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摘 要：善于分析和解答数学问题是学生有效掌握数学知识的主要体现。但在实际解题中，有的学生不认真读题，忽略题目中的隐含条件，找不到题目中的关键解题信息。文章以数学解题教学为研究对象，探讨、分析隐含条件的含义、价值以及如何在数学解题中有效挖掘隐含条件，以引导学生正确解答数学题目。
关键词：初中数学;解题;隐含条件;信息;含义;价值;策略
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2021）20-0090-02
有效挖掘数学题目中的隐含条件有利于学生正确、高效解题。但是，隐藏在数学题目背后的条件不易被学生发现、利用。尤其是比较粗心、不爱审题的学生更容易忽略题目中的隐含条件，从而影响到解题效果。因此，在数学解题教学中，教师有必要指导学生掌握挖掘题目中隐含条件的方法，让学生从题目中挖掘到有用的隐含条件，从而正确、高效解题。
一、隐含条件的含义
隐含条件是指隐藏在题目背后的条件。题目不会直接给出隐含条件，需要学生从题干或已知信息中分析、推理、转换，让其变得清晰、可用，从而为解题提供有效帮助。
二、隐含条件的价值
解答数学问题单靠题目中的显性条件是不够的，尤其是一些复杂的数学题目，不仅需要学生分析题目中的显性条件，还需要学生对题目中存在的关键词、涉及的公式进行重点分析。这样才能将题目中的各种信息挖掘出来，并运用于问题的解答中。另外，挖掘题目中隐含条件的过程也是锻炼学生思维能力的过程，可以让学生积累分析、理解、构建关系的方法和经验。这有利于提升学生的学习能力，促使学生多角度思考问题。
三、数学解题教学中隐含条件的有效挖掘策略
1.从数学题目涉及的概念中挖掘隐含条件
不同的数学题目涉及的数学概念不同，而这些数学概念经常隐藏可用的解题条件。因此，在数学解题教学中，教师可以从数学题目涉及的概念着手，引导学生利用其中的概念信息挖掘隐含条件。当学生得到隐含条件之后，就可以综合运用各种显性和隐性的条件，解答数学问题。
以下面這道数学三角形证明题为例。在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D，求证：AB BD=AC。
分析：这道题有∠B=2∠C、∠BAC的平分线交BC于点D等已知条件。但是学生仅依靠这些已知条件不能求证AB BD=AC，需要从题目的已知条件分析涉及哪些重要的数学概念和定理，然后基于数学概念寻找题目中的隐含条件。根据题目已知条件，学生可知这道题目涉及等腰三角形、三角形外角的有关概念及性质，这样就可以将题目中的∠B=2∠C、∠BAC的平分线交BC于点D等信息联系在一起，做辅助线，延长CB到点F，并将点A和点F连接起来，形成另外一个△ABF，然后利用这个新构建的三角形寻找隐含条件。
解析：根据已知△ABC，延长CB到点F，使BF=AB，连接AF，形成一个等腰三角形。根据等腰三角形的概念及性质，可以得到∠F=∠FAB，而根据三角形外角的性质，可得出∠ABD=∠FAB ∠F的隐含条件。所以，结合隐含条件，得∠ABD=2∠FAB=2∠F，而已知∠B=2∠C，得∠C=∠FAB=∠F。根据等腰三角形的性质，得出△AFC是一个等腰三角形，即AF=AC，由此推导出△FAD也是等腰三角形，继而得出AF=DF=DB BF=DB AB，最后得出AB BD=AC。
反思：在解答类似题目时，教师可引导学生从题目已知条件出发，分析题目涉及的具体数学概念、性质以及定理，就如该道题目涉及等腰三角形、三角形外角性质，由此让学生推导出角相等、边相等等隐含条件，然后再对问题进行有效解答。
2.从数学题目中的字母、关系式挖掘隐含条件
一般的数学题目都含有字母、变量或关系式，而这些信息并非独立存在的，经常与题目中的隐含条件有密切联系。例如，在解答数学求值问题时，教师可以引导学生从题目中的字母、变量或关系式入手，寻找隐含在数学题目中的条件，从而借助隐含条件来解答问题。因此，在解答数学问题时，教师可以先让学生自行审题，掌握题目中存在的字母、变量以及关系式等信息，并分析这些已知信息的特定含义，由此突破题目的显性条件限制，寻找题目的隐含条件，然后再结合显性与隐性条件，对问题展开分析、探究。
以下面这道数学问题为例。实数x、y、z满足x y z=5， xy yz zx=3，那么z的最大值为多少？
分析：对于这道数学问题，学生必须学会运用题目中的字母、关系式等已知信息条件，挖掘隐含条件。例如，根据x y z=5， xy yz zx=3，得到y=5-x-z，而将这个等式代入xy yz zx=3，得到x2 （z-5）x （z2-5z 3）=0。从这个关系式中，可以得到一个以x为主元的一元二次方程隐含条件。依靠这个隐含条件信息，学生可以继续判断、分析、转化这个新的一元二次方程，以求出z的最大值。
