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《全日制义务教育数学课程标准》(以下简称《标准》)关于课程内容的学习中,强调指出了六个核心概念,其中之一就是“空间观念”,而且把空间观念作为义务教育阶段培养学生初步的创新精神和实践能力的一个重要学习内容. 下面我们就对空间观念的认识及其培养的问题作一讨论,希望能起到抛砖引玉的作用.
1 空间观念及其构成
“空间观念”是几何课程改革的一个课程核心的概念,关于这个概念,说法并不一致. 事实上,空间观念是一个内涵被逐步完善的概念. 《标准》用描述性的语言指出了空间观念六个方面的表现:能由实物的形状想象出几何图形,由几何图形想象出实物的形状,进行几何体与其三视图、展开图之间的转化;能根据条件做出立体模型或画出图形;能从较复杂的图形中分解出基本的图形,并能分析其中的基本元素及其关系;能描述实物或几何图形的运动和变化;能采用适当的方式描述物体间的位置关系;能运用图形形象地描述问题,利用直观来进行思考.
可以看出空间观念的六个方面,都与学生对图形及其相互关系的感知,识别,判断,操作,表述,建构,想象,变换及其运用有关. 进一步分析便可发现,空间观念至少由以下几种基本能力组成:
1.1 图形的识别与理解能力
“能由实物的形状想象出几何图形,由几何图形想象出实物的形状,进行几何体与其三视图、展开图之间的转化”是空间观念最基本的表现,这是一个包括观察、相像、比较、综合、抽象分析,不断由低到高向前发展的认识客观事物的过程,是建立在对周围环境直接感知基础上的、对空间与平面相互关系的理解和把握的过程. 要做到这一点,学生必须具有较强的图形识别能力与理解能力,达到(1)正确识别有关的图形,理解这些图形的特征性质,根据图形特征把它与其它图形区别开来;(2)由实物的形状想象出相应的几何图形,反过来,能由几何图形想象出实物的形状. 这是空间观念的基础.
1.2 图形的分解与组合能力
把握实物与相应的平面图形,实现几何体的展开图与三视图之间的正确转化,既是一个思考过程,又是一个具体的实际操作过程,要实现这一转化,学生必须具有对图形进行科学观察、分析,分解和组合的能力,做到能从较复杂的图形中分解出较简单的图形,又能够把若干简单的图形组合为复杂的图形. 这种对给定图形进行分解与组合的能力是空间观念得以健康发展的基础.
1.3 对图形的运动与变换的欣赏能力
空间观念要求学生掌握“坐标和位置”的知识,即要求学生不仅能根据给定点的坐标准确描出它的位置,而且能根据已知点的位置写出该点的坐标. 事实上,只具备这样的能力还是远远不够的. 因为这只是静态的看问题,除此之外,我们还要求学生能对图形运动有一个深刻的认识,这种认识是逐步深化的,从对图形进行简单的对称、平移变换到熟练的旋转变换. 从而使学生具备“描述实物或几何图形的运动和变化”的能力. 这是他们空间观念逐步成熟的前提.
1.4 图形的建构与探索能力
中学生应该具有对图形阅读,探究与理解的能力. 包括能够读懂和画出草图,用尺规方法以及动态软件画出图形. 包括:平面图,简单立体图形的三视图,截面图,表面展开图等. 中学生应该掌握推理和证明的基本方法,能够根据图形的某些已知的性质探索推导出它的其他性质. 良好的图形建构与探索能力,是空间观念发展的标志.
1.5 利用几何直观解决问题能力
“能运用图形形象的描述问题,利用直观来进行思考”就是要求学生具有利用几何直观解决问题的能力. 几何直观是指利用图形描述几何或者其他数学问题、探索解决问题的思路、预测所得结果. 几何直观为利用图形的性质解决问题创造了有利条件. 运用几何直观的能力,是空间观念成熟的标志.
