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[摘 要] 本次研究发轫于笔者在教育实习实践阶段对一线数学活动的观察、参与及反思. 因此本文采用的研究方式为案例研究. 所探讨的核心问题是如何才能使中学数学学科的课后答疑的收效落到实处，为此笔者结合案例对这一问题展开了分析. 首先从正反两个方面讨论了案例中教师的做法的长处与不足. 其次通过和有经验的老教师的交流，笔者尝试改进了案例中的答疑方式.最后对案例进行了归纳与总结并提出了确保课后答疑有效实行的两点关键因素. 其一教师应掌握精深的数学知识. 其二教师必须具备须灵活的教学智慧.
[关键词] 课后答疑；三角函数；案例研究
前言
课后答疑作为数学教学中必要的一环，不仅能够巩固落实课上教学的效果，而且还有着其他教学形式无可替代的作用[1] . 为了阐明该观点，不妨将“课后答疑”、“课上问答”、“作业批改”视为师生之间信息的交流三种主要模式，接着对比“课后答疑”与后两者的不同. 首先与“作业批改”的书面形式相比“课后答疑”以口头交流的方式进行，显然更具实效性. 其次较“课上问答”而言，“课后答疑”中涉及的问题对学生更有含金量.因为学生对新知的建构需要经历一个反复思考以同化或顺应的过程. 当然这并非一帆风顺，他们很可能会愕然发现课上似乎明明还答得出来的小问题在课下却成了百思不得其解的大麻烦. 最后上述三者中，鉴于“课后答疑”的形式通常是一对一的，而且学生是主动发问的一方.因此教师在答疑时便可针对学生的具体问题因材施教[2] .
然而课后答疑，持续的时长一般为10～20分钟，规模也比较小通常只有师生两人，而且与正式课堂相比答疑时的氛围相对轻松舒缓. 这难免会对刚入职不久的新手教师产生一种误导. 即：课后答疑就是帮学生亡羊补牢，重点是学生知识体系的巩固与修补，至于教师讲授知识的方法或形式大可不必同课上教学那样精雕细琢，而且也来不及细细琢磨. 为了驳斥这一说法. 下文整理实录了发生在贵阳二中某班午间休息时的一次答疑活动.其中进行答疑的教师是一位教龄不满三年的新手型教师，答疑的焦点是三角函数诱导公式.
生：“对± 的诱导公式的记忆始终不理想，该怎么办呢？”
师：“可以通过口诀的方式进行记忆.奇变偶不变，符号看象限.”
生：“必须这样照搬程序吗？要是能像其他几组诱导公式靠理解来记忆就好了.”
师：“也不一定，能谈谈你所说的理解记忆的方法吗？”
生：“结合三角函数定义与三角函数线得到如下三种划分.”
（1）由α与α的终边关于x轴对称记忆sin（-α）=-sin（α），cos（-α）=cos（α）.
（2）由α与α 2kπ（k∈Z）的终边重合记忆sin（α 2kπ）=sin（α），cos（α 2kπ）=cos（α）.
（3）由α与α π的终边关于原点对称记忆sin（α π）=-sin（α），cos（α π）= -cos（α），tan（α π）=tan（α）.
师：“理解很到位，而且课上也是这样讲的.”
生：“那为何不将该方法贯彻到底？反而要死记硬背呢？”
师：“因为口诀便于操作.其流程分做下述两步.”
（1）定名称. α （2k 1） 时sin与cos、tan与cot互相转变；α （2k） 时原三角函数名保持不变.
（2）定正负. 把α看成锐角……
生：“稍停一下. （1）中α （2k） ？圳α kπ，这就是‘偶不变’的原因. 那当 的系数为奇数时函数名为何要改变？”
师：“用你熟悉的三角函数线来解释. 定名时先不考虑正负，因此默认α为锐角并作出相应示意图.”
图1
图2
师：“记∠AOB为α，则∠A1OB为α ，∠A2OB2为α- ，圆O半径为1. 试用△AOB三边表示sinα，cosα.”
生：sinα=AB，cosα=OB.
师：“类似地利用△A1B1O表示sinα ，cosα ，利用△A2B2O表示=sinα- ，cosα- .”
生：sinα =A1B1，cosα =B1O，sinα- =A2B2，cosα- =B O.
师：“别忘了，上述三个直角三角形两两全等，于是……”
生：sinα=cosα =cosα- ，
cosα=sinα =sinα- .
师：“很好，而初中锐角三角函数中关于互余两角的正余弦函数名的变化恰为上述讨论的一种特殊情形.”
