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学生的解题错误是一种重要的教学资源，怎样充分地利用好这一资源，有效地帮助学生认识产生错误的原因，使学生从错误中走出来？是一个值得我们认真研究的课题.本文通过解析几何中学生经常发生错误的典型题型，暴露错误的发生过程，深度剖析错误的产生原因，探讨错误的纠正方法，让这来之不易的错误绽放出美丽的花朵，希望能帮助同学们更好的理解和掌握解析几何这一内容.
例1 求过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为8的直线方程.
错解:设所求直线方程为xa+yb=1.
∵(2,1)在直线上，∴2a+1b=1，[JY。]①
又12ab=4，即ab=8，[JY。]②
由①、②得a=4,b=2.故所求直线方程为x+2y=4.
剖析:本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示.上述解法中，由于对截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”.事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为12|a||b|，而不是12ab，
正解:∴2a+1b=1，[JY。]①
即|a||b|=8，[JY。]②
故所求直线方程应为：x+2y-4=0，或(2+1)x-2(2-1)y-4=0，
或(2-1)x-2(2+1)y+4=0.
反思:截距的概念一定要清晰，分为横截距，纵截距2种，以纵截距为例是x轴交点的纵坐标，可正，可负，可为零，与类似的还有函数的零点等等.
例2 求过点A(-4,2)且与x轴的交点到(1,0)的距离是5的直线方程.
错解:设直线斜率为k，其方程为y-2=k(x+4)，则与x轴的交点为(-4-2k,0)，
∴|-4-2k-1|=5，解得k=-15.故所求直线的方程为x+5y-6=0.
剖析:题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A且垂直于x轴的直线，落入“陷阱”.
解法三:1x+1y=x+yx+x+yy=yx+xy+2≥2yx•xy+2=4.当且仅当x=y时等号成立.
◆6.等价代换解不等式
在指数与对数式中有a0=1,logaa=1,loga1=0,所以在解一些指数与对数不等式时可将“1”等价代换,速解不等式.
例6 已知52在不等式loga(x2-5x+7)＞0的解集内,求x的取值范围
分析:所给不等式中含有参数a,应利用52在不等式的解集内确定其范围,然后转化为简单不等式问题.其中,对数不等式中“0”可转化为loga 1=0.
解:52在不等式loga(x2-5x+7)＞0的解集内,即loga34＞0,故可知0＜a＜1,则由loga(x2-5x+7)＞0,即loga(x2-5x+7)＞loga1,得0＜x2-5x+7＜1.解不等式得2＜x＜3,即所求x的取值范围是(2,3).
(作者：张建虎,甘肃省张掖市临泽一中)
正解:x+5y-6=0或者x=-4.
反思:涉及求直线方程问题，总是从斜率存在与否两方面去分析.
例3 求过点(1,1)且横、纵截距相等的直线方程.
错解:设所求方程为xa+ya=1，将(1,1)代入得a=2，
从而得所求直线方程为x+y-2=0.
剖析:上述错解所设方程为xa+ya=1，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，即过原点的情形.
正解:横、纵截距为0且过点(1,1)的直线x-y=0也符合条件,所以所求直线为x-y=0或x+y-2=0
反思:横、纵截距相等要考虑过原点，和斜率为-1的两种情况，类似的还有横、纵截距相反等等.
例4 已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点为A(1,2)，要使过A点作圆的切线有两条，求a的取值范围.
错解:将圆的方程配方得：(x+a2)2+(y+1)2=4-3a24.
∵其圆心坐标为C(-a2,-1)，半径r=4-3a24.
当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，则|AC|＞r.
即(1+a2)2+(2+1)2＞4-3a24.即a2+a+9＞0，解得a∈R.
剖析:[JP3]本题的“陷阱”是方程x2+y2+ax+2y+a2=0表示圆的充要条件，上述解法仅由条件得出|AC|＞ r，即a2+a+9＞0，却忽视了a的另一制约条件4-3a2＞0.
正解:事实上，由a2+a+9＞0及4-3a2＞0可得a的取值范围是(-233,233).
反思:到涉及到参数问题时，往往要注意大前提对参数的限制,这是避免错误的关键.
例5 已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e=32，且过点P(2,3)，求此椭圆的标准方程.
错解:设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，由题意知ca=32，
4a2+9b2=1，
x2a2+y2b2=1，
解得b2=9,a2=40，所以所求椭圆的标准方程为x240+y210=1.
剖析:上述解法没有讨论焦点的位置，而是默认了椭圆的焦点在x轴上，从而少解.