2 培养学生空间观念的基本途径
发展学生的空间观念,对于帮助他们理解,解释和欣赏我们现实的几何世界是十分重要的. 培养学生的空间观念,是中学数学课程的主要目标之一. 随着课程改革的深入发展,教师们也已经认识到培养学生空间观念的重要性,但在具体的教学实践中做的还不够. 我们认为,学生空间观念的形成与发展应该在他们对图形具有丰富的感性认识的基础上进行. 为了建立这种认识,要让学生从低年级开始,就通过多种途径感知与认识图形,模型与实物. 能观其外形,触其表面,读其名称,辨其特征,分拆重组,进行归纳分类等. 在实验与操作中,让学生有充足的时间,以便于建立起对有关几何图形形成的表象. 具体说来,常用的途径有以下几条:
2.1 通过观察,积累感性材料
几何概念是客观事物形体的本质特征的反映. 学习几何概念离不开对客观事物的感知. 初中学生正处在由具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段,他们对几何形体的认识还主要依赖于直觉观察. 因此在几何知识教学过程中,要培养学生按照一定的目的,有顺序、有重点地进行观察的能力. 为此,教师要引导学生先观察给定几何图形的整体,对整个几何体有个初步的,粗略的认识之后,再分离出组成它的各个部分,并对这些部分进行细致的观察,进而了解各部分之间的联系,最后把它综合为一个几何整体.
例如,在学习点、线、面、体等“空间与图形”领域中最基本的概念时,都可以引导学生观察给定的一些照片、实物、图形等. 同时,引导他们学会分析、比较,在反复细致观察的基础上,通过比较,找出事物的不同特征,逐步积累空间观念. 当然我们这里说的观察不是简单地看,而是在用眼观看的同时,大脑要进行积极的思维活动,让学生边看边想边说,把感知、思维和语言结合起来,让学生把看和思维的过程用口头语言表达清楚. 这样,才能把感知到的几何形体上升为表象.
2.2 加强实验操作,发展直观感知
《标准》强调改变学生的学习方式,指出“动手操作,自主探究,合作交流是学生学习数学的重要方式”. 在学习某些几何图形的有关知识时,可通过引导学生自己亲自操作、实验或通过现代教育技术手段演示及操作,从中领悟到这些知识的形成过程,这样既发展了学生的思维能力、理解能力、创造能力及直观能力,又能将新知识与已有知识有机的结合起来,还能增强学生学习的主动性,可谓“一举多得”.
案例1 通过画图澄清一个关于判定三角形全等的错误认识.
同学们学习了全等三角形的判定方法“角角边AAS”之后,很容易进行类比、猜想从而得到一个错误的方法,即所谓的“边边角”方法. 为了让学生从根本上认识到不存在“边边角”的方法的道理,可让学生进行下面的实验操作:
如图1,已知线段a=6cm,b=8cm和∠α=30°,让同学们在硬纸片上画△ABC,要求AB=8cm,AC=6cm,∠B=30°. 画好后剪下来与其他同学画的三角形进行比较,你能发现什么样结论?
同学们通过动手画图、剪拼,发现画出的两个三角形不能重合,这就是说已知两边和其中一边的对角画出的三角形不唯一. 如图2,在△ABC和△ABD中,已知AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但它们显然是不全等的. 这就直观的告诉我们,有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 从而否定了“边边角”方法的存在.
2.3 让学生在动的过程中,掌握图形的有关知识
《标准》要求数学教学必须彰显过程的价值,特别强调学生探索知识的经历和对获得新知识的体验. 它把数学课程目标划分为“知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度”四个维度. 目前教师都已经认识到“数学教学只注重知识的传授,忽视知识的发生过程,不讲背景和过程,把结论硬塞给学生”的弊端了,也都在强调数学教学的过程性特征,并在具体的教学实践中,能抓住一些典型的知识点进行展开,把数学教学作为一种培养人的活动,以过程的形式存在,并以过程的方式去展开. 这样的过程主要含有以下三个方面:
第一,把握几何知识的形成过程
“空间与图形”领域中的许多几何概念,如角、线段的垂直平分线、角的平分线、三角形、多边形和圆等都可以使用“发生定义”的定义方式来揭示其形成过程. 教学中,我们一定要引导学生经历它们的形成过程、抽象过程,从而把握其本质,初步形成几何建模的意识.
案例2 圆的定义的形成过程.
圆是生活中常见的几何图形,教学中,教师应利用实物或课件,演示圆的生成过程,在此基础上,从动和静两个方面来揭示圆的本质,从而形成圆的两种定义:
(1)“动”的形成过程:如图3,在平面内线段OA绕固定的端点O旋转一周,另一个端点A所描出的封闭曲线叫做圆. 圆的形成过程由“线段……旋转一周,另一个端点所描出”给出.
(2)“静”的形成过程:引导学生参与下面的一系列数学活动:
画一个半径为5 cm长的⊙O,在⊙O上取A、B两点,连结OA、OB.
①OA、OB的长分别等于多少?
②如果OC=5 cm,你知道点C的位置吗?
