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合作学习是新课程倡导的学习方式。在数学教学中，合理运用合作学习，不仅有利于学生合作意识的培养，突出学生的主体地位，激发他们主动参与数学学习的兴趣，也有利于锻炼学生的竞争能力、表达能力、思维能力和解决问题等综合能力，同时，还有利于培养其人际互动的情感交流，体验合作实践的愉悦与成功，从而将数学教育的功能得到最大发挥。
一、问题因合作而解决
生活中，当我们遇到一个问题时，首先是自己独立去面对，想办法解决问题。当仅靠自己个人的力量很难解决问题时，就需要与人合作，或借助团队的力量来完成。在课堂教学中我们也遇到过这样的问题，如：在教学人教版《数学》二年级下册“统计”一课时，课件播放一段录像：繁忙的路口有大货车、公交车、小轿车、面包车……川流不息，教师要求学生统计一分钟内通过路口各种车辆的数量。一开始，学生统计出来的车辆种类和数量各不相同，就小轿车而言，有的是5辆，有的是8辆，还有的是12辆。学生说：“太多了，一个人根本数不过来。”当学生已经认识到自己一人统计多种车辆的数量有困难时，教师又把问题抛给学生，那要怎么办？这时有学生提出分组合作，每人统计一种车，用画正字的方法进行统计。于是教师再次播放录像，学生以小组为单位，积极主动地相互配合，分工明确，投入到合作学习中去，既准确记录了各种车辆通过的数量，又让小组的每一个成员在统计过程中都获得成功的体验，尽享学习过程中同伴之间相互补充与合作共进的快乐。
学生是课堂的主人。学生只有亲身经历学习的过程，学习的效果才是有效的。上述片段中，教师顺应学生合作的内在需求，学生在这个过程中既体会到了生活、学习合作的益处，又掌握了合作学习的一些方法，并共同体验到了成功的喜悦，使学生的生命活力得到发展，课堂教学也因有了这个合作而精彩。
二、难点因合作而攻破
“确定起跑线”是人教版六年级上册数学活动课的一个内容。这是一个综合性、抽象性较强的问题，解决这个问题对于一个不太熟悉体育的成年人都有困难，何况是一个小学生。在教学时，一位教师为了让学生了解环形田径场跑道的结构，能综合运用前面的知识学会确定起跑线的方法，在把难点分散的同时，让学生合作学习，共同讨论研究出确定起跑线的方法。教师先让学生将内道一圈的长度算出“72.6×3.14159+85.96×2≈400m” 确定第1道的起跑线应设在终点线上，然后小组合作讨论，第2道的起跑线应该设置在哪才合理？通过讨论，大家一致认为算出第2道的全长，然后用第2道的全长减去第1道的全长，算出相差多少，就往前移多少。这里设置小组讨论，在教师的精心引导下，层层深入，使每一位同学都形成自己的思想和方法，要确定第2道的起点，只要用第2道的全长减去400米，多多少就把起跑线往前移多少。那么第2道比第1道长7.85 m，它们主要相差在哪里呢？又是合作讨论得出相差在弯道上，与直道无关。最后通过小组讨论并得出：“相邻外圆周长－内圆周长=路程差”。也就是“相邻外道全长－内道全长=前移的长度”。攻破最后难点，第3道的起跑线应该设置在哪里更合适呢？根据学生汇报板书:
（75.1+1.25×2）×3.14159－75.1×3.14159
=（75.1+1.25×2－75.1）×3.14159
=1.25×2×3.14159
≈7.85（米）。
刚才同学们在算第3道与第2道的全长的差时，是根据外圆周长减内圆周长的数量关系写出算式，运用乘法分配律后，算式变成“1.25×2×3.14159”。这里的“1.25”、“2”、“3.14159”分别表示什么？前面计算第2道与第1道的全长差时也变成“1.25×2×3.14159”，这里有什么数学奥秘呢？请在小组内议一议。（小组讨论后交流）生1：相邻两道的起跑线差与跑道关系最为密切。生2：要求相邻跑道的路程差，只要知道相邻跑道的宽就可以了。生3：跑道宽×2×π=相邻两条跑道的差。（教师板书）
经过努力，终于找到了在环形跑道上确定起跑线的秘密！回顾一下，我们探索出了哪几种方法求相邻两条跑道的全长差呢？（学生汇报）你能运用这种方法确定第4道、第5道、第6道的起跑线吗？
在这一节课中，小组合作贯穿始终，但没觉得有任何的多余，而只觉得每一个讨论都是恰到好处，点中要害，层层突破，最终攻破了难点，把本来很难上的一节课，化成了轻松的、快乐的、充满挑战又富有成功的课。
三、思维因合作而发散