解析：由x y z=5，得y=5-x-z，代入xy yz zx=3，消去y，得x2 （z-5）x （z2-5z 3）=0。根据题目已知条件，x是实数，则一元二次方程x2 （z-5））x （z2-5z 3）=0的根的判别式Δ≥0，得（z-5）2 4（z2-5z 3）≥0，则≤z≤，所以z的最大值是。
反思：在解题过程中，如果学生没有仔细从字母、变量以及关系式中寻找隐藏条件，就无法正确、顺利解答此题。因此，学生要注意题目条件中的字母、变量、关系式等信息，并根据这些信息创建新的联系，由此寻找到隐含条件。
3.从数学题目中的生活生产实际问题挖掘隐含条件
对于涉及实际生活生产的数学问题，教师可以引导学生讨论其中变量的运用范围、变量间满足的关系，以此挖掘题目中的隐含条件。要给学生预留一定时间，让学生将题目中的变量勾画出来，并重点标注题目中的数字信息、文字信息等，方便分析问题时快速寻找到可用的信息。 以下面這道数学生活生产实际问题为例。某初中年级共有甲、乙、丙三个班级。其中，甲班比乙班多4个女生，乙班比丙班多1个女生。如果将甲班的第一组调到乙班，乙班的第一组调到丙班，丙班的第一、二组调到甲班，则三个班的女学生人数恰好相等。已知丙班第一组有2个女生，请问甲、乙两班第一组各有几个女生？
分析：在解答这道数学问题时，如果学生只用题目中的条件列方程求解，会遇到许多障碍。如果从丙班女学生人数比甲班、乙班的女生人数分别少5个和1个的隐含条件着手，就可以构建出等量关系，并顺利解答问题。
解析：以丙班女学生人数n作为参数，可以得到如下方程：（n 5）-x 2=（n 1）-y x=n-2 y，解得 x=5，y=4。
反思：当从题目的已知条件很难找到解题路径时，教师可以引导学生尝试从题目的隐含条件入手，重新构建一个新的联系，进而快速解答问题。如上述问题存在丙班女学生人数比甲班、乙班的女生人数分别少5个和1个的隐含条件，这些都是解答该道问题的重要条件和线索。
四、结语
综上所述，在数学解题教学中，引导学生挖掘数学题目中的隐含条件非常有必要，学生只有掌握大量的信息条件，才能顺利解答问题。因此，教师可以结合实际的数学问题，引导学生从数学题目的概念、性质、字母、关系式以及生活生产角度，寻找隐含条件，促使学生正确地解答数学问题。
参考文献：
[2]吴小兵.初中数学解题教学中隐含条件的观察与挖掘[J].理科考试研究，2014（02）.
[2]陈文榜.初中数学解题教学中隐含条件的应用[J].数学大世界，2020（01）.
[3]黄宗亮.有关初中数学解题中隐含条件的分析和实践应用研究[J].理科考试研究，2015（04）.
[4]张爱群.初中数学解题中隐含条件的挖掘策略[J].数理化学习，2018（12）.
Exploration of Effective Implicit Conditions in Mathematics Problem Solving Teaching
Qiu Ronghua
（No.2 Middle School， Hetian Town， Changting County， Fujian Province， Changting 366301， China）
Abstract： Being good at analyzing and solving mathematical problems is the main embodiment of students’ effective mastery of mathematical knowledge. But in the actual problem-solving， some students do not read the questions carefully， ignore the implied conditions in the questions， and can not find the key problem-solving information in the questions. This paper takes the teaching of mathematical problem-solving as the research object， discusses and analyzes the meaning and value of implicit conditions， and effectively mine the implicit conditions in mathematical problem-solving， so as to guide students to correctly solve mathematical problems.
