1 问题的提出
　　
　　同学们都知道等腰三角形的“三线合一”的性质,可是很少有人研究过它的逆命题. 某同学经过深思熟虑,得出结论:当一个三角形一边上的高和这边上的中线重合时,显然它是等要三角形;当一个三角形一边上的高和这边所对角的角平分线重合时,显然它也是等腰三角形;可是他无法判断当一个三角形一边上的中线和这边所对角的角平分线重合时,它是不是等腰三角形,你能帮他解决这个问题吗?
　　如图1,在△ABC中,AD是BC边上的中线,且AD平分∠BAC,试探究AB和AC的数量关系?
　　
　　2 问题的解决
　　
　　结论:AB=AC.下面给出解决问题的几个途径供读者参考.
　　
　　证法4 如图5,延长BA至点E,使AE=AB,连结CE,根据三角形中位线定理得AD=[SX(]1[]2[SX)]CE且AD∥CE,所以∠BAD=∠E,∠CAD=∠ACE,因为∠BAD=∠CAD,所以∠E=∠ACE,所以AC=AE,所以AB=AC.
　　评注 线段的中点是几何图形中的一个特殊点,倍长过中点的线段或构造中位线,在解决与中点有关问题时很适用.
　　途径3:利用平移变换.
　　
　　证法7 如图8,作△ABD的外接圆⊙O交AC于点E,连结DE,因为∠BAD=∠DAE,
　　所以弧BD=弧DE. 所以BD=DE,因为BD=DC,所以BD=DE=DC,所以∠DBE=∠DEB,
　　∠DEC=∠C,因为∠DBE ∠DEB ∠DEC ∠C=180°,所以∠BED ∠DEC=90°,
　　所以BE⊥AC,所以AB是⊙O的直径,所以∠BDA=90°所以AD⊥BC,即AD是BC的垂直平分线,所以AB=AC.
　　评注在处理平面几何中的许多问题时,常常需要作辅助圆,借助于圆的性质,问题才能得以解决.
　　途径5:用反证法.
　　证法8 如图9,假设AB≠AC,不妨设AB>AC,在AB上截取AE=AC,连结DE,因为AD=AD,∠EAD=∠CAD,所以△EAD≌△CAD,所以∠AED=∠C,ED=CD,因为BD=CD,所以ED=BD,所以∠B=∠BED,因为∠AED ∠BED=180°,所以∠C ∠B=180°,这与三角形内角和定理矛盾,故假设AB≠AC不正确,所以AB=AC.
　　
　　证法9 如图10,假设AB≠AC,不妨设AB>AC,过点D作EF⊥AD交AB于点E,交AC的延长线于点F,因为∠EAD=∠FAD,AD=AD,∠ADE=∠ADF,△ADE≌△ADF,所以ED=FD,又因为∠EDB=∠FDC,BD=CD,所以△BDE≌△CDF,所以∠B=∠FCD,所以BA∥FA,这与已知条件矛盾,故假设AB≠AC不正确,所以AB=AC.
　　评注 对直接证明比较困难的几何问题,可逆向思维——采用“反证法”,即从命题结论的反面出发,经过推理,引出矛盾,从而证明命题成立.3 问题的启示
　　美国数学教育家波利亚名言——“掌握数学就意味着善于解题”,解“好题”更是掌握数学的有效途径. 本文探究的问题表明:“好题”不一定是难题,“好题”也不是空穴来风,“好题”基本上源于教材中的例题、习题或典型基本题. 上海教科院顾泠沅研究员所认为的“好题”的标准值得参考:(1)具有较强的探索性;(2)具有一定的启示意义,也就是说,应有利于学生掌握有关的数学知识和方法,有利于学生掌握数学核心知识和数学通性通法;(3)具有多种不同的解法或多种可能的答案;(4)具有一定的发展余地,也就是说,由此可以引出新的问题;(5)具有一定的现实意义,或与学生的实际生活有着直接的联系,从而可以使学生感到数学是有意义的活动,即逐步认识数学的价值;(6)问题的表述要简单易懂,富有趣味. 选“好题”,做“好题”,充分发挥“好题”的作用,数学教师义不容辞、任重道远.
　　
　　参考文献
　　[1] 汪宗兴.浅谈变式教学在中考数学总复习中的运用[J].中国数学教育,2008,(4).
　　作者简介参见2009年第10期(总第235期)第59页.