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中图分类号：G642.421
近几年的高考对新课程增加的新内容的考查形式和要求已经发生重大变化，向量、导数等内容已经由解决问题的辅助地位上升为分析问题和解决问题时必不可少的工具，成为综合运用数学知识、多角度展开解题思路的重要命题素材。高考试卷中立体几何试题不断出现了一批具有探究性、开放性的试题，对这些试题的研究不难发现，如果灵活的运用平面向量和空间向量知识来探求这类问题，将是更好的形与数的结合。
一、 探求轨迹问题的向量解法
① 利用向量的几何运算探求轨迹
例1.（2004年襄樊市高考模拟试题）一定长线段AB的两个端点沿互相垂直的两条异面直线 运动，求它的中点的轨迹。
解析：如图：设MN为 的公垂线，连结AN，则AM⊥MN，NB⊥MN，分别记MN、AB的中点为O、P，AB=a，MN=b，
则 = = .
∴P点必在平面AMN的垂直平分面上。
∵
= 。
∴ 。
所以P点在以O为圆心，以 为半径的圆上，故P点的轨迹是MN的垂直平分面内的一个圆。
点评：本例从向量的几何运算入手，定性的分析了动点的轨迹，解决了传统方法不能解决的问题。
② 利用向量的坐标运算探求轨迹
例2.（2004年南京市高考模拟题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且 ，点P是ABCD面内的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则点P的轨迹是（ ）。
A 抛物线 B 双曲线
C 直线 D 以上都不是
解析：建立如图所示的坐标系，
设P ，E在A1D1上，
设E ，若PE是P到A1D1的距离，则 ， ， ，∴ ，即E（ ）。
，
由 1得： ，所以轨迹是抛物线，应选A。
点评：通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，进行定量分析，是新课程的一大亮点。
通过上述两例可以看出，以空间图形为载体的轨迹问题，是把立体几何问题转化到平面上，再联合运用平面几何、立体几何、平面向量、空间向量等知识去求解，特别是用向量的运算，从定量或定性去分析，会更加具体和直观。
二、 存在性问题的向量解法
① 棱上存在一点的向量解法：
例3：如图所示，在底面是菱形的四棱锥
P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC= ，
PB=PD= ，点E在PD上，且 ，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论。
解析1：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.
证明如下：
因为
= .
所以 、 、 共面。
又BF 平面AEC，从而BF∥平面AEC。
点评：通过向量的几何运算，充分利用向量共面的充要条件，巧秒的构建基底向量，使解法更加简明。
解析2：以A为坐标原点，直线AD、AP为 轴、
轴，过A点垂直平面PAD的直线为 轴，建立
空间直角坐标系，如右图，由题设条件，相关各点
坐标分别为：
A（0，0，0），B（ ，C（
D（ ），P（ ），E（ ）。
所以 ，
， ， 。
设点F是棱PC上的点，则 = ，其中0< <1.
则 = ，令 得：
，解得 ， ， ，即 时， ，亦即F是PC的中点时， 、 、 共面。
又BF 平面AEC，所以当F是PC的中点时，BF∥平面AEC。
点评：建立坐标系，将位置关系用坐标形式进行量化，是新教材的一大亮点，本例采用坐標形式结合共线向量的充要条件，使问题简单明了。
解析3：由解析2知，设点F是棱PC上的点，则 ，由定比分点公式得：
， ， ，
所以F的坐标为（ ， ， ），令
则 = ），所以，
解得： ， ， 。
，亦即F是PC的中点时， 、 、 共面。
又BF 平面AEC，所以当F是PC的中点时，BF∥平面AEC。
点评：在坐标运算的基础上，利用共线向量的充要条件，引入参变量 ，结合定比分点公式，既减少了思维量，又是形与数结合的体现。
② 面上存在一点的向量解法
例4.（2005年高考文普模拟题）如图所示。PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E是PB的中点， 与 夹角的余弦值为 。
（1） 建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标。
（2） 在平面PAD内求一点F，使EF⊥平面PCB.
解析：⑴以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设P（0，0，2m）.
则A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）、E（1，1，m），
从而 =（-1，1，m）， =（0，0，2m）.
= ，得m=1.
所以E点的坐标为（1，1，1）.
⑵ 由于点F在平面PAD内，故可设F（ ），
由 ⊥平面PCB得：
且 ，
即
。
所以点F的坐标为（1，0，0），即点F是DA的中点时，可使EF⊥平面PCB.
点评：对于面上存在一点问题，一般情况下思维量和运算量比较大，通过对空间图形的理解，寻找面的特殊性，巧秒构建坐标，将更加简明。
例5.如图，在正四棱锥P-ABCD中，侧棱PA与面ABCD所成的角的正切值为 ，
若E是PB的中点，在侧面PAD中寻找一点F，使EF⊥平面PCB，试确定F的位置。
解析：由题意，设AO=2，PO= ，AB= 建立如图所示坐标系，则
A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（-2，0，0），
P（0，0， ），E（1，0， ）
=（-1，0， ）， =（-2，0， ）
=（-2，2，0），因在平面PAD内，
所以设 =
则 = ， = .
∴ = .
由 =0且 =0得： ， ，即 = .
