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问题描述：
小学低段学习除法和有余数除法时，教材通常会要求通过“圈一圈”帮助学生加强对除法意义和算理的理解. 可是看似简单的“圈一圈”，在教学中却存在不少的问题.
例 北师大二下《课堂作业本》第7页第1题：“圈一圈，填一填. 把18盆花平均分给5个班，每个班可以分到（ ）盆花，还剩（ ）盆. ”
学生的答题情况如下：
从图中可知，学生列式解答均相同，但是圈法不同. 图1：从答案出发，3个一圈，圈了5次，余3；图2：3个一圈，余数也圈，圈了6次；图3：5个一圈，圈了3次，余3.
该习题究竟3个一圈还是5个一圈，还是都可以呢？我校二年级数学备課组进行了研讨. 讨论时，老师们各抒己见，有的认为要鼓励学生解决问题策略的多样化，有的认为“圈一圈”不能随心所欲，应体现除法的过程……
分析思考：
“圈一圈”能不能随心所欲呢？答案是肯定的“不能！”我们可以从以下几方面思考.
1. 从“圈一圈”意义的层面分析，“圈一圈”不能随心所欲
布鲁纳的发现学习论认为：学生的学习过程包括实物操作、表象操作和符号操作三个阶段. “圈一圈”属于实物操作，在实物操作的过程中学生获得的直接体验，为后两个阶段“表象操作”和“符号操作”（除法算式的构建）作充分的准备. 在访谈中发现，3个一圈的小朋友（见图1、图2）是先算出答案，再根据答案圈一圈. 这样的“圈一圈”其实是为了圈而圈，有本末倒置之嫌，即失去了圈一圈的意义.
2. 从“形”与“数”的关系分析，“圈一圈”不能随心所欲
平均分物有两种情况：第一种，已知要分的总数和平均分的份数，求每份是多少；第二种，已知要分的总数和每一份的数求平均分的份数. 我们通常称前者为“等分除”，后者为“包含除”. 如果不考虑题意，光从圈一圈与算式的关系分析， 图1、图2从包含除的角度理解（每3个一份，有几份），算式应是18 ÷ 3 = 6，绝非是18 ÷ 3 = 5……3，因为余数要比除数小；从等分除的角度理解，图2的算式应是18 ÷ 6 = 3. 而图3无论是从等分除，还是包含除的角度理解，其算式都可以写成18 ÷ 5 = 3……3.
3. 从平均分意义的角度分析，“圈一圈”不能随心所欲
笔者仔细查阅了相关教材和教参，思考教材背后的设计意图，发现关于“圈一圈”的作用和方法，追根溯源，在教材的安排上，一开始就有了明确的指向.
以北师大四版教材为例，学生第一次接触除法是二年级上册第七单元《分一分与除法》. 起始课《分物游戏》中有这样一道例题：“15根骨头平均分给3只狗，每只狗分到几根？”
要求让学生先动手分一分，然后尝试用书面形式记录自己分的过程和结果.
教材呈现了下面三种记录方法：
从记录形式上看，图4与图5类似. 从分法上看，图4和图6相同，都是1根1根地分. 教学用书建议图6的记录方法为“理解和掌握”的教学目标，因为它很完整地表示了平均分的过程和结果：用小棒代替骨头，用小圆代替狗，每个圈表示分一次分掉了多少根小棒，圈内小棒的根数等于平均分的份数，画几个圈则表示要分几次把小棒分完，每份分到小棒的根数等于所画的圆圈的个数.
教材这样安排的用意一是借助具体操作活动（分、画、圈）帮助学生初步理解除法的意义；二是对“圈一圈”的方法给予了规范，圈的方法应该体现分物的过程，1根1根地分，分一次，有几份就需要几根，分了这样的几次，每份数就是几. 综上所述，文章开头案例中的“圈一圈”，合理的圈法应该是5个一圈，1盆1盆地分，分一次需要5盆，圈了3次，也就是每个班可以分到3盆，还剩3盆. 这样的圈法才能体现除法平均分的思考过程，才能促进学生理解笔算除法的算理.
【参考文献】
[1]《数学教师教学用书》二上、二下[M].北京：北京师范大学出版社，2014年.
[2]《数学课堂作业本》北师版二下[M].杭州：浙江教育出版社，2014年.
