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【摘要】在数学课堂教学中，“用数轴上的点表示无理数”这一内容的教学，往往容易呈现偏差，或过于简单，一带而过；或过于复杂，但又不注重通过教学发展学生的思维能力。本文在课标研究基础上，着眼于发展学生思维能力的角度，对这一内容教学进行了设计，并得出教学启示。
【关键词】初中数学；课标；无理数；思维能力
“用数轴上的点表示无理数”是北师大版初中数学教材八年级上册《实数》一章的第六节内容“实数”中的“议一议”。按照教材安排，这个内容与实数概念、分类运算规律律等为同一节课。对于刚刚在第一节认识无理数、刚刚学习带根号的无理数的学生来说，这样的教学内容无疑是教学难点。在听取两位青年教师的讲课后，发现不少问题。他们的共同特点是：把知识教“狭窄”了——仅手把手教学生画 ，把知识教“呆板”——只教作图程序知识，没有教分析方法、思维方法。如何透过这个难点培养学生思维能力？为此，笔者提出以下教学策略来突破难点、培养思维能力。
一、设计培养思维能力的教学序列，巧妙突破策略
1.于自主探究中发展思维能力——由形到数
①教师提出问题：直角三角形的两直角边分别为1、1，斜边长是多少？这是个什么数？运用什么知识求解？发现什么方法？
【设计意图】学生计算，得出。明晰的长度可以通过画直角三角形来获得，揭示勾股定理在这里的运用价值，初步掌握这种画图分析方法。
②通过以下三组探究，发现更多的无理数的画法。学生独立操作，画草图分析，然后交流。
第一组：从两直角边分别为1、2，1、3……1、10。
第二组：从两直角边分别为1、1，2、2，3、3……10、10。
第三组：从两直角边分别为1、2，2、3，3、4……9、10。
【设计意图】第一组可以画出的数是 （可以化为 的倍数）. 第二组可以画出的数是 ，它们可以化为的倍数。第三组可以画出的数是 。通过学生操作，达到四个目的：一是真切地直观地感受到帶根号的无理数的长度；二是经历大量的画草图分析的过程，熟练地用勾股定理求出直角三角形的斜边长，了解不同的无理数的长度 “是怎么来的”，即感受借助这种数学模型思考；三是发现这种数学思考模型所列出来的无理数并不齐全；四是把学习主动权还给学生，让学生经历探索过程，通过切身体验发现方法、获得知识。
2.于分析数构造形中培养思维能力——由数到形
任意给出一个带根号的无理数，倒过来想，勾股定理的计算过程怎么会得出这个结果，然后再由此还原这个带根号的无理数属于什么形状的直角三角形。
教师提出分析样例：的分析过程。根据勾股定理a2 b2=c2， （）2=10.思考，哪两个数的平方和是10呢？12 9，22 6，32 1。但要满足，两个数都必须是某个正整数的平方，由此想到，12 9，即12 32，此时，1和3就是直角三角形两只角边的长。简要表述为：对于 我们可以思考哪两个数的平方和等于10，通过实验、计算，找到符合条件的两个数，它们就是以 为斜边的直角三角形的两条直角边。接下来，请学生分析至中带根号的无理数的情况。发现在需要分析 这些数中，只有可以使用上面的方法。也发现 可以用勾股定理的变形式来思考。其他可以在此基础上，借助一些简单无理数的长度再次构造直角三角形来实现。
【设计意图】从给定的带根号的无理数进行分析，还原该无理数代表的线段所在的直角三角形，从而把“数”转化为“形”，用线段表示线段的长度，为在数轴上找到这个无理数的位置打下铺垫。同时，也为分析带根号无理数“由数化形”找到解决此类问题的一般性方法。
3.于动手画图中感受对应关系培养思维能力——数形结合
①特例的准确对应
上面，通过画直角三角形的方法，得到一些斜边是带根号的无理数，如何把它们画在数轴上呢？
方法一：画好后，借助圆规“量”，然后在数轴上截取即可。
方法二：把直角三角形画在数轴上，然后用圆规在数轴上画弧，把长在直角三角形上带根号的无理数那段长度“转”到数轴上。
②在数轴上标注任意带根号的无理数的大致位置
师生一起分析至中带根号的无理数如何在数轴上大致表示出来。
教师以为例，它在与之间，即4与5之间，但靠近4。其他的都由学生来分析，并标注在数轴上。让学生感受到实数与数轴上的点的一一对应性，在直观体验中，增强学生的数感。