点评：对于非特殊位置的面上存在性问题，运用基底向量的运算关系结合共线、共面向量的充要条件，采用坐标形式使这类存在性问题量化解决，这是空间向量解决空间几何问题的方向。
综上所述，在空间立体几何中，对于开放性、探索性、存在性问题，新教材提供了既便利又有效的解决工具——向量。充分利用平面向量、空间向量的几何运算或坐标运算，巧妙构建坐标，实施形与数的转化，将抽象问题具体化、几何问题代数化，既降低了抽象思维的难度，又使问题得到了解决，这也是新一轮课程改革的方向。
近几年的高考对新课程增加的新内容的考查形式和要求已经发生重大变化，向量、导数等内容已经由解决问题的辅助地位上升为分析问题和解决问题时必不可少的工具，成为综合运用数学知识、多角度展开解题思路的重要命题素材。高考试卷中立体几何试题不断出现了一批具有探究性、开放性的试题，对这些试题的研究不难发现，如果灵活的运用平面向量和空间向量知识来探求这类问题，将是更好的形与数的结合。
一、 探求轨迹问题的向量解法
① 利用向量的几何运算探求轨迹
例1.（2004年襄樊市高考模拟试题）一定长线段AB的两个端点沿互相垂直的两条异面直线 运动，求它的中点的轨迹。
解析：如图：设MN为 的公垂线，连结AN，则AM⊥MN，NB⊥MN，分别记MN、AB的中点为O、P，AB=a，MN=b，
则 = = .
∴P点必在平面AMN的垂直平分面上。
∵
= 。
∴ 。
所以P点在以O为圆心，以 为半径的圆上，故P点的轨迹是MN的垂直平分面内的一个圆。
点评：本例从向量的几何运算入手，定性的分析了动点的轨迹，解决了传统方法不能解决的问题。
② 利用向量的坐标运算探求轨迹
例2.（2004年南京市高考模拟题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且 ，点P是ABCD面内的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则点P的轨迹是（ ）。
A 抛物线 B 双曲线
C 直线 D 以上都不是
解析：建立如图所示的坐标系，
设P ，E在A1D1上，
设E ，若PE是P到A1D1的距离，则 ， ， ，∴ ，即E（ ）。
，
由 1得： ，所以轨迹是抛物线，应选A。
点评：通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，进行定量分析，是新课程的一大亮点。
通过上述两例可以看出，以空间图形为载体的轨迹问题，是把立体几何问题转化到平面上，再联合运用平面几何、立体几何、平面向量、空间向量等知识去求解，特别是用向量的运算，从定量或定性去分析，会更加具体和直观。
二、 存在性问题的向量解法
① 棱上存在一点的向量解法：
例3：如图所示，在底面是菱形的四棱锥
P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC= ，
PB=PD= ，点E在PD上，且 ，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论。
解析1：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.
证明如下：
因为
= .
所以 、 、 共面。
又BF 平面AEC，从而BF∥平面AEC。
点评：通过向量的几何运算，充分利用向量共面的充要条件，巧秒的构建基底向量，使解法更加简明。
解析2：以A为坐标原点，直线AD、AP为 轴、
轴，过A点垂直平面PAD的直线为 轴，建立
空间直角坐标系，如右图，由题设条件，相关各点
坐标分别为：
A（0，0，0），B（ ，C（
D（ ），P（ ），E（ ）。
所以 ，
， ， 。
设点F是棱PC上的点，则 = ，其中0< <1.
则 = ，令 得：
，解得 ， ， ，即 时， ，亦即F是PC的中点时， 、 、 共面。
又BF 平面AEC，所以当F是PC的中点时，BF∥平面AEC。
点评：建立坐标系，将位置关系用坐标形式进行量化，是新教材的一大亮点，本例采用坐標形式结合共线向量的充要条件，使问题简单明了。
解析3：由解析2知，设点F是棱PC上的点，则 ，由定比分点公式得：
， ， ，
所以F的坐标为（ ， ， ），令
则 = ），所以，
解得： ， ， 。
，亦即F是PC的中点时， 、 、 共面。
又BF 平面AEC，所以当F是PC的中点时，BF∥平面AEC。
点评：在坐标运算的基础上，利用共线向量的充要条件，引入参变量 ，结合定比分点公式，既减少了思维量，又是形与数结合的体现。
② 面上存在一点的向量解法
例4.（2005年高考文普模拟题）如图所示。PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E是PB的中点， 与 夹角的余弦值为 。
（1） 建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标。
（2） 在平面PAD内求一点F，使EF⊥平面PCB.
解析：⑴以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设P（0，0，2m）.
则A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）、E（1，1，m），
从而 =（-1，1，m）， =（0，0，2m）.
= ，得m=1.
所以E点的坐标为（1，1，1）.
⑵ 由于点F在平面PAD内，故可设F（ ），
由 ⊥平面PCB得：
且 ，
即
。
所以点F的坐标为（1，0，0），即点F是DA的中点时，可使EF⊥平面PCB.
点评：对于面上存在一点问题，一般情况下思维量和运算量比较大，通过对空间图形的理解，寻找面的特殊性，巧秒构建坐标，将更加简明。
例5.如图，在正四棱锥P-ABCD中，侧棱PA与面ABCD所成的角的正切值为 ，
若E是PB的中点，在侧面PAD中寻找一点F，使EF⊥平面PCB，试确定F的位置。
解析：由题意，设AO=2，PO= ，AB= 建立如图所示坐标系，则
A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（-2，0，0），
P（0，0， ），E（1，0， ）
=（-1，0， ）， =（-2，0， ）
=（-2，2，0），因在平面PAD内，
所以设 =
则 = ， = .
∴ = .
由 =0且 =0得： ， ，即 = .
点评：对于非特殊位置的面上存在性问题，运用基底向量的运算关系结合共线、共面向量的充要条件，采用坐标形式使这类存在性问题量化解决，这是空间向量解决空间几何问题的方向。
综上所述，在空间立体几何中，对于开放性、探索性、存在性问题，新教材提供了既便利又有效的解决工具——向量。充分利用平面向量、空间向量的几何运算或坐标运算，巧妙构建坐标，实施形与数的转化，将抽象问题具体化、几何问题代数化，既降低了抽象思维的难度，又使问题得到了解决，这也是新一轮课程改革的方向。