生：“可确定正负号时，为什么也可以把α当作锐角？”
师：“......因为书上就是这么规定的嘛，大家都是这么理解的.”
生：“不能像刚才一样解释一下吗？”
师：“别太钻牛角啦！”
生：（悻悻而回）
现在有请各位读者对上述案例中教师的答疑教学做出一个评价并说明理由. 然而我们却不难把针对该问题的诸般看法大致地归纳划分成旗帜鲜明的两大对立阵营. 为了便于描述笔者用甲、乙两方代表这两种不同的观点.
甲方观点认为，案例中教师的答疑毫无疑问是失败的.学生前来的目的是为了找到一种通过理解而非死记硬背的方式掌握三角函数的诱导公式. 而就最终的结果来看教师没能通过答疑彻底地帮学生排忧解惑. 此外更令人担忧的是案例中教师在与学生交流时并没有注重教学用语的规范表述. 这不仅要求教师能够用简明准确的语言讲解专业知识，还要求教师具有一定的谈话技巧，兼顾听话人的情感与自尊心. 比如：案例第三小节中类似“书上是这么规定的”、“不要钻牛角”的表述都可能挫伤学生的学习主动性，使得教师在学生心中的形象大打折扣.
乙方观点认为，案例中教师的答疑从过程来看是无可厚非的. 首先：从案例第一小节中学生回答问题的情况来看，他的问题并非出在诱导公式的掌握上而在于其特有的学习习惯，即对无法用理解记忆的知识产生一种执拗的排斥，但有时机械记忆却是必要而高效的.因此适当地让其“碰壁”或许能够促使该生在学习方法上做出改变. 其次：结合案例第二小节可知该生已经对“奇變偶不变”中 系数为偶数的情况理解得十分准确了. 接着教师，如图1、2，分别在单位圆中作出α、α± 进行比较从而讲清了函数名变化的原理. 此时需要学生强记的就只有函数变名后的正负号，这便达到机械记忆与理解记忆的平衡. 综合甲、乙两方观点不难发现甲方评断答疑是否有效的标准是以“受教育者”的视角建立的，即充分重视学生在答疑中的体验与收获. 相比之下乙方则倾向站在“教育者”的立场去判断答疑的收益，把答疑视为对教师课堂教学的有效补充手段. 然而就为了实现课后答疑的根本目的而言，绝不应该将这两种价值观对立起来[3] . 有了这样一个基本认同后让我们再次解剖先前那只“麻雀”.
学生为什会来答疑呢？学生为何会喜欢来答疑呢？这显然是两个截然不同的问题. 一般而言我们都会理所当然地认为当学生在学习上遭遇挫折时便会向教师求助. 但事实证明能够主动走到教师办公室去寻求帮助对学生而言甚至是需要一种勇气的. 因为在答疑过程中学生学业上的缺点与不足充分地暴露展示给教师，从客观上讲这会导致学生自我效能感的下降，而自我效能的持续降低终将阻碍学生形成继续参与答疑的内驱力. 当然也有教师认为对真正好学的学生无论如何都不会放弃求知的！话虽如此，可是学生们却有权利也更倾向于选择他们能够接受的解惑方式. 这也就不难解释为何有的学生宁愿自己苦思冥想或者求助其他同学，甚至不惜高价聘请私人家教，也不愿向自己的任课教师请教的缘故.
