论文部分内容阅读
摘 要 《双曲线的标准方程》引入的课堂实录及其教学反思。
关键词 双曲线；标准方程；核心素养
中图分类号：TH132.415 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）25-0202-01
本课的授课班级为四星普通高中文科班，学生运算能力较差，缺乏良好的学习习惯，有较强的可塑性。学生已经了解了椭圆的定义、几何性质，双曲线定义等一系列的知识，有一定的抽象概括能力，本课采用类比法，引导学生合作交流，自主探究双曲线标准方程，强化学生求解曲线方程的方法；体现学生主体意识，培养学生的观察、归纳、概括、数形结合及数学抽象、数学建模、数据处理的素养。
一、引入
已知A、B两地相距800m，一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间与在B处听到爆炸声的时间的差的绝对值2s，设声速为340m/s，问：（1）爆炸点在什么曲线上？（2）求这条曲线的方程。
学生分析思路：假设爆炸处是P点，由题意知
教师提问：符合题意的P点是否只有一个？学生思考后，回答不止一个，有无数个；教师引导，动点P除了满足 ，还满足什么条件吗？学生思考后回答：满足 ；教师提问，P、A、B三点在同一平面内吗？如果在，满足以上条件的P点在什么曲线上呢？学生思考后，给出答案：在同一平面内，P点满足双曲线定义，所以P点在双曲线上。师生共同回顾双曲线定义。
设计意图：这是一个数学建模的过程，一方面是为了让学生体会双曲线及其标准方程在解决实际问题中的重要性，另一方面是培养学生在实际情境中发现问题、提出问题；针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，从而提升应用能力。
解决了第一个问题后，第（2）个问题转化为求双曲线的方程，教师提问，椭圆有标准方程，双曲线有没有标准方程呢？能否类比椭圆标准方程，求解双曲线的方程？学生复习求曲线方程的方法：轨迹法，步骤：第一步，建系；第二步，设动点；第三步，列等式；第四步，代入坐标；第五步，化简。
设计意图：通过复习，学生自主寻求方法，为进一步提升学生的核心素养做准备。
二、双曲线标准方程推导
学生活动1：类比椭圆标准方程的推导过程，学生分组自行展开推导。
设计意图：数学运算是数学活动的基本形式，有效提高学生数学运算能力、借助运算方法解决实际问题、通过运算促进数学思维发展，是本环节主要意图。
学生活动2：学生运算能力有限，大部分学生推导存在困难，教师借助软件GGB的功能，由椭圆与标准方程的对应关系，探究得到焦点为F（-C，0）、F（C，0）的双曲线方程，再通过运算确定双曲线的方程，并指出方程与图像间的对应关系。
设计意图：数学抽象能力的培养，需要学生积累从具体到抽象的活动经验，把握事物的数学本质，逐渐养成一般性思考问题的习惯。前一环节虽然提供了双曲线方程的推导方法，但因学生能力的局限性，对推导的方向不明确，本环节采用倒置的方法，让学生从具体的双曲线方程中，先猜想双曲线方程的一般情况，然后再推导证明，既培养了学生的数学抽象能力，又解决了问题。
在解决了焦点为F（-C，0）、F（C，0）的双曲线方程后，类比椭圆标准方程得到焦点为F（0，-C）、F（0，C）的双曲线方程，教师明确提出，这两种建系下得到的双曲线方程为双曲线的标准方程。
三、解决引例
学生为主题，教师辅助，完成引例。
设计意图：數学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式，也是应用数学解决实际问题的基本手段。本环节学生运用新学的数学知识求解模型，从而提升应用能力。
教学反思：
（1）发挥引例的作用。课堂引入是课堂教学最基本最重要的环节，合理有效的课堂引入能迅速将学生的注意力转移到课堂上来，保障课堂教学的质量和效率，本课的引例的一个作用是凸显双曲线在实际问题中的应用，但也增加了数学建模的过程，对于本班学生来说，数学建模本身就是一个难点，在建模的处理上给学生思考的时间不够，一碗浓汤总是要慢炖的，快了达不到预期效果。
（2）明确引例的目的。引例最直接的目标是提出问题，引导学生思考双曲线标准方程的存在性、必要性，深层次的目标是数学核心素养的培养，数学核心素养是一个高度抽象的思维产物，它是高于数学知识的思维方法。他的培养不能脱离具体的数学知识与方法，需要在数学知识的学习过程中，数学思想方法的掌握过程中，通过逐步积累、领悟、内省形成，这就是说，学生数学核心素养的培养和提升离不开教师的合理引导，教师给学生“教什么？怎么教？”很大程度上影响着学生将来具备怎样的数学素养。对于绝大多数学生，数学能力的形成与数学核心素养的提升主要依赖于数学课堂，或者源于数学课堂，只有在数学课堂中多关注“数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析”等方面的问题，引导学生多去思考数学，体验数学，才能使数学核心素养得以有效体现与落实。本课引例部分通过学生建模等一系列活动，培养和提升学生的数学核心素养，但因担心学生的能力问题，方程推导不敢全面放手，同时整体格局也有局限，在双曲线标准方程出来后，可以进行拓展，用类比法可以得到双曲线的标准方程，那么抛物线呢？圆锥曲线以外的曲线呢？
参考文献：
[1]浅谈数学核心素养及其在课堂教学中的落实.lijing1002070的博客.
