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数学操作，不只限于以动手摆弄为主的数学学具操作（摆弄实物的操作、比划手势的操作），还应包括以动手书写为主的数学语言操作（借助于文字、符号和图表等数学语言进行的画图、批注、列表、列举、摘录、写关系式、列算式等操作），以动口为主的数学语言操作（口头本真表述、口头范式表述、口头个性化表述）等实践活动。借助数学操作，使学生参与建模和用模的外显思维活动真实地经历从模糊到清晰、从肤浅到深刻、从部分到整体、从封闭到开放的精致化过程，使思维过程精细到动作化、流程化和形式化的视听性层面，精确到可表征、可互动、可调控的反思性层面，使学生在数学学具操作、数学语言操作的有序过渡和整合提升中，自然实现由形象思维到表象思维再到抽象思维的提升，使思维活动既有温度又有梯度和深度，从而提升实践活动的智慧含金量，使思维能力和实践能力的培养真正落到实处。
一、 突显从肤浅到深刻的思维过程
数学学具操作中的比划手势操作、数学语言操作中的画图批注操作和数学语言操作中的“说话”操作，有序体现了数学思维由形象到抽象的过渡与提升。在实际教学中，教师可以组织学生灵活地运用这三种操作，对所学内容进行有序的多元表征，使数学操作活动实现从形象思维的感性层面向表象思维、抽象思维的理性层面飞跃，突显从肤浅到深刻的思维过程，从而帮助学生直观而深刻地理解数学概念，实现对数学概念的意义建构。
如在教学“用分数乘法解决实际问题”（苏教版《数学》六年级上册的例3）时，为了让学生很好地理解“红花比黄花多 ”的含义，从学生已有认知出发，先让学生看例3中的条形图进行“说话”操作——黄花、红花和绿花各有几份？怎样用分数表示其中两种花之间的数量关系（谁是谁的几分之几）？；接着由“红花是黄花的 ”自然引出：“红花比黄花多几份？你能将多的一份在图中用斜线表示出来吗？多的一份相当于黄花的几分之几？谁能上台来边指图边说一说。” 之后要求其余学生也跟着边比划边说一遍：红花比黄花多的1份相当于黄花１０份中的一份，即是 。这样就让学生在画图操作、指图的比划操作以及同步的说话操作中形象直观、简单清晰地理解了“红花比黄花多 ”，也就是“红花比黄花多的是黄花的 ”。
借助“画图、比划、说话”这三种操作，新旧知的巧妙链接、分率句的直观理解、数学思考的逐步提升都在无痕的引领中高效生成了，为新知的探究扫除了认知上的障碍，突破了教学难点。
二、突显从模糊到清晰的思维过程
“数学语言”指的是用于表达数学内容的语言，包括文字语言、符号语言和图表语言等三方面。借助于文字、符号和图表等数学语言，学生可以进行相关的画图、批注、列表、列式、列举、摘录、写关系式等数学化操作活动，实现对内隐数学思维活动的直观可视化和具体流程化的表征，使学生的思维由模糊到清晰，从而发展学生的心智技能，增强解决问题的策略意识和实践能力。
如在教学例3：黄花有50朵，红花比黄花多 ，红花比黄花多多少朵？师引导学生审题：“红花比黄花多的朵数”指图中的哪一部分？这一部分相当于谁的 ?并让学生结合条形图，画批出“红花比黄花多 ”这个分率句的单位“1”，写出 的具体含义及相应关系式和算式。最后引导学生总结出解题的流程：批注，写含义，写关系式，列式解答。
1.批注 红花比黄花多 。
2.含义 红花比黄花多的朵数是黄花朵数的 。
3.关系式 黄花朵数× =红花比黄花多的朵数。
4.算式 50× =5（朵）。
5.答句 答：红花比黄花多5朵。
此过程中，学生借助图形语言进一步理解了“红花比黄花多 ”的含义，又借助画批、写含义、写关系式和列算式等文字语言和符号语言的操作，进一步加深了对概念的理解，有效避免了学习过程中的简单机械模仿，使得数学思考变得有序、清晰而深刻,使得思维水平由直觉层面提升到理性层面。而解题流程的自然生成又很好地突显了数学思考的程序性和循序性，为学生学会思考提供了形式化的脚手架，有效提高了学生的解题技能，为实现“比一个数多几分之几”向“比一个数少几分之几”的认知迁移和进一步学习稍复杂的分数应用题打下了坚实的基础。