因此教师必须想方设法在答疑的过程中增强学生的自我效能感. 为了达到这一目的教师首先应当注意与学生交流的方式. 但是在笔者看来这并非是要教师在说每句话前都要斟酌一番，跟学生“报喜不报忧”. 根据英国密德萨斯大学戴安·蒙哥马利教授的研究教师激发学生积极学习态度的前提是教师自身能够以认真不敷衍的态度对待学生[4] . 相比之下案例中教师的讲解则呈现出一种典型的虎头蛇尾的态势. 即在讲解自身熟悉的内容时尚能做到循循善诱. 在这一阶段教师并没有直接回答学生提出的问题而是设法搭建脚手架，即用一系列相关的简单的小问题引导学生自己找出问题的答案. 这一做法显然是值得称道的，因为学生主要凭借了自身的力量解决了问题，从而实现了学生自我效能感的提升. 毫无疑问到此为止这名学生的心情应当是非常愉悦的. 可不幸的是当碰到意料之外的问题时这位教师却换成上一副冷面孔. 似乎还在埋怨学生过于偏执，所提的问题没有回答的价值. 这前后一热一冷的强烈反差怎能不叫学生失望呢？
那现在假设您自己就是上述案例中的那位教师. 当学生向你提出“sinα=cosα =cosα- 、cosα=sinα =sinα- 在确定正负号时，为什么也可以把α当作锐角”的问题时，您会怎样回答呢？如果一时想不到答案您又会如何做呢？无可否认与课堂教学相比，在课后答疑中学生问题的多样性、特殊性增加了. 因此其中时不时就会蹦出些令教师头痛不已的“奇思怪想”. 此时教师不能轻易抹杀学生提问的价值，无论其问题在形式看来有多么的荒谬毕竟都是学生经过一番思考后的成果. 换而言之我们也不该一面不停地鼓励学生积极思考，另一面又总是随意否定其思考的价值. 可“把α当作锐角”的确是教材上的原话（人教版高中数学必修4，P26），教材并没有对其做出过多的解释. 为此经过与有着多年教龄的专家级教师商议，笔者尝试将原先案例中的答疑方式做如下改进，具体流程分为两个环节：
首先，要讲清所谓“符号看象限”指的是变名之后，sinα前添加的正负号要与cosα± 本身的正负保持一致. 类似的cosα前添加的正负号与sinα± 本身的正负保持一致. 而之所以能将α视为锐角或者说第一象限内的角，则是因为即便α位于其他象限，sinα、cosα前正负号的添加规则恰巧与α在第一象限时完全相同.
其次，若经上述解答学生仍存疑问，在答疑时间、学生接受能力等条件都允许的前提下可采用分类枚举的方式来深入讲解. 鉴于对教师答疑效率、学生有意注意能够持续的时间上限等因素的考虑，研究建议教师要避免对α分属于二、三、四象限时三种情形的逐一讨论而应当先让学生随机选定α所在象限，再由教师进行分析. 具体结果如表1、表2：
总结
为了形成师生之间良好的答疑互动交流，教师可以尝试从两个方面做出努力.
对教师而言，必然要求其对本专业学科知识有着深入而全面的理解，而这种理解最终显化为教师能够不拘泥于教材的限制. 在笔者看来课本更像是对教师教学进度与难度做出的一个統一的简要标准，因此我们无法指望能够直接从书中获得所有问题的答案. 同时数学教师教学的意义也正是在于能够将数学知识由抽象、简略的学术形态转化为生动、翔实的教育形态. 上述案例中教师答疑失败的根本原因就是在于缺乏对数学专业知识的深入思考，以至于被学生问了个措手不及，不得不敷衍了事[5] . 值得注意的是类似于“把α当作锐角”的提问并不在少数. 仅在高一阶段学生就足以抛出这样较为刁钻的问题，比如：π到底是度数还是实数，180°=3.1415…？a<0、a=1时y=ax为何不是指数函数，是不是函数？数列为什么可以视为函数，应当如何理解函数的定义域为非空数集？等等.
然而除去精深的学科知识外，教师在教学中处理问题的方式也将直接影响教学活动的效果，这主要体现在教师与学生交流的方式上. 比如上述案例中导致学生由兴致勃勃变为悻悻而归的直接原因，便是教师教学智慧的匮乏. 试想一下如果教师能够坦诚地告诉学生自己不能立即解答当前这一问题并约定一个明确的时间给予答复，那么学生也很可能对此表示出充分的理解. 当然也会有读者强调案例中学生太过于任性，只重视理解记忆忽视机械记忆必然导致学习效率的低下[6] . 的确教师不能对此视而不见，不过学生的某种学习偏好与习惯一旦形成就较难发生改变. 教师一味地空洞说教非但不能起到预期的收效，反倒会激起学生的反感. 显然案例中教师告诫学生不要钻牛角尖的本意是为了改进学生的学习方式，可结果却事与愿违. 如果他能够采用表1、表2中的枚举法让学生亲身体会到适度机械记忆的优势，则必将事半功倍.
参考文献：
[1] 何建东. “探析式”答疑在中学数学教学中的实践思考[J]. 数学通报. 2010，49（4）：25-27.
[2] 刘萍. 发挥学生主体作用提高课后答疑效果[J]. 高中数学教与学. 2015（7）：1-2.
[3] 井维华. 论学生的主体性发展与教师主导作用的辩证统一[J]. 教育评论.1997（2）：37-39.
[4] Diane·Montgomery.Helping Teachers Develop through Classroom Observation， Second Edition[M]. David Fulton Publishers Ltd （Oct. 18 2013）.ISBN-10：113414590X.ISBN-13： 978-1134145904.
