惯性指数在矩阵论、控制论和图论中有着广泛的应用,图的化学指标在研究化合物的分子结构与物理、化学性质的关系时起着重要的作用。许多著名的专家学者都致力于这两方面的研究,而且取得了大量的研究成果。本文在前人的基础上继续对这两方面的极值问题进行研究。本文主要研究厄米特矩阵（包括四元数厄米特矩阵）、无向简单图的惯性指数以及无向简单图的离心距离和的极值问题。全文共分为三部分。第一部分研究了厄米特矩阵的惯性指数,这一部分共分为两章。研究内容包括：复厄米特舒尔补的最大、最小惯性指数,以及厄米特舒尔补的正定性的判定；四元数矩阵方程XA=B的双对称最小二乘解的最大、最小惯性指数,能够取到最大、最小惯性指数的解的表达式,以及矩阵方程的极大、极小双对称最小二乘解存在的判定条件。第二部分研究了图的惯性指数,这一部分共分为四章。研究内容包括：树的惯性指数的极值问题；符号单圈图的最小正惯性指数以及具有较小正惯性指数的符号单圈图的刻画；双圈图的最小正惯性指数以及具有较小正惯性指数的双圈图的刻画。第三部分研究了图的离心距离和,这一部分共分为五章。研究内容包括：图的Cartesian积和联图运算的离心距离和；离心距离和与图的结构参数的关系；树的最大、最小离心距离和以及极图的刻画；单圈图的最小、第二小的离心距离和以及极图的刻画。