③如果OM=7 cm,ON=3 cm,你能说出M、N两点与圆的位置关系吗?
④想一想,平面上的点与圆有哪几种位置关系?
同学们相互交流之后,概括得到:
圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合.
(1)如图6,剪两个一样大的三角形硬纸片ABC,A′B′C′(三边都不相等的);
(2)用这两个三角形拼成四边形,观察所得到的四边形的特点,你能得到怎样的猜想?并相互交流自己的结论;
(3)证明所得到的猜想,将其归纳成一般结论.
由上面的操作过程,学生可以发现,在图7中,已知AB=CD,且BC=AD,要证明四边形ABCD是平行四边形,只需连接AC,并证明△ABC与△CDA全等即可. 这个证明思路的发现就是在拼接三角形纸片的过程中发现的.
2.4 在变式训练中,加深对几何知识的认识
学生对几何形体的学习,不能只停留在直观感知这个初级阶段,还应充分发挥表象的桥梁作用,使具体的感性认识逐渐过渡到抽象的理性认识. 学生形成表象的结果往往与教师出示的图形方式有很大关系. 如果教师只出示标准图形,很可能使学生把图形的本质特征与其个别属性联系起来产生扩大或缩小概念的外延或内涵的错误. 在一些几何概念教学中,为使学生巩固和加深对概念的认识,更好的把握概念的内涵和外延,既要利用标准图形,还要列举出该概念外延之内或之外的一些例子,让学生根据定义自己去识别、辨认、交流,通过这样的一些活动,达到加深对所学概念理解和掌握的目的.
案例5 巩固对顶角的概念.
对顶角这个概念是由两条相交线构成的,教学时为了使学生掌握其本质,我们可以给出下面图8中的四个图例,让学生辨别哪些角是对顶角,哪些不是对顶角.
2.5 联系现实生活,渗透空间意识
数学与生活密不可分,可以说数学中的许多知识点都有“生活”基础,因此人们常说数学来源于生活,又服务于生活. 在数学教学中,不仅要求选材必须密切联系学生的生活实际,而且要求数学教学必须从学生熟悉的生活情景和感兴趣的事物出发,为他们提供观察和操作的机会,使他们有更多的机会从周围熟悉的事物中学习数学和理解数学,体会到数学就在自己的身边,从而感受到数学的趣味和作用、数学与现实生活的联系,体验到数学的魅力,树立起“数学生活化”、“生活即数学”的观点. 我们在设计教学方案时就要时刻注意引导学生“面对实际问题时,能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略”的设计,努力做到把“数学问题生活化”.
案例6 镜面对称性质的探索.
为了让学生自己探索到镜面对称的性质,我们从生活实际出发选取了三个能启发学生思考的问题,作为学习新知识的情境:
(1)照镜子时,观察自己与自己的像的关系;
(2)从镜子里观察写在纸上的0,1,2,3,4,5,6,7,8,9等十个数字;
(3)从镜子里看一张扑克.
在观察的基础上思考:成镜面对称的物体和它在镜子里的像的大小、形状、位置的关系是怎样的?
2.6 重视视图知识的教学,突出几何体与视图之间的内在联系
有关视图的知识对于培养学生的空间观念是非常重要的,通过学习这方面的内容,要求同学们能由实物的形状想象出几何图形,由几何图形想象物的形状,进行几何体与其三视图、展开图之间的转化;能根据条件做出立体模型或画出图形等. 为此,教学中应要求学生做到以下两点:
第一,画几何体的三视图
在实际生产和生活中人们常用三视图来表达一个空间几何体. 三视图是指一个几何物体的主视图、左视图、俯视图. 主视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;左视图映了物体的上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度;俯视图反映了物体的左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度. 明确它们的特点对于形成学生的空间观念是非常有益的.
第二,注意几何体与三视图的关系及三视图之间的互化
几何体多为空间三维物体,三视图则是用不同方向观察到的平面图形来描述空间几何体的一种表现方法. 教学中要让学生做到能根据给定的三视图,确定出它们所对应的几何体,甚至继续解答关于这一几何体的问题;能根据给定某一几何体的三视图中的一个视图的特征,确定出另外的两个视图.
案例7 根据几何体的俯视图,判断它的左视图.
由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图如图9所示,其中正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数,那么,这个几何体的左视图是( ).
(3)各小组间交流、汇总.