关键词 双曲线；标准方程；核心素养
中图分类号：TH132.415 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）25-0202-01
本课的授课班级为四星普通高中文科班，学生运算能力较差，缺乏良好的学习习惯，有较强的可塑性。学生已经了解了椭圆的定义、几何性质，双曲线定义等一系列的知识，有一定的抽象概括能力，本课采用类比法，引导学生合作交流，自主探究双曲线标准方程，强化学生求解曲线方程的方法；体现学生主体意识，培养学生的观察、归纳、概括、数形结合及数学抽象、数学建模、数据处理的素养。
一、引入
已知A、B两地相距800m，一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间与在B处听到爆炸声的时间的差的绝对值2s，设声速为340m/s，问：（1）爆炸点在什么曲线上？（2）求这条曲线的方程。
学生分析思路：假设爆炸处是P点，由题意知
教师提问：符合题意的P点是否只有一个？学生思考后，回答不止一个，有无数个；教师引导，动点P除了满足 ，还满足什么条件吗？学生思考后回答：满足 ；教师提问，P、A、B三点在同一平面内吗？如果在，满足以上条件的P点在什么曲线上呢？学生思考后，给出答案：在同一平面内，P点满足双曲线定义，所以P点在双曲线上。师生共同回顾双曲线定义。
设计意图：这是一个数学建模的过程，一方面是为了让学生体会双曲线及其标准方程在解决实际问题中的重要性，另一方面是培养学生在实际情境中发现问题、提出问题；针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，从而提升应用能力。
解决了第一个问题后，第（2）个问题转化为求双曲线的方程，教师提问，椭圆有标准方程，双曲线有没有标准方程呢？能否类比椭圆标准方程，求解双曲线的方程？学生复习求曲线方程的方法：轨迹法，步骤：第一步，建系；第二步，设动点；第三步，列等式；第四步，代入坐标；第五步，化简。
设计意图：通过复习，学生自主寻求方法，为进一步提升学生的核心素养做准备。
二、双曲线标准方程推导
学生活动1：类比椭圆标准方程的推导过程，学生分组自行展开推导。
设计意图：数学运算是数学活动的基本形式，有效提高学生数学运算能力、借助运算方法解决实际问题、通过运算促进数学思维发展，是本环节主要意图。
学生活动2：学生运算能力有限，大部分学生推导存在困难，教师借助软件GGB的功能，由椭圆与标准方程的对应关系，探究得到焦点为F（-C，0）、F（C，0）的双曲线方程，再通过运算确定双曲线的方程，并指出方程与图像间的对应关系。
设计意图：数学抽象能力的培养，需要学生积累从具体到抽象的活动经验，把握事物的数学本质，逐渐养成一般性思考问题的习惯。前一环节虽然提供了双曲线方程的推导方法，但因学生能力的局限性，对推导的方向不明确，本环节采用倒置的方法，让学生从具体的双曲线方程中，先猜想双曲线方程的一般情况，然后再推导证明，既培养了学生的数学抽象能力，又解决了问题。
在解决了焦点为F（-C，0）、F（C，0）的双曲线方程后，类比椭圆标准方程得到焦点为F（0，-C）、F（0，C）的双曲线方程，教师明确提出，这两种建系下得到的双曲线方程为双曲线的标准方程。
三、解决引例
学生为主题，教师辅助，完成引例。
设计意图：數学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式，也是应用数学解决实际问题的基本手段。本环节学生运用新学的数学知识求解模型，从而提升应用能力。
教学反思：
（1）发挥引例的作用。课堂引入是课堂教学最基本最重要的环节，合理有效的课堂引入能迅速将学生的注意力转移到课堂上来，保障课堂教学的质量和效率，本课的引例的一个作用是凸显双曲线在实际问题中的应用，但也增加了数学建模的过程，对于本班学生来说，数学建模本身就是一个难点，在建模的处理上给学生思考的时间不够，一碗浓汤总是要慢炖的，快了达不到预期效果。
（2）明确引例的目的。引例最直接的目标是提出问题，引导学生思考双曲线标准方程的存在性、必要性，深层次的目标是数学核心素养的培养，数学核心素养是一个高度抽象的思维产物，它是高于数学知识的思维方法。他的培养不能脱离具体的数学知识与方法，需要在数学知识的学习过程中，数学思想方法的掌握过程中，通过逐步积累、领悟、内省形成，这就是说，学生数学核心素养的培养和提升离不开教师的合理引导，教师给学生“教什么？怎么教？”很大程度上影响着学生将来具备怎样的数学素养。对于绝大多数学生，数学能力的形成与数学核心素养的提升主要依赖于数学课堂，或者源于数学课堂，只有在数学课堂中多关注“数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析”等方面的问题，引导学生多去思考数学，体验数学，才能使数学核心素养得以有效体现与落实。本课引例部分通过学生建模等一系列活动，培养和提升学生的数学核心素养，但因担心学生的能力问题，方程推导不敢全面放手，同时整体格局也有局限，在双曲线标准方程出来后，可以进行拓展，用类比法可以得到双曲线的标准方程，那么抛物线呢？圆锥曲线以外的曲线呢？
参考文献：
[1]浅谈数学核心素养及其在课堂教学中的落实.lijing1002070的博客.