科学计算特别是高性能、大规模科学计算越来越成为当今世界推动科学技术发展的强大动力，科学研究和工程实际中对求解问题规模的要求也不断扩大。在工程和科学计算中，许多大规模的，非常复杂的偏微分方程的数值求解，已经不能仅靠计算机硬件的发展，必须依靠高效率的计算方法来提高计算能力，而计算方法又是科学计算的核心，提高计算效率是数值计算的最终目的。 本文对工程和科学计算中经常出现的局部奇异问题提出了一种新的算法：基于FEPG的组合网格法CGM，并给出该方法在焊接数值模拟中的应用。 本文由两个部分构成，共分为五章：第一部分介绍了有限元的基本数学理论，组合网格法的算法格式等，是关于组合网格法的数学理论基础，包括第一、二两章。第二部分主要介绍了组合网格法在焊接数值模拟中的应用问题，由第三、四、五章构成。 第一章介绍有限元方法的数学理论基础，包括Sobolev空间理论、椭圆型方程边值问题以及解的存在唯一性。 第二章，对本文数值实验所采用的数值模拟软件FEPG(有限元程序自动生成系统)以及基于FEPG的有限元语言进行了简要的介绍，并且介绍了组合网格法的基本思想、算法细节、计算流程以及该方法的FEPG软件实现。 组合网格法采用两套网格求解，在整个求解区域采用较粗网格，并且不考虑奇异的影响，而在奇异附近区域采用较细的网格，考虑奇异影响。两套网格都在各自区域上单独剖分，互不影响，在细网格的边界上，引入插值矩阵D，使粗细两套有限元空间的基函数之间的能量积分变成为同一有限元空间的基函数之间的积分。整体粗网格求解和局部细网格求解反复迭代，求得最终结果。CGM适应于非规则网格，粗细网格皆可独立生成，彼此互不制约。 组合网格法的设计是以FEPG的基本框架为基础的。根据组合网格法地算法设计和FEPG的框架，组合网格法系统主要分为如下几个部分： 前处理；单元子程序；总刚和荷载计算；粗细网迭代求解；后处理及显示。 其算法格式如下： 步1：(初始化)置u0c=0，u0c=0，n=0； 步2：计算vn+1∈SH，满足： 第三章给出组合网格法在激光焊接数值模拟中应用的算例。 所取焊件具有轴对称性，焊点作用在对称轴上。由对称性，只需取焊件的一半截面进行数值模拟，采用轴对称柱坐标-2drz。对此进行规则网格剖分，控制方程为： 在求解Navier-Stokes方程组时，采用算子分裂法(operator splitting method，OSM)将Navier-Stokes方程组描述的物理过程分成扩散过程、压力投影项、对流过程三个部分以降低计算过程中的复杂性。 这里ρ为材料密度，c为比热容，k为热传导系数，T为温度，t为时间，x为笛卡儿坐标系中的位置向量，u=u(x，t)为速度向量，P=p(x，t)为流体压力，q为热源，u为粘性系数，f为外力，cs为热流分布集中系数，cs=3/R20，R0为热源开口半径，H为热源熔池深度，Q为热源功率。 第四章中对搅拌摩擦焊接进行数值模拟，这是一种与激光焊接不同的焊接方式，可以在无需达到熔点的情况下将金属薄片连接在一起。取焊件的尺寸为200×150×3mm，焊头的转速为160.tev/min，焊头的移动速度为30.mm/min。 热源处理上把由柱形肩具摩擦所产生的热部分作为面热源Q，由搅拌探针摩擦所产生的热部分作为体热源Q1： 其中ρ为焊件的材料密度，c为比热容，入为热传导系数，hc为温度T的方程，η=0.97，ω为焊头的转速，R为点到柱形肩具中心的距离，f=ψs(T)为温度的函数，k为比例系数。 第五章，结论与展望。