经过全班合作,共同概括,最后发现:虽然添加辅助线的方法不同,但基本思路是一致的(即通过分割多边形,把多边形内角和的问题转化为三角形内角和的问题),无论按照哪种分割方法去计算,其结果都是一样的. 最后,学生经过思考、计算、交流、归纳,得到了结论:n边形的内角和等于(n-2)
1 空间观念及其构成
“空间观念”是几何课程改革的一个课程核心的概念,关于这个概念,说法并不一致. 事实上,空间观念是一个内涵被逐步完善的概念. 《标准》用描述性的语言指出了空间观念六个方面的表现:能由实物的形状想象出几何图形,由几何图形想象出实物的形状,进行几何体与其三视图、展开图之间的转化;能根据条件做出立体模型或画出图形;能从较复杂的图形中分解出基本的图形,并能分析其中的基本元素及其关系;能描述实物或几何图形的运动和变化;能采用适当的方式描述物体间的位置关系;能运用图形形象地描述问题,利用直观来进行思考.
可以看出空间观念的六个方面,都与学生对图形及其相互关系的感知,识别,判断,操作,表述,建构,想象,变换及其运用有关. 进一步分析便可发现,空间观念至少由以下几种基本能力组成:
1.1 图形的识别与理解能力
“能由实物的形状想象出几何图形,由几何图形想象出实物的形状,进行几何体与其三视图、展开图之间的转化”是空间观念最基本的表现,这是一个包括观察、相像、比较、综合、抽象分析,不断由低到高向前发展的认识客观事物的过程,是建立在对周围环境直接感知基础上的、对空间与平面相互关系的理解和把握的过程. 要做到这一点,学生必须具有较强的图形识别能力与理解能力,达到(1)正确识别有关的图形,理解这些图形的特征性质,根据图形特征把它与其它图形区别开来;(2)由实物的形状想象出相应的几何图形,反过来,能由几何图形想象出实物的形状. 这是空间观念的基础.
1.2 图形的分解与组合能力
把握实物与相应的平面图形,实现几何体的展开图与三视图之间的正确转化,既是一个思考过程,又是一个具体的实际操作过程,要实现这一转化,学生必须具有对图形进行科学观察、分析,分解和组合的能力,做到能从较复杂的图形中分解出较简单的图形,又能够把若干简单的图形组合为复杂的图形. 这种对给定图形进行分解与组合的能力是空间观念得以健康发展的基础.
1.3 对图形的运动与变换的欣赏能力
空间观念要求学生掌握“坐标和位置”的知识,即要求学生不仅能根据给定点的坐标准确描出它的位置,而且能根据已知点的位置写出该点的坐标. 事实上,只具备这样的能力还是远远不够的. 因为这只是静态的看问题,除此之外,我们还要求学生能对图形运动有一个深刻的认识,这种认识是逐步深化的,从对图形进行简单的对称、平移变换到熟练的旋转变换. 从而使学生具备“描述实物或几何图形的运动和变化”的能力. 这是他们空间观念逐步成熟的前提.
1.4 图形的建构与探索能力
中学生应该具有对图形阅读,探究与理解的能力. 包括能够读懂和画出草图,用尺规方法以及动态软件画出图形. 包括:平面图,简单立体图形的三视图,截面图,表面展开图等. 中学生应该掌握推理和证明的基本方法,能够根据图形的某些已知的性质探索推导出它的其他性质. 良好的图形建构与探索能力,是空间观念发展的标志.
1.5 利用几何直观解决问题能力
“能运用图形形象的描述问题,利用直观来进行思考”就是要求学生具有利用几何直观解决问题的能力. 几何直观是指利用图形描述几何或者其他数学问题、探索解决问题的思路、预测所得结果. 几何直观为利用图形的性质解决问题创造了有利条件. 运用几何直观的能力,是空间观念成熟的标志.
2 培养学生空间观念的基本途径
发展学生的空间观念,对于帮助他们理解,解释和欣赏我们现实的几何世界是十分重要的. 培养学生的空间观念,是中学数学课程的主要目标之一. 随着课程改革的深入发展,教师们也已经认识到培养学生空间观念的重要性,但在具体的教学实践中做的还不够. 我们认为,学生空间观念的形成与发展应该在他们对图形具有丰富的感性认识的基础上进行. 为了建立这种认识,要让学生从低年级开始,就通过多种途径感知与认识图形,模型与实物. 能观其外形,触其表面,读其名称,辨其特征,分拆重组,进行归纳分类等. 在实验与操作中,让学生有充足的时间,以便于建立起对有关几何图形形成的表象. 具体说来,常用的途径有以下几条:
2.1 通过观察,积累感性材料
几何概念是客观事物形体的本质特征的反映. 学习几何概念离不开对客观事物的感知. 初中学生正处在由具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段,他们对几何形体的认识还主要依赖于直觉观察. 因此在几何知识教学过程中,要培养学生按照一定的目的,有顺序、有重点地进行观察的能力. 为此,教师要引导学生先观察给定几何图形的整体,对整个几何体有个初步的,粗略的认识之后,再分离出组成它的各个部分,并对这些部分进行细致的观察,进而了解各部分之间的联系,最后把它综合为一个几何整体.