[5] 黄毅英. 数学教师不怕被学生难倒了：中小学数学教师所需的数学知识[M]. 华中师范大学出版社.2012.
[6] 杨冰. 把“机械记忆”转化为“理解记忆”的探索[J]. 教育理论与实践.2008（28）：89-91.
[关键词] 课后答疑；三角函数；案例研究
前言
课后答疑作为数学教学中必要的一环，不仅能够巩固落实课上教学的效果，而且还有着其他教学形式无可替代的作用[1] . 为了阐明该观点，不妨将“课后答疑”、“课上问答”、“作业批改”视为师生之间信息的交流三种主要模式，接着对比“课后答疑”与后两者的不同. 首先与“作业批改”的书面形式相比“课后答疑”以口头交流的方式进行，显然更具实效性. 其次较“课上问答”而言，“课后答疑”中涉及的问题对学生更有含金量.因为学生对新知的建构需要经历一个反复思考以同化或顺应的过程. 当然这并非一帆风顺，他们很可能会愕然发现课上似乎明明还答得出来的小问题在课下却成了百思不得其解的大麻烦. 最后上述三者中，鉴于“课后答疑”的形式通常是一对一的，而且学生是主动发问的一方.因此教师在答疑时便可针对学生的具体问题因材施教[2] .
然而课后答疑，持续的时长一般为10～20分钟，规模也比较小通常只有师生两人，而且与正式课堂相比答疑时的氛围相对轻松舒缓. 这难免会对刚入职不久的新手教师产生一种误导. 即：课后答疑就是帮学生亡羊补牢，重点是学生知识体系的巩固与修补，至于教师讲授知识的方法或形式大可不必同课上教学那样精雕细琢，而且也来不及细细琢磨. 为了驳斥这一说法. 下文整理实录了发生在贵阳二中某班午间休息时的一次答疑活动.其中进行答疑的教师是一位教龄不满三年的新手型教师，答疑的焦点是三角函数诱导公式.
生：“对± 的诱导公式的记忆始终不理想，该怎么办呢？”
师：“可以通过口诀的方式进行记忆.奇变偶不变，符号看象限.”
生：“必须这样照搬程序吗？要是能像其他几组诱导公式靠理解来记忆就好了.”
师：“也不一定，能谈谈你所说的理解记忆的方法吗？”
生：“结合三角函数定义与三角函数线得到如下三种划分.”
（1）由α与α的终边关于x轴对称记忆sin（-α）=-sin（α），cos（-α）=cos（α）.
（2）由α与α 2kπ（k∈Z）的终边重合记忆sin（α 2kπ）=sin（α），cos（α 2kπ）=cos（α）.
（3）由α与α π的终边关于原点对称记忆sin（α π）=-sin（α），cos（α π）= -cos（α），tan（α π）=tan（α）.
师：“理解很到位，而且课上也是这样讲的.”
生：“那为何不将该方法贯彻到底？反而要死记硬背呢？”
师：“因为口诀便于操作.其流程分做下述两步.”
（1）定名称. α （2k 1） 时sin与cos、tan与cot互相转变；α （2k） 时原三角函数名保持不变.
（2）定正负. 把α看成锐角……
生：“稍停一下. （1）中α （2k） ？圳α kπ，这就是‘偶不变’的原因. 那当 的系数为奇数时函数名为何要改变？”
师：“用你熟悉的三角函数线来解释. 定名时先不考虑正负，因此默认α为锐角并作出相应示意图.”
图1
图2
师：“记∠AOB为α，则∠A1OB为α ，∠A2OB2为α- ，圆O半径为1. 试用△AOB三边表示sinα，cosα.”
生：sinα=AB，cosα=OB.
师：“类似地利用△A1B1O表示sinα ，cosα ，利用△A2B2O表示=sinα- ，cosα- .”
生：sinα =A1B1，cosα =B1O，sinα- =A2B2，cosα- =B O.
师：“别忘了，上述三个直角三角形两两全等，于是……”
生：sinα=cosα =cosα- ，
cosα=sinα =sinα- .
师：“很好，而初中锐角三角函数中关于互余两角的正余弦函数名的变化恰为上述讨论的一种特殊情形.”
生：“可确定正负号时，为什么也可以把α当作锐角？”
师：“......因为书上就是这么规定的嘛，大家都是这么理解的.”