正解:（1）当焦点在 轴上，解法同上，所求椭圆方程为x240+y210=1，
（2）[JP3]当焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)，
ca=32，
9a2+4b2=1
x2a2+y2b2=1，，解得b2=254，a2=25，y225+4x225=1,
所以所求椭圆方程为x240+y210=1或y225+4x225=1.
反思:在根据椭圆的性质求椭圆的标准方程时，要注意先判断焦点在哪一条轴上，若不能确定，要分类讨论.
例6 若方程x2k-3-y2k+3=1表示双曲线，则实数 的取值范围是.
错解:由k-3＞0k+3＞0，得k＞3，所以实数k的取值范围是k＞3.
剖析:本题“陷阱”是对双曲线标准方程理解不深刻，误以为该方程仅表示焦点在x轴上的双曲线，因此遗漏了焦点在y轴上的情况.
正解:当k-3＞0k+3＞0，得k＞3时，方程表示焦点在 轴上的双曲线，
当k-3＜0k+3＜0，得k＜-3时，方程表示焦点在y轴上的双曲线.
所以实数k的取值范围是k＞3或k＜-3
反思:[JP3]事实上，方程x2p-y2q表示双曲线，则应有pq＞0.
例7 双曲线x216-y29=1上的点p到点(5,0)的距离为8.5，则点p到点(-5,0)的距离.
错解:设双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),
[JP3]由双曲线定义知||PF1|-|PF2||=8,所以|PF1|=16.5或|PF1|=0.5
剖析:本题中，因左顶点到右焦点的距离为9>8.5，故点P只能在右支上.
正解:∴PF1-PF2=8,∴PF1=16.5
反思:在求解此类问题时，应灵活运用双曲线定义，分析出点P的存在情况，即到底在哪支，左支还是右支，还是都有可能，然后再求解.
例8 设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3，求抛物线的标准方程.
错解:[JP3]由y=mx2(m≠0)可得准线方程为y=-m4.由题意知-m4=1-2或-m4=4，
解得m=8或m=-16,故所求抛物线的标准方程为y=8x2或y=-16x2.
剖析:本题的“陷阱”是一是不能正确理解抛物线标准方程的形式，错误的将所给方程看作标准方程得到准线方程为y=-m4；二是得到准线方程后，只分析了其中的一种情况，而忽略了另一种情况.
正解:y=mx2(m≠0)可化为x2=1my，其准线方程为y=-14m.由题意知
-14m=-2或-14m=+4，解得m=18或m=-116,
故所求抛物线的标准方程为x2=8y或x2=-16y.
反思:涉及到圆锥曲线的方程时，先将其化为标准方程，这样一些基本的量就比较明了.
例9 [JP3]已知曲线C：y=20-x22与直线L：y=-x+m仅有一个公共点，求m的范围.
错解:曲线C：y=20-x22可化为x2+4y2=20（1），联立y=-x+mx2+4y2=20，
得：5x2-8mx+4m2-20=0，由Δ＝0,得m=±5.
剖析:方程（1）与原方程并不等价，应加上y∈[0,+∞).
正解:故原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m的范围为m=5或-25≤m＜25.
[TPS13.TIF;X*2,BP]
反思:在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错，尽可能考虑数形结合，这样可以极大的减少运算量.
例10 已知双曲线x2-y22=1,问过点A（1，1）能否作直线l,使l与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由.
错解:设符合题意的直线l存在，并设P(x1,x2)、Q(x2,y2)
[JP3]则x21-y212=1(1)x22-y222=1(2)(1)-(2)得(x1-x2)(x1+x2)=12(y1-y2)(y1+y2)(3)
因为A(1,1)为线段PQ的中点，所以x1+x2=2(4)y1+y2=2(5)
将(4)、(5)代入（3）得x1-x2=12(y1-y2)，由题意知x1≠x2，则直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=2，所以符合题设条件的直线l存在.其方程为2x-y-1=0.
剖析:应在上述解题的基础上，由y=2x-1x2-y22=1得2x2-4x+3=0，发现Δ=-8＜0, 说明直线l与双曲线x2-y22=1根本就无交点，矛盾.
正解:不存在这样的直线l.
反思:用“点差法”处理圆锥曲线中的弦的中点问题，应对所求得的直线进行检验，看是否满足大前提，类似就是一元二次方程用韦达定理前，应保证Δ＞0，都是一样的道理.
笔者认为：错误往往是正确的先导，错误也往往是发现的先导，学生的“错解”有其内在的合理性，从学生的“错解”中捡出合理的成份，补救出新的解法，探索出新的规律和结论，让学生“从跌倒的地方自己爬起来”，使学生获得从失败走向成功的思维过程的体验，符合人类认识世界、改造世界的客观规律.从学生的错误中发现“闪光点”，变告诉为探究，让学生在探究、合作和交流中学习，是帮助学生纠正错误的最为有效的教学方法.