例如,在学习点、线、面、体等“空间与图形”领域中最基本的概念时,都可以引导学生观察给定的一些照片、实物、图形等. 同时,引导他们学会分析、比较,在反复细致观察的基础上,通过比较,找出事物的不同特征,逐步积累空间观念. 当然我们这里说的观察不是简单地看,而是在用眼观看的同时,大脑要进行积极的思维活动,让学生边看边想边说,把感知、思维和语言结合起来,让学生把看和思维的过程用口头语言表达清楚. 这样,才能把感知到的几何形体上升为表象.
2.2 加强实验操作,发展直观感知
《标准》强调改变学生的学习方式,指出“动手操作,自主探究,合作交流是学生学习数学的重要方式”. 在学习某些几何图形的有关知识时,可通过引导学生自己亲自操作、实验或通过现代教育技术手段演示及操作,从中领悟到这些知识的形成过程,这样既发展了学生的思维能力、理解能力、创造能力及直观能力,又能将新知识与已有知识有机的结合起来,还能增强学生学习的主动性,可谓“一举多得”.
案例1 通过画图澄清一个关于判定三角形全等的错误认识.
同学们学习了全等三角形的判定方法“角角边AAS”之后,很容易进行类比、猜想从而得到一个错误的方法,即所谓的“边边角”方法. 为了让学生从根本上认识到不存在“边边角”的方法的道理,可让学生进行下面的实验操作:
如图1,已知线段a=6cm,b=8cm和∠α=30°,让同学们在硬纸片上画△ABC,要求AB=8cm,AC=6cm,∠B=30°. 画好后剪下来与其他同学画的三角形进行比较,你能发现什么样结论?
同学们通过动手画图、剪拼,发现画出的两个三角形不能重合,这就是说已知两边和其中一边的对角画出的三角形不唯一. 如图2,在△ABC和△ABD中,已知AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但它们显然是不全等的. 这就直观的告诉我们,有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 从而否定了“边边角”方法的存在.
2.3 让学生在动的过程中,掌握图形的有关知识
《标准》要求数学教学必须彰显过程的价值,特别强调学生探索知识的经历和对获得新知识的体验. 它把数学课程目标划分为“知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度”四个维度. 目前教师都已经认识到“数学教学只注重知识的传授,忽视知识的发生过程,不讲背景和过程,把结论硬塞给学生”的弊端了,也都在强调数学教学的过程性特征,并在具体的教学实践中,能抓住一些典型的知识点进行展开,把数学教学作为一种培养人的活动,以过程的形式存在,并以过程的方式去展开. 这样的过程主要含有以下三个方面:
第一,把握几何知识的形成过程
“空间与图形”领域中的许多几何概念,如角、线段的垂直平分线、角的平分线、三角形、多边形和圆等都可以使用“发生定义”的定义方式来揭示其形成过程. 教学中,我们一定要引导学生经历它们的形成过程、抽象过程,从而把握其本质,初步形成几何建模的意识.
案例2 圆的定义的形成过程.
圆是生活中常见的几何图形,教学中,教师应利用实物或课件,演示圆的生成过程,在此基础上,从动和静两个方面来揭示圆的本质,从而形成圆的两种定义:
(1)“动”的形成过程:如图3,在平面内线段OA绕固定的端点O旋转一周,另一个端点A所描出的封闭曲线叫做圆. 圆的形成过程由“线段……旋转一周,另一个端点所描出”给出.
(2)“静”的形成过程:引导学生参与下面的一系列数学活动:
画一个半径为5 cm长的⊙O,在⊙O上取A、B两点,连结OA、OB.
①OA、OB的长分别等于多少?
②如果OC=5 cm,你知道点C的位置吗?
③如果OM=7 cm,ON=3 cm,你能说出M、N两点与圆的位置关系吗?
④想一想,平面上的点与圆有哪几种位置关系?
同学们相互交流之后,概括得到:
圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合.