Key words： junior middle school mathematics; solving problems; implicit conditions;
关键词：初中数学;解题;隐含条件;信息;含义;价值;策略
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2021）20-0090-02
有效挖掘数学题目中的隐含条件有利于学生正确、高效解题。但是，隐藏在数学题目背后的条件不易被学生发现、利用。尤其是比较粗心、不爱审题的学生更容易忽略题目中的隐含条件，从而影响到解题效果。因此，在数学解题教学中，教师有必要指导学生掌握挖掘题目中隐含条件的方法，让学生从题目中挖掘到有用的隐含条件，从而正确、高效解题。
一、隐含条件的含义
隐含条件是指隐藏在题目背后的条件。题目不会直接给出隐含条件，需要学生从题干或已知信息中分析、推理、转换，让其变得清晰、可用，从而为解题提供有效帮助。
二、隐含条件的价值
解答数学问题单靠题目中的显性条件是不够的，尤其是一些复杂的数学题目，不仅需要学生分析题目中的显性条件，还需要学生对题目中存在的关键词、涉及的公式进行重点分析。这样才能将题目中的各种信息挖掘出来，并运用于问题的解答中。另外，挖掘题目中隐含条件的过程也是锻炼学生思维能力的过程，可以让学生积累分析、理解、构建关系的方法和经验。这有利于提升学生的学习能力，促使学生多角度思考问题。
三、数学解题教学中隐含条件的有效挖掘策略
1.从数学题目涉及的概念中挖掘隐含条件
不同的数学题目涉及的数学概念不同，而这些数学概念经常隐藏可用的解题条件。因此，在数学解题教学中，教师可以从数学题目涉及的概念着手，引导学生利用其中的概念信息挖掘隐含条件。当学生得到隐含条件之后，就可以综合运用各种显性和隐性的条件，解答数学问题。
以下面這道数学三角形证明题为例。在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D，求证：AB BD=AC。
分析：这道题有∠B=2∠C、∠BAC的平分线交BC于点D等已知条件。但是学生仅依靠这些已知条件不能求证AB BD=AC，需要从题目的已知条件分析涉及哪些重要的数学概念和定理，然后基于数学概念寻找题目中的隐含条件。根据题目已知条件，学生可知这道题目涉及等腰三角形、三角形外角的有关概念及性质，这样就可以将题目中的∠B=2∠C、∠BAC的平分线交BC于点D等信息联系在一起，做辅助线，延长CB到点F，并将点A和点F连接起来，形成另外一个△ABF，然后利用这个新构建的三角形寻找隐含条件。
解析：根据已知△ABC，延长CB到点F，使BF=AB，连接AF，形成一个等腰三角形。根据等腰三角形的概念及性质，可以得到∠F=∠FAB，而根据三角形外角的性质，可得出∠ABD=∠FAB ∠F的隐含条件。所以，结合隐含条件，得∠ABD=2∠FAB=2∠F，而已知∠B=2∠C，得∠C=∠FAB=∠F。根据等腰三角形的性质，得出△AFC是一个等腰三角形，即AF=AC，由此推导出△FAD也是等腰三角形，继而得出AF=DF=DB BF=DB AB，最后得出AB BD=AC。
反思：在解答类似题目时，教师可引导学生从题目已知条件出发，分析题目涉及的具体数学概念、性质以及定理，就如该道题目涉及等腰三角形、三角形外角性质，由此让学生推导出角相等、边相等等隐含条件，然后再对问题进行有效解答。
2.从数学题目中的字母、关系式挖掘隐含条件
一般的数学题目都含有字母、变量或关系式，而这些信息并非独立存在的，经常与题目中的隐含条件有密切联系。例如，在解答数学求值问题时，教师可以引导学生从题目中的字母、变量或关系式入手，寻找隐含在数学题目中的条件，从而借助隐含条件来解答问题。因此，在解答数学问题时，教师可以先让学生自行审题，掌握题目中存在的字母、变量以及关系式等信息，并分析这些已知信息的特定含义，由此突破题目的显性条件限制，寻找题目的隐含条件，然后再结合显性与隐性条件，对问题展开分析、探究。
以下面这道数学问题为例。实数x、y、z满足x y z=5， xy yz zx=3，那么z的最大值为多少？
分析：对于这道数学问题，学生必须学会运用题目中的字母、关系式等已知信息条件，挖掘隐含条件。例如，根据x y z=5， xy yz zx=3，得到y=5-x-z，而将这个等式代入xy yz zx=3，得到x2 （z-5）x （z2-5z 3）=0。从这个关系式中，可以得到一个以x为主元的一元二次方程隐含条件。依靠这个隐含条件信息，学生可以继续判断、分析、转化这个新的一元二次方程，以求出z的最大值。