生：“不能像刚才一样解释一下吗？”
师：“别太钻牛角啦！”
生：（悻悻而回）
现在有请各位读者对上述案例中教师的答疑教学做出一个评价并说明理由. 然而我们却不难把针对该问题的诸般看法大致地归纳划分成旗帜鲜明的两大对立阵营. 为了便于描述笔者用甲、乙两方代表这两种不同的观点.
甲方观点认为，案例中教师的答疑毫无疑问是失败的.学生前来的目的是为了找到一种通过理解而非死记硬背的方式掌握三角函数的诱导公式. 而就最终的结果来看教师没能通过答疑彻底地帮学生排忧解惑. 此外更令人担忧的是案例中教师在与学生交流时并没有注重教学用语的规范表述. 这不仅要求教师能够用简明准确的语言讲解专业知识，还要求教师具有一定的谈话技巧，兼顾听话人的情感与自尊心. 比如：案例第三小节中类似“书上是这么规定的”、“不要钻牛角”的表述都可能挫伤学生的学习主动性，使得教师在学生心中的形象大打折扣.
乙方观点认为，案例中教师的答疑从过程来看是无可厚非的. 首先：从案例第一小节中学生回答问题的情况来看，他的问题并非出在诱导公式的掌握上而在于其特有的学习习惯，即对无法用理解记忆的知识产生一种执拗的排斥，但有时机械记忆却是必要而高效的.因此适当地让其“碰壁”或许能够促使该生在学习方法上做出改变. 其次：结合案例第二小节可知该生已经对“奇變偶不变”中 系数为偶数的情况理解得十分准确了. 接着教师，如图1、2，分别在单位圆中作出α、α± 进行比较从而讲清了函数名变化的原理. 此时需要学生强记的就只有函数变名后的正负号，这便达到机械记忆与理解记忆的平衡. 综合甲、乙两方观点不难发现甲方评断答疑是否有效的标准是以“受教育者”的视角建立的，即充分重视学生在答疑中的体验与收获. 相比之下乙方则倾向站在“教育者”的立场去判断答疑的收益，把答疑视为对教师课堂教学的有效补充手段. 然而就为了实现课后答疑的根本目的而言，绝不应该将这两种价值观对立起来[3] . 有了这样一个基本认同后让我们再次解剖先前那只“麻雀”.
学生为什会来答疑呢？学生为何会喜欢来答疑呢？这显然是两个截然不同的问题. 一般而言我们都会理所当然地认为当学生在学习上遭遇挫折时便会向教师求助. 但事实证明能够主动走到教师办公室去寻求帮助对学生而言甚至是需要一种勇气的. 因为在答疑过程中学生学业上的缺点与不足充分地暴露展示给教师，从客观上讲这会导致学生自我效能感的下降，而自我效能的持续降低终将阻碍学生形成继续参与答疑的内驱力. 当然也有教师认为对真正好学的学生无论如何都不会放弃求知的！话虽如此，可是学生们却有权利也更倾向于选择他们能够接受的解惑方式. 这也就不难解释为何有的学生宁愿自己苦思冥想或者求助其他同学，甚至不惜高价聘请私人家教，也不愿向自己的任课教师请教的缘故.
因此教师必须想方设法在答疑的过程中增强学生的自我效能感. 为了达到这一目的教师首先应当注意与学生交流的方式. 但是在笔者看来这并非是要教师在说每句话前都要斟酌一番，跟学生“报喜不报忧”. 根据英国密德萨斯大学戴安·蒙哥马利教授的研究教师激发学生积极学习态度的前提是教师自身能够以认真不敷衍的态度对待学生[4] . 相比之下案例中教师的讲解则呈现出一种典型的虎头蛇尾的态势. 即在讲解自身熟悉的内容时尚能做到循循善诱. 在这一阶段教师并没有直接回答学生提出的问题而是设法搭建脚手架，即用一系列相关的简单的小问题引导学生自己找出问题的答案. 这一做法显然是值得称道的，因为学生主要凭借了自身的力量解决了问题，从而实现了学生自我效能感的提升. 毫无疑问到此为止这名学生的心情应当是非常愉悦的. 可不幸的是当碰到意料之外的问题时这位教师却换成上一副冷面孔. 似乎还在埋怨学生过于偏执，所提的问题没有回答的价值. 这前后一热一冷的强烈反差怎能不叫学生失望呢？
那现在假设您自己就是上述案例中的那位教师. 当学生向你提出“sinα=cosα =cosα- 、cosα=sinα =sinα- 在确定正负号时，为什么也可以把α当作锐角”的问题时，您会怎样回答呢？如果一时想不到答案您又会如何做呢？无可否认与课堂教学相比，在课后答疑中学生问题的多样性、特殊性增加了. 因此其中时不时就会蹦出些令教师头痛不已的“奇思怪想”. 此时教师不能轻易抹杀学生提问的价值，无论其问题在形式看来有多么的荒谬毕竟都是学生经过一番思考后的成果. 换而言之我们也不该一面不停地鼓励学生积极思考，另一面又总是随意否定其思考的价值. 可“把α当作锐角”的确是教材上的原话（人教版高中数学必修4，P26），教材并没有对其做出过多的解释. 为此经过与有着多年教龄的专家级教师商议，笔者尝试将原先案例中的答疑方式做如下改进，具体流程分为两个环节：
首先，要讲清所谓“符号看象限”指的是变名之后，sinα前添加的正负号要与cosα± 本身的正负保持一致. 类似的cosα前添加的正负号与sinα± 本身的正负保持一致. 而之所以能将α视为锐角或者说第一象限内的角，则是因为即便α位于其他象限，sinα、cosα前正负号的添加规则恰巧与α在第一象限时完全相同.
