粘性不可压缩流体动力学的数学理论自从J.Leray[5]在1934年的开创性工作以来,引起了许多数学家和物理学家的关注.对于一些粘性流体,诸如像空气或其它气体,水,酒精和一些简单的碳氢化合物等,物理试验表明这类流体的运动可以用Stokes定律来描述,也就是说,粘性应力张量τ<υ>线性依赖于速度变形张量e(u),描述这类流体运动的方程就称为Navier-Stokes方程.然而有许多流体,例如油漆,橡胶,聚合物溶液以及一些生物流体如血液等等,物理试验表明这类流体的运动不满足Stokes定律,即其本构关系是非线性的,这类其运动不满足Stokes定律的流体就称之为非牛顿流体,而且如果粘性应力张量依赖于速度场的一阶(或二阶)导数,则相应的非牛顿流体称为单极(或双极)流体.关于粘性不可压缩流体的数学理论,有大量的文献来研究其适定性和长时间性态[1]-[71].最近,Necǎsová等[69]利用Fourier分解方法研究了单极非牛顿流体弱解的L<2>衰减性,然而由于没有精确估计高粘性项▽·(|e(u)|e(u)),他们只得到了当初速度u<,0>∈L<2>∩ L<1>时,弱解u(x,t)在L<2>范数下衰减率分别为ln<-m>(1+t)(二维情形)和(1+t)<-1/4>(三维情形).关于双极非牛顿流体,Guo和Zhu[71]利用Fourier分解方法也讨论了弱解的L<2>衰减,由于他们没有考虑到低耗散项△u的影响,因此弱解在L<2>范数下的衰减率只能达到(1+t)<-n/4(1/r-1/2)>.本文也是讨论关于单极流体和双极流体弱解的时间衰减性.我们首先利用Stokes算子的谱理论来讨论单极流体的衰减率.由于Stokes算子在L

(R)(1-L衰减估计,得到了当初速度u0∈L<2>时,‖u(t)‖<2> → 0(t→∞);当u<,0>∈L<2>∩L(1≤r<2)时,‖u(t)‖<2>≤Ct<-n/2(1/r-1/2)>,而且衰减率达到与线性热方程一致.关于双极流体,我们通过进一步改进Fourier分解方法,得到了当初速度u<,0>∈L<2>∩ L<1>时,弱解u(x,t)在L<2>范数下衰减率为(1+t)<-n/4>,达到与线性热方程一致.