发散性思维是不依常规,寻求变异,对给出的材料、信息从不同角度,朝不同方向、用不同方法或途径去分析和解决问题的一种思维方式，在教学中如何有意识地给学生进行发散思维的训练，合作学习是良好的方法之一。小组合作学习，能集思广益。它既有利于学生的主动参与，使每个学生都有一个充分发展的机会，又有利于学生之间的多向交流，学习别人的长处和优点。小组合作学习形式比较适宜培养学生的发散思维能力。如：在人教版六年级《数学》上册第94页第3题：“我已经打了1 600个字，正好打了全文的40%。全文共有多少个字？”这道题可以用算术和方程两种方法去解答，在不做任何提示的情况下，每个学生都只用一种方法来解答。如果要寻求多种解法，发散学生的思维，就应该组织合作学习，让学生通过小组讨论，既可以巩固“已知一个数和这个数的对应分率，求总数”类型的题，又可以打开求解这一类型题的其他思路。学生讨论后，得出各种不同的解法。
生1把全文字数看作单位“1”，根据“对应量÷对应分率=单位‘1’”，用已打字数除以它占全文字数的40％，即得全文字数，列式解：1 600÷40%=1 600×100÷40=4 000（字）；
生2把40%转化为40∶100，那么全文字数可分为100等份，其中已打字数占40份，可先求出每份有多少字，再求100份有多少字即全文字数，列式解：1600÷40×100= 4 000（字）；
生3根据“全文字数×40%=已打字数”这一等量关系列方程，列式解：设全文字数为x。40%x=1600 x=4 000；
生4把全文字数看作单位“1”，运用倍比法列式解:1 600×（1÷40%）=1 600×2.5=4 000（字）。
生5：根据“已打字数和全文字数的比，等于它们相应的份数比”列出比例式。列式解：设全文字数为x。1 600∶x=40∶100，x=4000。
生1和生4的方法是常用解法，思路简明，易于理解。其他学生的几种解法，都是将题中的数量关系进行转化。改变思考角度来求解，这是解答分数应用题必须具备的基本功。只有做到这一点，才能灵活运用知识，巧妙解题。最后通过比较，大家一致认为生3的方法是本题的最佳解法。
有人说：两个人，一人一个苹果，交换后每个人还是只有一个苹果，如果一个人一种思想，交换之后每个人就有两种思想。以上案例充分说明，合作学习能有效交流自己学习数学的一些方法，也使学生明白，要使自己的思维更活，更能发散，就应该与人合作交流，这样自己的思维才能有效得到提高。
合作学习的过程本身就是使学生在思维方式上、学习主动性上发生巨大的变化，这个过程就是无形的结果。
（作者单位：江西省南昌市青云谱区教研室）
一、问题因合作而解决
生活中，当我们遇到一个问题时，首先是自己独立去面对，想办法解决问题。当仅靠自己个人的力量很难解决问题时，就需要与人合作，或借助团队的力量来完成。在课堂教学中我们也遇到过这样的问题，如：在教学人教版《数学》二年级下册“统计”一课时，课件播放一段录像：繁忙的路口有大货车、公交车、小轿车、面包车……川流不息，教师要求学生统计一分钟内通过路口各种车辆的数量。一开始，学生统计出来的车辆种类和数量各不相同，就小轿车而言，有的是5辆，有的是8辆，还有的是12辆。学生说：“太多了，一个人根本数不过来。”当学生已经认识到自己一人统计多种车辆的数量有困难时，教师又把问题抛给学生，那要怎么办？这时有学生提出分组合作，每人统计一种车，用画正字的方法进行统计。于是教师再次播放录像，学生以小组为单位，积极主动地相互配合，分工明确，投入到合作学习中去，既准确记录了各种车辆通过的数量，又让小组的每一个成员在统计过程中都获得成功的体验，尽享学习过程中同伴之间相互补充与合作共进的快乐。
学生是课堂的主人。学生只有亲身经历学习的过程，学习的效果才是有效的。上述片段中，教师顺应学生合作的内在需求，学生在这个过程中既体会到了生活、学习合作的益处，又掌握了合作学习的一些方法，并共同体验到了成功的喜悦，使学生的生命活力得到发展，课堂教学也因有了这个合作而精彩。
二、难点因合作而攻破