【设计意图】前面学习过在数轴上表示有理数，学生已经知道，整数可以比较准确地在数轴上表示出来。而无理数，是否能在数轴上表示？通过第一个问题“直角三角形的两直角边分别为1、1，斜边长是多少？”已经有了初步了解，但还不是很清楚。通过画图教学，启发学生：无论是无限不循环小数形式，还是带根号形式，都不能准确表示，只能大致表示。
二、教学反思
1.以上教学序列是否符合课标要求
课标的要求是“知道实数与数轴上的点一一对应”。教材给出的画法，课外练习只要求在数轴上找到的点。教师用书对此的教学目标没有明确给出。在设计目的处是这样说的：“目的在于引导学生将实数和数轴上的点建立一一对应关系。这种关系的建立，将‘数’这一代数对象赋予了‘点’这一几何特征，实现了数与形的结合。”“这里先给出一个无理数的数轴表示，然后再让学生类似地在数轴上表示另外一个无理数。由此推想，无理数也可以用数轴上的点表示，从而初步获得对‘每个实数都可以用数轴上的一个点来表示’的感性认识”。也提到，“初中阶段无法严格说明它们的正确性，教学时可结合具体例子让学生感受，不要深究”。基于以上要求，教学这一内容时，不必举出学生难以在通过作业本画出的无理数，也不必给出太多这样的画图训练，更不必介绍如何进行严格说明或证明。
对照以上要求，反观以上教学序列，可以发现，这样的教学把知识教“宽广”了——找到画出带根号的无理数并标到数轴的通性通法；把知识教“活”了——教作图程序知识只是示范，更多地是从学会分析问题的方法和数学思维方法。仅从知识的量的角度去思考，这样的教学已经超过了课程标准的要求，但从课标的基本理念来说，借助一定的数学知识的教学，让学生经历探索发现来获得数形结合的思想方法、学到解决一类问题的通性通法、发展学生高阶思维能力、培养“四能”，这样的教学又是符合课程标准的要求的。这样的教学又何乐而不为呢？当然，可以视学生的实际情况，把这样的教学放在课堂上或者放在数学兴趣小组教学上。
2.得到的启示
以上对一个教学内容进行的分析思考，可以得到两点启示：
①在教学前要善于制定准确的教学难点，要想方设法寻找最佳的突破策略。以上提供其中的一个突破策略，在实际教学实施中表明，其教学效果大大激发学生的探究热情，取得较好的学习效果。不同风格的教师一定还有更多更好的突破策略；
②备考时要吃透课程标准要求。要深度理解教材的基础上，对教学内容进行整合、拓展，让教学过程成为发展学生思维能力的过程，使学生学会用数学的方法进行分析思考。
【关键词】初中数学；课标；无理数；思维能力
“用数轴上的点表示无理数”是北师大版初中数学教材八年级上册《实数》一章的第六节内容“实数”中的“议一议”。按照教材安排，这个内容与实数概念、分类运算规律律等为同一节课。对于刚刚在第一节认识无理数、刚刚学习带根号的无理数的学生来说，这样的教学内容无疑是教学难点。在听取两位青年教师的讲课后，发现不少问题。他们的共同特点是：把知识教“狭窄”了——仅手把手教学生画 ，把知识教“呆板”——只教作图程序知识，没有教分析方法、思维方法。如何透过这个难点培养学生思维能力？为此，笔者提出以下教学策略来突破难点、培养思维能力。
一、设计培养思维能力的教学序列，巧妙突破策略
1.于自主探究中发展思维能力——由形到数
①教师提出问题：直角三角形的两直角边分别为1、1，斜边长是多少？这是个什么数？运用什么知识求解？发现什么方法？
【设计意图】学生计算，得出。明晰的长度可以通过画直角三角形来获得，揭示勾股定理在这里的运用价值，初步掌握这种画图分析方法。
②通过以下三组探究，发现更多的无理数的画法。学生独立操作，画草图分析，然后交流。
第一组：从两直角边分别为1、2，1、3……1、10。
第二组：从两直角边分别为1、1，2、2，3、3……10、10。
第三组：从两直角边分别为1、2，2、3，3、4……9、10。
【设计意图】第一组可以画出的数是 （可以化为 的倍数）. 第二组可以画出的数是 ，它们可以化为的倍数。第三组可以画出的数是 。通过学生操作，达到四个目的：一是真切地直观地感受到帶根号的无理数的长度；二是经历大量的画草图分析的过程，熟练地用勾股定理求出直角三角形的斜边长，了解不同的无理数的长度 “是怎么来的”，即感受借助这种数学模型思考；三是发现这种数学思考模型所列出来的无理数并不齐全；四是把学习主动权还给学生，让学生经历探索过程，通过切身体验发现方法、获得知识。
2.于分析数构造形中培养思维能力——由数到形