三、突显从部分到整体的思维过程
数学语言是个体借助于数学语言接收、加工、传递数学信息的活动，也是个体了解数学语言和运用数学语言表达思想、进行思维的活动，分为内部语言和外部语言两种。内部语言是一种对自己发出的语言，是思考时的语言活动。外部语言是以发音器官发出声音的语言活动。这里的数学语言操作主要指动口发出声音的外部语言活动。借助静态可视的数学语言与动态可听的数学语言间的相互转换，可以帮助学生加深对数学知识的理解，沟通知识之间的联系，实现有意义的整体建构，更好地培养学生的抽象思维能力和结构化思维能力。
如在教学例3和试一试之后，教师让学生按照解答“例3”的前四个步骤独立完成练一练的第1题。
生解答如下：
同时进一步拓展：由○的个数比△多 ，我们能推想出：○的个数是△的（ ）（ ）。可以通过哪些方法来加以验证呢？请同学们以4人小组为单位认真讨论一下，看哪一组想出的办法多。
一石激起千层浪！富有挑战性的问题一下子调动起学生的思考热情，他们使出浑身解数，想出了多种方法，有直接推想法（○的个数比△多 ，说明△有这样的3份，○比△多1份，说明○有4份，所以○的个数是△的 ），还有画图法（△有6个，△△△△△△ ，○ 比△多2个，是8个○○○○○○○○，所以○的个数是△的 ）和计算法（6+2=8（个），8÷6= ），等等。
在以上教学过程中，通过变“填空题”为4个步骤的流程化解答，进一步巩固了相应的解题技能，使学生的感性思维和理性思维达到了高度的和谐统一；通过练后的大胆猜想与多重验证，使学生在推想表述中充分进行数学语言操作，在画图验证、列式验证和流程化的四步解答中充分地进行数学语言操作，从而使学生在相互转换和互为验证的操作活动中很好地掌握了“比一个数多或少几分之几”的本质性内涵，沟通了“一个数的几分之几”与“比一个数多或少几分之几”的实质性联系，实现了认知上的整体建构和思维上的结构化和系统化，达到了化知为智的目的。
四、突显从封闭到开放的思维过程
《数学课程标准》强调：从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。在学生借助数学操作成功经历了数学模型的建造之后，教师还要有意识地创设开放性的用模情境，引导学生进行多层面、多方位的开放性操作活动，使学、做、用的学习活动融为一体，这样不仅可以培养学生的应用意识和实践能力，还能使学生的数学操作能力内化为学生的数学学力和数学素养，使学生成为自觉运用数学化的思维方式和认知方式，对客观世界进行改造的创新型人才。
例如，在学生解答了“学校买了24个排球，买的足球比排球多 。买的足球比排球多多少个？学校买了24个排球，买的足球是排球的 。买了多少个足球？”（书上第44页的对比题）之后,由排球有４份、足球就有这样的５份，出示相应的线段图：
排球：
足球：
让学生借助这样的线段图，先在4人小组里说出含“比”字或“是”字的分率句以及相应的关系式，再选一种分率句及相应关系式写下来。
面对又一个新的挑战，学生的创新火花再次被点燃，他们很快找到6种分率句及相应的关系式：买的足球是排球的 ，排球的个数× =足球的个数；排球是足球的 ，足球的个数× =排球的个数；排球比足球少 ，足球的个数× =排球比足球少的个数；足球比排球多 ，排球的个数× =足球比排球多的个数，排球是它们总数的 ,一共的个数× =排球的个数；足球是它们一共的 ，总的个数× =足球的个数。
在以上教学过程中，教师借助线段图和分数的知识，游刃有余地引导学生通过口头表述的数学语言操作和动笔书写的数学语言操作，进行了更大思维界域的拓展与延伸，促进了学生对新旧知识的整体融合和建构，引发了强烈的开放性头脑风暴，从而有效提升了学生数学思考的宽度、深度和高度，培养了学生的创新精神和实践能力。