（作者：毛东良,江苏省苏州第十中学）
例1 求过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为8的直线方程.
错解:设所求直线方程为xa+yb=1.
∵(2,1)在直线上，∴2a+1b=1，[JY。]①
又12ab=4，即ab=8，[JY。]②
由①、②得a=4,b=2.故所求直线方程为x+2y=4.
剖析:本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示.上述解法中，由于对截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”.事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为12|a||b|，而不是12ab，
正解:∴2a+1b=1，[JY。]①
即|a||b|=8，[JY。]②
故所求直线方程应为：x+2y-4=0，或(2+1)x-2(2-1)y-4=0，
或(2-1)x-2(2+1)y+4=0.
反思:截距的概念一定要清晰，分为横截距，纵截距2种，以纵截距为例是x轴交点的纵坐标，可正，可负，可为零，与类似的还有函数的零点等等.
例2 求过点A(-4,2)且与x轴的交点到(1,0)的距离是5的直线方程.
错解:设直线斜率为k，其方程为y-2=k(x+4)，则与x轴的交点为(-4-2k,0)，
∴|-4-2k-1|=5，解得k=-15.故所求直线的方程为x+5y-6=0.
剖析:题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A且垂直于x轴的直线，落入“陷阱”.
解法三:1x+1y=x+yx+x+yy=yx+xy+2≥2yx•xy+2=4.当且仅当x=y时等号成立.
◆6.等价代换解不等式
在指数与对数式中有a0=1,logaa=1,loga1=0,所以在解一些指数与对数不等式时可将“1”等价代换,速解不等式.
例6 已知52在不等式loga(x2-5x+7)＞0的解集内,求x的取值范围
分析:所给不等式中含有参数a,应利用52在不等式的解集内确定其范围,然后转化为简单不等式问题.其中,对数不等式中“0”可转化为loga 1=0.
解:52在不等式loga(x2-5x+7)＞0的解集内,即loga34＞0,故可知0＜a＜1,则由loga(x2-5x+7)＞0,即loga(x2-5x+7)＞loga1,得0＜x2-5x+7＜1.解不等式得2＜x＜3,即所求x的取值范围是(2,3).
(作者：张建虎,甘肃省张掖市临泽一中)
正解:x+5y-6=0或者x=-4.
反思:涉及求直线方程问题，总是从斜率存在与否两方面去分析.
例3 求过点(1,1)且横、纵截距相等的直线方程.
错解:设所求方程为xa+ya=1，将(1,1)代入得a=2，
从而得所求直线方程为x+y-2=0.
剖析:上述错解所设方程为xa+ya=1，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，即过原点的情形.
正解:横、纵截距为0且过点(1,1)的直线x-y=0也符合条件,所以所求直线为x-y=0或x+y-2=0
反思:横、纵截距相等要考虑过原点，和斜率为-1的两种情况，类似的还有横、纵截距相反等等.
例4 已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点为A(1,2)，要使过A点作圆的切线有两条，求a的取值范围.
错解:将圆的方程配方得：(x+a2)2+(y+1)2=4-3a24.
∵其圆心坐标为C(-a2,-1)，半径r=4-3a24.
当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，则|AC|＞r.
即(1+a2)2+(2+1)2＞4-3a24.即a2+a+9＞0，解得a∈R.
剖析:[JP3]本题的“陷阱”是方程x2+y2+ax+2y+a2=0表示圆的充要条件，上述解法仅由条件得出|AC|＞ r，即a2+a+9＞0，却忽视了a的另一制约条件4-3a2＞0.
正解:事实上，由a2+a+9＞0及4-3a2＞0可得a的取值范围是(-233,233).
反思:到涉及到参数问题时，往往要注意大前提对参数的限制,这是避免错误的关键.
例5 已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e=32，且过点P(2,3)，求此椭圆的标准方程.
错解:设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，由题意知ca=32，
4a2+9b2=1，
x2a2+y2b2=1，
解得b2=9,a2=40，所以所求椭圆的标准方程为x240+y210=1.
剖析:上述解法没有讨论焦点的位置，而是默认了椭圆的焦点在x轴上，从而少解.
正解:（1）当焦点在 轴上，解法同上，所求椭圆方程为x240+y210=1，
（2）[JP3]当焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)，
ca=32，
9a2+4b2=1
x2a2+y2b2=1，，解得b2=254，a2=25，y225+4x225=1,
所以所求椭圆方程为x240+y210=1或y225+4x225=1.
