组织可以形成促进思维发展的引导框架和网络，它将解决问题过程中的各种思维以各种直观、形象和清晰的结构图示表现出来，促进他们整合新旧知识，建构知识网络，浓缩知识结构。
二、图式的构建与应用
图式减少烦冗累赘的文字叙述，直观简明地呈现出知识的结构性和认知的整合性，有助于学生对知识的理解和概括。因此，要积极地引导学生主动而有效地去构建图式，增强对图式的认知能力，并灵活运用图式高效地解决问题。构图是一个比较高的要求，难度也比较大。制作一个完整且合理的图式，除了要让学生掌握基本的制图方法外，更重要的是要引导学生探究发现各概念之间的内在联系，各知识点之间的逻辑关系和层级关系，作为教师最好能坚持“由扶到放，循序渐进”的原则，一步一步指导学生构建图式。在这里只对常用的图式如概念图、维恩图、示意图、鱼骨图及表格图等的构建与应用进行阐述。
（一）如何运用概念图帮助学生建构知识
概念图是利用节点、连线以及连接词来组织和表征知识，通常从一般概念出发，往下逐级延伸至具体概念，以层级结构表明各概念间的关系概念图不但能帮助学生经历知识的形成过程，还可以帮助学生组织整合信息。当学生在学习知识之后，常常忽视对所学知识进行小结与反思，致使知识点只是零乱地存放在大脑中，并没有形成具体的知识结构框架，其主要原因是缺乏一种学习策略去帮助学生进行这项活动，如果此时要求学生构建概念图，促使学生再一次经历建构的过程，把新旧知识进行整合，把所学知识融入知识框架之中，这样，就能使有关知识综合贯通，并且系统化、有序化，从而有助于完善认知结构。比如，学完人教版五年级下册“分数的意义和性质”后，就可以运用概念图的策略，来建构如图1所示的概念图进行复习巩固。
（二）维恩图在表示概念之间的关系及在解决重叠问题中的应用
维恩图是英国数学家维恩所推崇的利用固定位置的交叉环形式再加上阴影来表示逻辑问题，作为可显示事物重叠区域的图示，它常常用于区别、表达不同事物的异同，数学中常用维恩图来表示集合与集合之间的关系或表示各种概念之间的形式逻辑关系（如并列、隶属、交叉等）。如图2和图3就是常见的表示概念之间的形式逻辑关系的维恩图。
又例如：一个班有45个学生，全班学生都借有语文或数学课外书，已知借语文的有39人，借数学的有32人，语文、数学两种课外书都借的有多少人？
这是牵系到重叠问题的题目，可以借助维恩图来解决，如图4。
（三）如何借用示意图来解决稍复杂的数学问题
示意图就是根据问题本身的描述，结合学生自己的理解，用简易的图表表示问题间的结构关系，示意图可以将抽象问题直观化、形象化，有利于学生对较难问题的理解与掌握，这在解决复杂的现实问题的教学中尤为重要。
作者用以下具体实例加以说明。有一满杯的水，喝去2/3后又倒入140克水，这时杯中的水相当于原来的4/5，求喝去的水有多少克？画图分析数量变化情况如图5。
通过作该示意图，学生很容易发现题中各个量之间的对应关系，减少問题表面特征的干扰而建立正确的表征思路。
（四）如何运用鱼骨图来凸显知识形成的前因后果
鱼骨图是由日本管理大师石川馨先生发展出来的。鱼骨图很像鱼的骨骼，通常呈现事物产生的原因与造成的结果，使人一目了然地了解事物的前因后果，把握事物发生、发展的规律，凸显知识的形成过程。如图6就是“方程的意义”的鱼骨图。
（五）表格图在解决逻辑推理问题中的应用
表格具有整齐、简明、易于比较分析的特点。利用表格表征对相似、相近或相反的知识进行整合，有助于学生在比较中形成对知识的剖析和理解，特别是对于一些逻辑推理问题，这种问题的特点是层次重叠复杂，条件纵横交错，很容易扰乱思维。如果通过表格进行推理，既条理清晰、一目了然，又便于简化问题。例如：
小李、小王、小张三人中一位是营业员，一位是教师，一位是演员。现在只知道：
（1）小张比演员年龄大；
（2）小李和教师不同岁；
（3）教师比小王年龄小。
通过列表分析，确定谁是营业员，谁是教师，谁是演员。见表1。
三、图式的迁移与整合
系统的知识结构转化为图式后，不是固定不变的，而是动态的、开放的，它需要吸纳新知识，并提高知识的抽象水平，而这些都是在知识的运用和图式的迁移中实现的，在图式迁移的过程中，学生的认知结构就会不断地得到丰富、发展，还可以举一反三，触类旁通，进而同化新的信息。如前面提到的喝水问题，在教学中，教师可以设计与上述问题表面相似，结构不相似；表面不相似，结构相似；表面及结构都不相似等多种问题样例，教会学生建立正确的类比关系，从而激活相关的问题图表，并在对问题情境信息的解读中构建新的图式，进而完成图式的迁移。
作为学习策略来说，图式是一种高层次的学习策略，在运用的过程中结合其他的学习策略，能更好地发挥图式的作用。比如：在运用图式解决问题时，要与提问、启发、勾画等加工策略结合，经过分析、综合、概括等思维活动，实现题中信息与图式概念的整合，达到解决问题的目的。图式建立之后，还要与识记策略整合，以便把图式存贮在记忆中，为提取和输出奠定基础。因此，将图式策略与其他学习策略相结合，不但丰富了认知结构，而且发展和完善了认知结构，极大地搞高了学习的有效性。
简而言之，在小学数学教学中运用图式，可以将抽象的概念直观化、具体化，把无形的解题思路形象化、简单化，不仅有利于学生高效率的学好数学知识，更有利于学生兴趣的培养和能力的提高，使数学教学达到事半功倍的效果。
参考文献
[1]齐伟.概念图/思维导图导论[J].教育技术导刊，2005（05）.
[2]唐剑岚.数学多元表征学习与教学[M].南京：南京师范大学出版社，2009.