解析：由x y z=5，得y=5-x-z，代入xy yz zx=3，消去y，得x2 （z-5）x （z2-5z 3）=0。根据题目已知条件，x是实数，则一元二次方程x2 （z-5））x （z2-5z 3）=0的根的判别式Δ≥0，得（z-5）2 4（z2-5z 3）≥0，则≤z≤，所以z的最大值是。
反思：在解题过程中，如果学生没有仔细从字母、变量以及关系式中寻找隐藏条件，就无法正确、顺利解答此题。因此，学生要注意题目条件中的字母、变量、关系式等信息，并根据这些信息创建新的联系，由此寻找到隐含条件。
3.从数学题目中的生活生产实际问题挖掘隐含条件
对于涉及实际生活生产的数学问题，教师可以引导学生讨论其中变量的运用范围、变量间满足的关系，以此挖掘题目中的隐含条件。要给学生预留一定时间，让学生将题目中的变量勾画出来，并重点标注题目中的数字信息、文字信息等，方便分析问题时快速寻找到可用的信息。 以下面這道数学生活生产实际问题为例。某初中年级共有甲、乙、丙三个班级。其中，甲班比乙班多4个女生，乙班比丙班多1个女生。如果将甲班的第一组调到乙班，乙班的第一组调到丙班，丙班的第一、二组调到甲班，则三个班的女学生人数恰好相等。已知丙班第一组有2个女生，请问甲、乙两班第一组各有几个女生？
分析：在解答这道数学问题时，如果学生只用题目中的条件列方程求解，会遇到许多障碍。如果从丙班女学生人数比甲班、乙班的女生人数分别少5个和1个的隐含条件着手，就可以构建出等量关系，并顺利解答问题。
解析：以丙班女学生人数n作为参数，可以得到如下方程：（n 5）-x 2=（n 1）-y x=n-2 y，解得 x=5，y=4。
反思：当从题目的已知条件很难找到解题路径时，教师可以引导学生尝试从题目的隐含条件入手，重新构建一个新的联系，进而快速解答问题。如上述问题存在丙班女学生人数比甲班、乙班的女生人数分别少5个和1个的隐含条件，这些都是解答该道问题的重要条件和线索。
四、结语
综上所述，在数学解题教学中，引导学生挖掘数学题目中的隐含条件非常有必要，学生只有掌握大量的信息条件，才能顺利解答问题。因此，教师可以结合实际的数学问题，引导学生从数学题目的概念、性质、字母、关系式以及生活生产角度，寻找隐含条件，促使学生正确地解答数学问题。
参考文献：
[2]吴小兵.初中数学解题教学中隐含条件的观察与挖掘[J].理科考试研究，2014（02）.
[2]陈文榜.初中数学解题教学中隐含条件的应用[J].数学大世界，2020（01）.
[3]黄宗亮.有关初中数学解题中隐含条件的分析和实践应用研究[J].理科考试研究，2015（04）.
[4]张爱群.初中数学解题中隐含条件的挖掘策略[J].数理化学习，2018（12）.
Exploration of Effective Implicit Conditions in Mathematics Problem Solving Teaching
Qiu Ronghua
（No.2 Middle School， Hetian Town， Changting County， Fujian Province， Changting 366301， China）
Abstract： Being good at analyzing and solving mathematical problems is the main embodiment of students’ effective mastery of mathematical knowledge. But in the actual problem-solving， some students do not read the questions carefully， ignore the implied conditions in the questions， and can not find the key problem-solving information in the questions. This paper takes the teaching of mathematical problem-solving as the research object， discusses and analyzes the meaning and value of implicit conditions， and effectively mine the implicit conditions in mathematical problem-solving， so as to guide students to correctly solve mathematical problems.
Key words： junior middle school mathematics; solving problems; implicit conditions;