总之，通过数学操作，使学生充分经历和体验由外及内、由表及里、由浅入深、由感性到理性的数学思考过程，使他们轻松、高效地掌握知识的本质性内涵、实质性联系，并为建构结构性认知、渗透智慧性思想、实现灵活性运用，有效培养了学生的聚合思维、发散思维、逆向思维、创新思维等，使学生进入有深度和有效度的数学学习境界。（作者单位：江苏省南通师范第一附属小学朝晖校区）
一、 突显从肤浅到深刻的思维过程
数学学具操作中的比划手势操作、数学语言操作中的画图批注操作和数学语言操作中的“说话”操作，有序体现了数学思维由形象到抽象的过渡与提升。在实际教学中，教师可以组织学生灵活地运用这三种操作，对所学内容进行有序的多元表征，使数学操作活动实现从形象思维的感性层面向表象思维、抽象思维的理性层面飞跃，突显从肤浅到深刻的思维过程，从而帮助学生直观而深刻地理解数学概念，实现对数学概念的意义建构。
如在教学“用分数乘法解决实际问题”（苏教版《数学》六年级上册的例3）时，为了让学生很好地理解“红花比黄花多 ”的含义，从学生已有认知出发，先让学生看例3中的条形图进行“说话”操作——黄花、红花和绿花各有几份？怎样用分数表示其中两种花之间的数量关系（谁是谁的几分之几）？；接着由“红花是黄花的 ”自然引出：“红花比黄花多几份？你能将多的一份在图中用斜线表示出来吗？多的一份相当于黄花的几分之几？谁能上台来边指图边说一说。” 之后要求其余学生也跟着边比划边说一遍：红花比黄花多的1份相当于黄花１０份中的一份，即是 。这样就让学生在画图操作、指图的比划操作以及同步的说话操作中形象直观、简单清晰地理解了“红花比黄花多 ”，也就是“红花比黄花多的是黄花的 ”。
借助“画图、比划、说话”这三种操作，新旧知的巧妙链接、分率句的直观理解、数学思考的逐步提升都在无痕的引领中高效生成了，为新知的探究扫除了认知上的障碍，突破了教学难点。
二、突显从模糊到清晰的思维过程
“数学语言”指的是用于表达数学内容的语言，包括文字语言、符号语言和图表语言等三方面。借助于文字、符号和图表等数学语言，学生可以进行相关的画图、批注、列表、列式、列举、摘录、写关系式等数学化操作活动，实现对内隐数学思维活动的直观可视化和具体流程化的表征，使学生的思维由模糊到清晰，从而发展学生的心智技能，增强解决问题的策略意识和实践能力。
如在教学例3：黄花有50朵，红花比黄花多 ，红花比黄花多多少朵？师引导学生审题：“红花比黄花多的朵数”指图中的哪一部分？这一部分相当于谁的 ?并让学生结合条形图，画批出“红花比黄花多 ”这个分率句的单位“1”，写出 的具体含义及相应关系式和算式。最后引导学生总结出解题的流程：批注，写含义，写关系式，列式解答。
1.批注 红花比黄花多 。
2.含义 红花比黄花多的朵数是黄花朵数的 。
3.关系式 黄花朵数× =红花比黄花多的朵数。
4.算式 50× =5（朵）。
5.答句 答：红花比黄花多5朵。
此过程中，学生借助图形语言进一步理解了“红花比黄花多 ”的含义，又借助画批、写含义、写关系式和列算式等文字语言和符号语言的操作，进一步加深了对概念的理解，有效避免了学习过程中的简单机械模仿，使得数学思考变得有序、清晰而深刻,使得思维水平由直觉层面提升到理性层面。而解题流程的自然生成又很好地突显了数学思考的程序性和循序性，为学生学会思考提供了形式化的脚手架，有效提高了学生的解题技能，为实现“比一个数多几分之几”向“比一个数少几分之几”的认知迁移和进一步学习稍复杂的分数应用题打下了坚实的基础。
三、突显从部分到整体的思维过程