小学低段学习除法和有余数除法时，教材通常会要求通过“圈一圈”帮助学生加强对除法意义和算理的理解. 可是看似简单的“圈一圈”，在教学中却存在不少的问题.
例 北师大二下《课堂作业本》第7页第1题：“圈一圈，填一填. 把18盆花平均分给5个班，每个班可以分到（ ）盆花，还剩（ ）盆. ”
学生的答题情况如下：
从图中可知，学生列式解答均相同，但是圈法不同. 图1：从答案出发，3个一圈，圈了5次，余3；图2：3个一圈，余数也圈，圈了6次；图3：5个一圈，圈了3次，余3.
该习题究竟3个一圈还是5个一圈，还是都可以呢？我校二年级数学备課组进行了研讨. 讨论时，老师们各抒己见，有的认为要鼓励学生解决问题策略的多样化，有的认为“圈一圈”不能随心所欲，应体现除法的过程……
分析思考：
“圈一圈”能不能随心所欲呢？答案是肯定的“不能！”我们可以从以下几方面思考.
1. 从“圈一圈”意义的层面分析，“圈一圈”不能随心所欲
布鲁纳的发现学习论认为：学生的学习过程包括实物操作、表象操作和符号操作三个阶段. “圈一圈”属于实物操作，在实物操作的过程中学生获得的直接体验，为后两个阶段“表象操作”和“符号操作”（除法算式的构建）作充分的准备. 在访谈中发现，3个一圈的小朋友（见图1、图2）是先算出答案，再根据答案圈一圈. 这样的“圈一圈”其实是为了圈而圈，有本末倒置之嫌，即失去了圈一圈的意义.
2. 从“形”与“数”的关系分析，“圈一圈”不能随心所欲
平均分物有两种情况：第一种，已知要分的总数和平均分的份数，求每份是多少；第二种，已知要分的总数和每一份的数求平均分的份数. 我们通常称前者为“等分除”，后者为“包含除”. 如果不考虑题意，光从圈一圈与算式的关系分析， 图1、图2从包含除的角度理解（每3个一份，有几份），算式应是18 ÷ 3 = 6，绝非是18 ÷ 3 = 5……3，因为余数要比除数小；从等分除的角度理解，图2的算式应是18 ÷ 6 = 3. 而图3无论是从等分除，还是包含除的角度理解，其算式都可以写成18 ÷ 5 = 3……3.
3. 从平均分意义的角度分析，“圈一圈”不能随心所欲
笔者仔细查阅了相关教材和教参，思考教材背后的设计意图，发现关于“圈一圈”的作用和方法，追根溯源，在教材的安排上，一开始就有了明确的指向.
以北师大四版教材为例，学生第一次接触除法是二年级上册第七单元《分一分与除法》. 起始课《分物游戏》中有这样一道例题：“15根骨头平均分给3只狗，每只狗分到几根？”
要求让学生先动手分一分，然后尝试用书面形式记录自己分的过程和结果.
教材呈现了下面三种记录方法：
从记录形式上看，图4与图5类似. 从分法上看，图4和图6相同，都是1根1根地分. 教学用书建议图6的记录方法为“理解和掌握”的教学目标，因为它很完整地表示了平均分的过程和结果：用小棒代替骨头，用小圆代替狗，每个圈表示分一次分掉了多少根小棒，圈内小棒的根数等于平均分的份数，画几个圈则表示要分几次把小棒分完，每份分到小棒的根数等于所画的圆圈的个数.
教材这样安排的用意一是借助具体操作活动（分、画、圈）帮助学生初步理解除法的意义；二是对“圈一圈”的方法给予了规范，圈的方法应该体现分物的过程，1根1根地分，分一次，有几份就需要几根，分了这样的几次，每份数就是几. 综上所述，文章开头案例中的“圈一圈”，合理的圈法应该是5个一圈，1盆1盆地分，分一次需要5盆，圈了3次，也就是每个班可以分到3盆，还剩3盆. 这样的圈法才能体现除法平均分的思考过程，才能促进学生理解笔算除法的算理.
【参考文献】
[1]《数学教师教学用书》二上、二下[M].北京：北京师范大学出版社，2014年.
[2]《数学课堂作业本》北师版二下[M].杭州：浙江教育出版社，2014年.