任意给出一个带根号的无理数，倒过来想，勾股定理的计算过程怎么会得出这个结果，然后再由此还原这个带根号的无理数属于什么形状的直角三角形。
教师提出分析样例：的分析过程。根据勾股定理a2 b2=c2， （）2=10.思考，哪两个数的平方和是10呢？12 9，22 6，32 1。但要满足，两个数都必须是某个正整数的平方，由此想到，12 9，即12 32，此时，1和3就是直角三角形两只角边的长。简要表述为：对于 我们可以思考哪两个数的平方和等于10，通过实验、计算，找到符合条件的两个数，它们就是以 为斜边的直角三角形的两条直角边。接下来，请学生分析至中带根号的无理数的情况。发现在需要分析 这些数中，只有可以使用上面的方法。也发现 可以用勾股定理的变形式来思考。其他可以在此基础上，借助一些简单无理数的长度再次构造直角三角形来实现。
【设计意图】从给定的带根号的无理数进行分析，还原该无理数代表的线段所在的直角三角形，从而把“数”转化为“形”，用线段表示线段的长度，为在数轴上找到这个无理数的位置打下铺垫。同时，也为分析带根号无理数“由数化形”找到解决此类问题的一般性方法。
3.于动手画图中感受对应关系培养思维能力——数形结合
①特例的准确对应
上面，通过画直角三角形的方法，得到一些斜边是带根号的无理数，如何把它们画在数轴上呢？
方法一：画好后，借助圆规“量”，然后在数轴上截取即可。
方法二：把直角三角形画在数轴上，然后用圆规在数轴上画弧，把长在直角三角形上带根号的无理数那段长度“转”到数轴上。
②在数轴上标注任意带根号的无理数的大致位置
师生一起分析至中带根号的无理数如何在数轴上大致表示出来。
教师以为例，它在与之间，即4与5之间，但靠近4。其他的都由学生来分析，并标注在数轴上。让学生感受到实数与数轴上的点的一一对应性，在直观体验中，增强学生的数感。
【设计意图】前面学习过在数轴上表示有理数，学生已经知道，整数可以比较准确地在数轴上表示出来。而无理数，是否能在数轴上表示？通过第一个问题“直角三角形的两直角边分别为1、1，斜边长是多少？”已经有了初步了解，但还不是很清楚。通过画图教学，启发学生：无论是无限不循环小数形式，还是带根号形式，都不能准确表示，只能大致表示。
二、教学反思
1.以上教学序列是否符合课标要求
课标的要求是“知道实数与数轴上的点一一对应”。教材给出的画法，课外练习只要求在数轴上找到的点。教师用书对此的教学目标没有明确给出。在设计目的处是这样说的：“目的在于引导学生将实数和数轴上的点建立一一对应关系。这种关系的建立，将‘数’这一代数对象赋予了‘点’这一几何特征，实现了数与形的结合。”“这里先给出一个无理数的数轴表示，然后再让学生类似地在数轴上表示另外一个无理数。由此推想，无理数也可以用数轴上的点表示，从而初步获得对‘每个实数都可以用数轴上的一个点来表示’的感性认识”。也提到，“初中阶段无法严格说明它们的正确性，教学时可结合具体例子让学生感受，不要深究”。基于以上要求，教学这一内容时，不必举出学生难以在通过作业本画出的无理数，也不必给出太多这样的画图训练，更不必介绍如何进行严格说明或证明。
对照以上要求，反观以上教学序列，可以发现，这样的教学把知识教“宽广”了——找到画出带根号的无理数并标到数轴的通性通法；把知识教“活”了——教作图程序知识只是示范，更多地是从学会分析问题的方法和数学思维方法。仅从知识的量的角度去思考，这样的教学已经超过了课程标准的要求，但从课标的基本理念来说，借助一定的数学知识的教学，让学生经历探索发现来获得数形结合的思想方法、学到解决一类问题的通性通法、发展学生高阶思维能力、培养“四能”，这样的教学又是符合课程标准的要求的。这样的教学又何乐而不为呢？当然，可以视学生的实际情况，把这样的教学放在课堂上或者放在数学兴趣小组教学上。
2.得到的启示
以上对一个教学内容进行的分析思考，可以得到两点启示：
①在教学前要善于制定准确的教学难点，要想方设法寻找最佳的突破策略。以上提供其中的一个突破策略，在实际教学实施中表明，其教学效果大大激发学生的探究热情，取得较好的学习效果。不同风格的教师一定还有更多更好的突破策略；
②备考时要吃透课程标准要求。要深度理解教材的基础上，对教学内容进行整合、拓展，让教学过程成为发展学生思维能力的过程，使学生学会用数学的方法进行分析思考。