“确定起跑线”是人教版六年级上册数学活动课的一个内容。这是一个综合性、抽象性较强的问题，解决这个问题对于一个不太熟悉体育的成年人都有困难，何况是一个小学生。在教学时，一位教师为了让学生了解环形田径场跑道的结构，能综合运用前面的知识学会确定起跑线的方法，在把难点分散的同时，让学生合作学习，共同讨论研究出确定起跑线的方法。教师先让学生将内道一圈的长度算出“72.6×3.14159+85.96×2≈400m” 确定第1道的起跑线应设在终点线上，然后小组合作讨论，第2道的起跑线应该设置在哪才合理？通过讨论，大家一致认为算出第2道的全长，然后用第2道的全长减去第1道的全长，算出相差多少，就往前移多少。这里设置小组讨论，在教师的精心引导下，层层深入，使每一位同学都形成自己的思想和方法，要确定第2道的起点，只要用第2道的全长减去400米，多多少就把起跑线往前移多少。那么第2道比第1道长7.85 m，它们主要相差在哪里呢？又是合作讨论得出相差在弯道上，与直道无关。最后通过小组讨论并得出：“相邻外圆周长－内圆周长=路程差”。也就是“相邻外道全长－内道全长=前移的长度”。攻破最后难点，第3道的起跑线应该设置在哪里更合适呢？根据学生汇报板书:
（75.1+1.25×2）×3.14159－75.1×3.14159
=（75.1+1.25×2－75.1）×3.14159
=1.25×2×3.14159
≈7.85（米）。
刚才同学们在算第3道与第2道的全长的差时，是根据外圆周长减内圆周长的数量关系写出算式，运用乘法分配律后，算式变成“1.25×2×3.14159”。这里的“1.25”、“2”、“3.14159”分别表示什么？前面计算第2道与第1道的全长差时也变成“1.25×2×3.14159”，这里有什么数学奥秘呢？请在小组内议一议。（小组讨论后交流）生1：相邻两道的起跑线差与跑道关系最为密切。生2：要求相邻跑道的路程差，只要知道相邻跑道的宽就可以了。生3：跑道宽×2×π=相邻两条跑道的差。（教师板书）
经过努力，终于找到了在环形跑道上确定起跑线的秘密！回顾一下，我们探索出了哪几种方法求相邻两条跑道的全长差呢？（学生汇报）你能运用这种方法确定第4道、第5道、第6道的起跑线吗？
在这一节课中，小组合作贯穿始终，但没觉得有任何的多余，而只觉得每一个讨论都是恰到好处，点中要害，层层突破，最终攻破了难点，把本来很难上的一节课，化成了轻松的、快乐的、充满挑战又富有成功的课。
三、思维因合作而发散
发散性思维是不依常规,寻求变异,对给出的材料、信息从不同角度,朝不同方向、用不同方法或途径去分析和解决问题的一种思维方式，在教学中如何有意识地给学生进行发散思维的训练，合作学习是良好的方法之一。小组合作学习，能集思广益。它既有利于学生的主动参与，使每个学生都有一个充分发展的机会，又有利于学生之间的多向交流，学习别人的长处和优点。小组合作学习形式比较适宜培养学生的发散思维能力。如：在人教版六年级《数学》上册第94页第3题：“我已经打了1 600个字，正好打了全文的40%。全文共有多少个字？”这道题可以用算术和方程两种方法去解答，在不做任何提示的情况下，每个学生都只用一种方法来解答。如果要寻求多种解法，发散学生的思维，就应该组织合作学习，让学生通过小组讨论，既可以巩固“已知一个数和这个数的对应分率，求总数”类型的题，又可以打开求解这一类型题的其他思路。学生讨论后，得出各种不同的解法。
生1把全文字数看作单位“1”，根据“对应量÷对应分率=单位‘1’”，用已打字数除以它占全文字数的40％，即得全文字数，列式解：1 600÷40%=1 600×100÷40=4 000（字）；
生2把40%转化为40∶100，那么全文字数可分为100等份，其中已打字数占40份，可先求出每份有多少字，再求100份有多少字即全文字数，列式解：1600÷40×100= 4 000（字）；
生3根据“全文字数×40%=已打字数”这一等量关系列方程，列式解：设全文字数为x。40%x=1600 x=4 000；
生4把全文字数看作单位“1”，运用倍比法列式解:1 600×（1÷40%）=1 600×2.5=4 000（字）。
生5：根据“已打字数和全文字数的比，等于它们相应的份数比”列出比例式。列式解：设全文字数为x。1 600∶x=40∶100，x=4000。
生1和生4的方法是常用解法，思路简明，易于理解。其他学生的几种解法，都是将题中的数量关系进行转化。改变思考角度来求解，这是解答分数应用题必须具备的基本功。只有做到这一点，才能灵活运用知识，巧妙解题。最后通过比较，大家一致认为生3的方法是本题的最佳解法。
有人说：两个人，一人一个苹果，交换后每个人还是只有一个苹果，如果一个人一种思想，交换之后每个人就有两种思想。以上案例充分说明，合作学习能有效交流自己学习数学的一些方法，也使学生明白，要使自己的思维更活，更能发散，就应该与人合作交流，这样自己的思维才能有效得到提高。
合作学习的过程本身就是使学生在思维方式上、学习主动性上发生巨大的变化，这个过程就是无形的结果。
（作者单位：江西省南昌市青云谱区教研室）