其次，若经上述解答学生仍存疑问，在答疑时间、学生接受能力等条件都允许的前提下可采用分类枚举的方式来深入讲解. 鉴于对教师答疑效率、学生有意注意能够持续的时间上限等因素的考虑，研究建议教师要避免对α分属于二、三、四象限时三种情形的逐一讨论而应当先让学生随机选定α所在象限，再由教师进行分析. 具体结果如表1、表2：
总结
为了形成师生之间良好的答疑互动交流，教师可以尝试从两个方面做出努力.
对教师而言，必然要求其对本专业学科知识有着深入而全面的理解，而这种理解最终显化为教师能够不拘泥于教材的限制. 在笔者看来课本更像是对教师教学进度与难度做出的一个統一的简要标准，因此我们无法指望能够直接从书中获得所有问题的答案. 同时数学教师教学的意义也正是在于能够将数学知识由抽象、简略的学术形态转化为生动、翔实的教育形态. 上述案例中教师答疑失败的根本原因就是在于缺乏对数学专业知识的深入思考，以至于被学生问了个措手不及，不得不敷衍了事[5] . 值得注意的是类似于“把α当作锐角”的提问并不在少数. 仅在高一阶段学生就足以抛出这样较为刁钻的问题，比如：π到底是度数还是实数，180°=3.1415…？a<0、a=1时y=ax为何不是指数函数，是不是函数？数列为什么可以视为函数，应当如何理解函数的定义域为非空数集？等等.
然而除去精深的学科知识外，教师在教学中处理问题的方式也将直接影响教学活动的效果，这主要体现在教师与学生交流的方式上. 比如上述案例中导致学生由兴致勃勃变为悻悻而归的直接原因，便是教师教学智慧的匮乏. 试想一下如果教师能够坦诚地告诉学生自己不能立即解答当前这一问题并约定一个明确的时间给予答复，那么学生也很可能对此表示出充分的理解. 当然也会有读者强调案例中学生太过于任性，只重视理解记忆忽视机械记忆必然导致学习效率的低下[6] . 的确教师不能对此视而不见，不过学生的某种学习偏好与习惯一旦形成就较难发生改变. 教师一味地空洞说教非但不能起到预期的收效，反倒会激起学生的反感. 显然案例中教师告诫学生不要钻牛角尖的本意是为了改进学生的学习方式，可结果却事与愿违. 如果他能够采用表1、表2中的枚举法让学生亲身体会到适度机械记忆的优势，则必将事半功倍.
参考文献：
[1] 何建东. “探析式”答疑在中学数学教学中的实践思考[J]. 数学通报. 2010，49（4）：25-27.
[2] 刘萍. 发挥学生主体作用提高课后答疑效果[J]. 高中数学教与学. 2015（7）：1-2.
[3] 井维华. 论学生的主体性发展与教师主导作用的辩证统一[J]. 教育评论.1997（2）：37-39.
[4] Diane·Montgomery.Helping Teachers Develop through Classroom Observation， Second Edition[M]. David Fulton Publishers Ltd （Oct. 18 2013）.ISBN-10：113414590X.ISBN-13： 978-1134145904.
[5] 黄毅英. 数学教师不怕被学生难倒了：中小学数学教师所需的数学知识[M]. 华中师范大学出版社.2012.
[6] 杨冰. 把“机械记忆”转化为“理解记忆”的探索[J]. 教育理论与实践.2008（28）：89-91.