数学语言是个体借助于数学语言接收、加工、传递数学信息的活动，也是个体了解数学语言和运用数学语言表达思想、进行思维的活动，分为内部语言和外部语言两种。内部语言是一种对自己发出的语言，是思考时的语言活动。外部语言是以发音器官发出声音的语言活动。这里的数学语言操作主要指动口发出声音的外部语言活动。借助静态可视的数学语言与动态可听的数学语言间的相互转换，可以帮助学生加深对数学知识的理解，沟通知识之间的联系，实现有意义的整体建构，更好地培养学生的抽象思维能力和结构化思维能力。
如在教学例3和试一试之后，教师让学生按照解答“例3”的前四个步骤独立完成练一练的第1题。
生解答如下：
同时进一步拓展：由○的个数比△多 ，我们能推想出：○的个数是△的（ ）（ ）。可以通过哪些方法来加以验证呢？请同学们以4人小组为单位认真讨论一下，看哪一组想出的办法多。
一石激起千层浪！富有挑战性的问题一下子调动起学生的思考热情，他们使出浑身解数，想出了多种方法，有直接推想法（○的个数比△多 ，说明△有这样的3份，○比△多1份，说明○有4份，所以○的个数是△的 ），还有画图法（△有6个，△△△△△△ ，○ 比△多2个，是8个○○○○○○○○，所以○的个数是△的 ）和计算法（6+2=8（个），8÷6= ），等等。
在以上教学过程中，通过变“填空题”为4个步骤的流程化解答，进一步巩固了相应的解题技能，使学生的感性思维和理性思维达到了高度的和谐统一；通过练后的大胆猜想与多重验证，使学生在推想表述中充分进行数学语言操作，在画图验证、列式验证和流程化的四步解答中充分地进行数学语言操作，从而使学生在相互转换和互为验证的操作活动中很好地掌握了“比一个数多或少几分之几”的本质性内涵，沟通了“一个数的几分之几”与“比一个数多或少几分之几”的实质性联系，实现了认知上的整体建构和思维上的结构化和系统化，达到了化知为智的目的。
四、突显从封闭到开放的思维过程
《数学课程标准》强调：从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。在学生借助数学操作成功经历了数学模型的建造之后，教师还要有意识地创设开放性的用模情境，引导学生进行多层面、多方位的开放性操作活动，使学、做、用的学习活动融为一体，这样不仅可以培养学生的应用意识和实践能力，还能使学生的数学操作能力内化为学生的数学学力和数学素养，使学生成为自觉运用数学化的思维方式和认知方式，对客观世界进行改造的创新型人才。
例如，在学生解答了“学校买了24个排球，买的足球比排球多 。买的足球比排球多多少个？学校买了24个排球，买的足球是排球的 。买了多少个足球？”（书上第44页的对比题）之后,由排球有４份、足球就有这样的５份，出示相应的线段图：
排球：
足球：
让学生借助这样的线段图，先在4人小组里说出含“比”字或“是”字的分率句以及相应的关系式，再选一种分率句及相应关系式写下来。
面对又一个新的挑战，学生的创新火花再次被点燃，他们很快找到6种分率句及相应的关系式：买的足球是排球的 ，排球的个数× =足球的个数；排球是足球的 ，足球的个数× =排球的个数；排球比足球少 ，足球的个数× =排球比足球少的个数；足球比排球多 ，排球的个数× =足球比排球多的个数，排球是它们总数的 ,一共的个数× =排球的个数；足球是它们一共的 ，总的个数× =足球的个数。
在以上教学过程中，教师借助线段图和分数的知识，游刃有余地引导学生通过口头表述的数学语言操作和动笔书写的数学语言操作，进行了更大思维界域的拓展与延伸，促进了学生对新旧知识的整体融合和建构，引发了强烈的开放性头脑风暴，从而有效提升了学生数学思考的宽度、深度和高度，培养了学生的创新精神和实践能力。
总之，通过数学操作，使学生充分经历和体验由外及内、由表及里、由浅入深、由感性到理性的数学思考过程，使他们轻松、高效地掌握知识的本质性内涵、实质性联系，并为建构结构性认知、渗透智慧性思想、实现灵活性运用，有效培养了学生的聚合思维、发散思维、逆向思维、创新思维等，使学生进入有深度和有效度的数学学习境界。（作者单位：江苏省南通师范第一附属小学朝晖校区）