反思:在根据椭圆的性质求椭圆的标准方程时，要注意先判断焦点在哪一条轴上，若不能确定，要分类讨论.
例6 若方程x2k-3-y2k+3=1表示双曲线，则实数 的取值范围是.
错解:由k-3＞0k+3＞0，得k＞3，所以实数k的取值范围是k＞3.
剖析:本题“陷阱”是对双曲线标准方程理解不深刻，误以为该方程仅表示焦点在x轴上的双曲线，因此遗漏了焦点在y轴上的情况.
正解:当k-3＞0k+3＞0，得k＞3时，方程表示焦点在 轴上的双曲线，
当k-3＜0k+3＜0，得k＜-3时，方程表示焦点在y轴上的双曲线.
所以实数k的取值范围是k＞3或k＜-3
反思:[JP3]事实上，方程x2p-y2q表示双曲线，则应有pq＞0.
例7 双曲线x216-y29=1上的点p到点(5,0)的距离为8.5，则点p到点(-5,0)的距离.
错解:设双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),
[JP3]由双曲线定义知||PF1|-|PF2||=8,所以|PF1|=16.5或|PF1|=0.5
剖析:本题中，因左顶点到右焦点的距离为9>8.5，故点P只能在右支上.
正解:∴PF1-PF2=8,∴PF1=16.5
反思:在求解此类问题时，应灵活运用双曲线定义，分析出点P的存在情况，即到底在哪支，左支还是右支，还是都有可能，然后再求解.
例8 设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3，求抛物线的标准方程.
错解:[JP3]由y=mx2(m≠0)可得准线方程为y=-m4.由题意知-m4=1-2或-m4=4，
解得m=8或m=-16,故所求抛物线的标准方程为y=8x2或y=-16x2.
剖析:本题的“陷阱”是一是不能正确理解抛物线标准方程的形式，错误的将所给方程看作标准方程得到准线方程为y=-m4；二是得到准线方程后，只分析了其中的一种情况，而忽略了另一种情况.
正解:y=mx2(m≠0)可化为x2=1my，其准线方程为y=-14m.由题意知
-14m=-2或-14m=+4，解得m=18或m=-116,
故所求抛物线的标准方程为x2=8y或x2=-16y.
反思:涉及到圆锥曲线的方程时，先将其化为标准方程，这样一些基本的量就比较明了.
例9 [JP3]已知曲线C：y=20-x22与直线L：y=-x+m仅有一个公共点，求m的范围.
错解:曲线C：y=20-x22可化为x2+4y2=20（1），联立y=-x+mx2+4y2=20，
得：5x2-8mx+4m2-20=0，由Δ＝0,得m=±5.
剖析:方程（1）与原方程并不等价，应加上y∈[0,+∞).
正解:故原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m的范围为m=5或-25≤m＜25.
[TPS13.TIF;X*2,BP]
反思:在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错，尽可能考虑数形结合，这样可以极大的减少运算量.
例10 已知双曲线x2-y22=1,问过点A（1，1）能否作直线l,使l与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由.
错解:设符合题意的直线l存在，并设P(x1,x2)、Q(x2,y2)
[JP3]则x21-y212=1(1)x22-y222=1(2)(1)-(2)得(x1-x2)(x1+x2)=12(y1-y2)(y1+y2)(3)
因为A(1,1)为线段PQ的中点，所以x1+x2=2(4)y1+y2=2(5)
将(4)、(5)代入（3）得x1-x2=12(y1-y2)，由题意知x1≠x2，则直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=2，所以符合题设条件的直线l存在.其方程为2x-y-1=0.
剖析:应在上述解题的基础上，由y=2x-1x2-y22=1得2x2-4x+3=0，发现Δ=-8＜0, 说明直线l与双曲线x2-y22=1根本就无交点，矛盾.
正解:不存在这样的直线l.
反思:用“点差法”处理圆锥曲线中的弦的中点问题，应对所求得的直线进行检验，看是否满足大前提，类似就是一元二次方程用韦达定理前，应保证Δ＞0，都是一样的道理.
笔者认为：错误往往是正确的先导，错误也往往是发现的先导，学生的“错解”有其内在的合理性，从学生的“错解”中捡出合理的成份，补救出新的解法，探索出新的规律和结论，让学生“从跌倒的地方自己爬起来”，使学生获得从失败走向成功的思维过程的体验，符合人类认识世界、改造世界的客观规律.从学生的错误中发现“闪光点”，变告诉为探究，让学生在探究、合作和交流中学习，是帮助学生纠正错误的最为有效的教学方法.
（作者：毛东良,江苏省苏州第十中学）