(1)如图6,剪两个一样大的三角形硬纸片ABC,A′B′C′(三边都不相等的);
(2)用这两个三角形拼成四边形,观察所得到的四边形的特点,你能得到怎样的猜想?并相互交流自己的结论;
(3)证明所得到的猜想,将其归纳成一般结论.
由上面的操作过程,学生可以发现,在图7中,已知AB=CD,且BC=AD,要证明四边形ABCD是平行四边形,只需连接AC,并证明△ABC与△CDA全等即可. 这个证明思路的发现就是在拼接三角形纸片的过程中发现的.
2.4 在变式训练中,加深对几何知识的认识
学生对几何形体的学习,不能只停留在直观感知这个初级阶段,还应充分发挥表象的桥梁作用,使具体的感性认识逐渐过渡到抽象的理性认识. 学生形成表象的结果往往与教师出示的图形方式有很大关系. 如果教师只出示标准图形,很可能使学生把图形的本质特征与其个别属性联系起来产生扩大或缩小概念的外延或内涵的错误. 在一些几何概念教学中,为使学生巩固和加深对概念的认识,更好的把握概念的内涵和外延,既要利用标准图形,还要列举出该概念外延之内或之外的一些例子,让学生根据定义自己去识别、辨认、交流,通过这样的一些活动,达到加深对所学概念理解和掌握的目的.
案例5 巩固对顶角的概念.
对顶角这个概念是由两条相交线构成的,教学时为了使学生掌握其本质,我们可以给出下面图8中的四个图例,让学生辨别哪些角是对顶角,哪些不是对顶角.
2.5 联系现实生活,渗透空间意识
数学与生活密不可分,可以说数学中的许多知识点都有“生活”基础,因此人们常说数学来源于生活,又服务于生活. 在数学教学中,不仅要求选材必须密切联系学生的生活实际,而且要求数学教学必须从学生熟悉的生活情景和感兴趣的事物出发,为他们提供观察和操作的机会,使他们有更多的机会从周围熟悉的事物中学习数学和理解数学,体会到数学就在自己的身边,从而感受到数学的趣味和作用、数学与现实生活的联系,体验到数学的魅力,树立起“数学生活化”、“生活即数学”的观点. 我们在设计教学方案时就要时刻注意引导学生“面对实际问题时,能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略”的设计,努力做到把“数学问题生活化”.
案例6 镜面对称性质的探索.
为了让学生自己探索到镜面对称的性质,我们从生活实际出发选取了三个能启发学生思考的问题,作为学习新知识的情境:
(1)照镜子时,观察自己与自己的像的关系;
(2)从镜子里观察写在纸上的0,1,2,3,4,5,6,7,8,9等十个数字;
(3)从镜子里看一张扑克.
在观察的基础上思考:成镜面对称的物体和它在镜子里的像的大小、形状、位置的关系是怎样的?
2.6 重视视图知识的教学,突出几何体与视图之间的内在联系
有关视图的知识对于培养学生的空间观念是非常重要的,通过学习这方面的内容,要求同学们能由实物的形状想象出几何图形,由几何图形想象物的形状,进行几何体与其三视图、展开图之间的转化;能根据条件做出立体模型或画出图形等. 为此,教学中应要求学生做到以下两点:
第一,画几何体的三视图
在实际生产和生活中人们常用三视图来表达一个空间几何体. 三视图是指一个几何物体的主视图、左视图、俯视图. 主视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;左视图映了物体的上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度;俯视图反映了物体的左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度. 明确它们的特点对于形成学生的空间观念是非常有益的.
第二,注意几何体与三视图的关系及三视图之间的互化
几何体多为空间三维物体,三视图则是用不同方向观察到的平面图形来描述空间几何体的一种表现方法. 教学中要让学生做到能根据给定的三视图,确定出它们所对应的几何体,甚至继续解答关于这一几何体的问题;能根据给定某一几何体的三视图中的一个视图的特征,确定出另外的两个视图.
案例7 根据几何体的俯视图,判断它的左视图.
由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图如图9所示,其中正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数,那么,这个几何体的左视图是( ).
(3)各小组间交流、汇总.
经过全班合作,共同概括,最后发现:虽然添加辅助线的方法不同,但基本思路是一致的(即通过分割多边形,把多边形内角和的问题转化为三角形内角和的问题),无论按照哪种分割方法去计算,其结果都是一样的. 最后,学生经过思考、计算、交流、归纳,得到了结论:n边形的内角和等于(n-2)