论文部分内容阅读
俗话说的好“耳听为虚，眼见为实”，事实上，我们观察的到的都是正确的吗？〖BP)〗怎样才能说明我们观测、度量、猜测的结论都是正确的呢？那就是需要严格的证明，从这一章开始我们初步接触到证明，其主要内容包括证明的基础知识、平行线的有关证明、与三角形内、外角和有关的证明等知识.在复习《证明（一）》时，要切实弄懂证明的要求和格式，树立起步步有理、时时有据的推理意识，发展推理论证的能力.
一、知识点集中营
（一） 定义与命题
1.定义：对术语和名称的 加以描述，作出明确的规定，就是给出它们的定义.
2.命题： 的句子叫做命题，每个命题都是由 和 两部分组成， 是已知的事项， 是由已知事项推断出的事项.命题一般写成“如果……，那么……”的形式.其中如果部分引出的是 ，那么部分引出的是
.
3 真命题、假命题、反例
正确的命题称为 ，不正确的命题称为 ；要说明一个命题是假命题，通常举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这个例子称为
.
4.公理、定理、证明
人们公认的真命题称为 ，经过证明了的真命题称为 ，推理的过程称为 .
（二） 平行线的判定和性质
1.平行线的判定公理： 相等，两直线平行.
2.平行线的判定定理： 相等，两直线平行； 互补，两直线平行.
3.平行线的性质公理：两直线平行， 相等.
4.平行线的性质定理：两直线平行， 相等；两直线平行， 互补.
（三） 三角形内角和定理
1.三角形的内角和为 ，证明三角形的内角和时，我们将三个内角“凑”在一起，拼与一个平角，在这个过程中使用了 思想.
2.在证明过程中，我们添加的线称为辅助线，通常我们把辅助线画成 .
（四） 关注三角形的外角
三角形的外角定理是内角和定理的两个重要推论：
1.三角形的一个外角等于 .
2.三角形的一个外角等于 .
二、典例分析
例1 判断下列语句是不是命题，如果是命题，是真命题还是假命题？
（1）两点之间，线段最短；（2）做直线AB⊥CD；（3）你今天吃早饭了吗？（4）三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；（5）同旁内角相等，两直线平行.
解析 ：判断一个句子是不是命题，主要把握两点：（1）命题必须是一个完整的语句，（2）必须对一件事情做出判断.由此可以看出，（2）（3）不是命题，（1）（4）（5）是命题.对命题的真假的判断，要把握推理的过程，把握不好的，要学会举反例，其中（1）（4）为真命题，因为同旁内角互补时，两直线是平行的，所以（5）为假命题.
点评 ：在命题的判断过程中不要把它与命题的真假混淆，一句话对一件事情的判断无论对错，都是命题，如“一星期有8天”这是一个命题，只不过是一个假命题.
例2 指出下列命题的题设和结论： (1)若a∥b，b∥c，则a∥c. (2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.(3)同一个角的补角相等.
解析 ：找命题的题设和结论关键在于命题的形式，对于不是“如果……，那么……”的形式的命题首先要改成这种形式.（1）题设：a∥b，b∥c，结论：a∥c.（2）题设：有两个角相等，结论：这两个角相等；（3）题设：有两个角是同一个角的补角，结论：这两个角相等.
点评 ：找命题的题设和结论的前提是把命题改写“如果……，那么……”的形式，同时还有语言上的变化，使得前后畅通.
例3 如图1，BE∥DF，∠B =∠D，求证：AD∥BC.
解析 ：因为BE∥DF，所以∠B +∠BCD=180°,又因为∠B =∠D，所以
∠D+∠BCD=180°,所以AD∥BC.
点评 ：要证明两直线平行，就应该利用题中已有的条件，虽然条件中有∠B =∠D ，但是不难发现它们并不是内错角或同位角，所以应该想办法转移到要证的两直线上去，所以可以利用等量代换和已有的平行来进行证明.
例4 已知：如图2，AD∥BC，∠B=∠D.求证:AB∥CD.
解析 ：因为AD∥BC，所以∠B+∠BAD=180°,又因为
∠B=∠D，所以∠D+∠BAD=180°，所以AB∥CD.
点评： 此题是一个性质与特征综合应用的题目，在解题过程中要注意判定与性质的区别：由“平行得到角相等或互补是性质，由角相等或互补得到直线平行是判定”，只要分清这一点，此类问题便可迎刃而解.
例5 如图3，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝
．
解析 ：因为此题中形成的四边形在三角形中，所以不能离开三角形的内角和或外角定理，因为已知∠A＝40°，所以可以外角定理将∠1＋∠2进行转化，因为∠1=∠A＋∠ADE,∠2=∠A+∠AED,所以∠1＋∠2=∠ADE＋∠AED+∠A＋∠A=180°+40°=220°.
点评 ：因为在剪去∠A时存在不确定性，所以∠1、∠2的度数也是不确定的，也就是我们应该从整体上去把握它，所以可以把它转化为三角形的内角和和∠A的和.
例6 已知，E是△ABC中∠C的外角的平分线与BA的延长线的交点，求证：∠BAC＞∠B.
分析 ：由于∠BAC、∠B均在⊿ABC的内部，所以直接证明是有很大的困难的，因此证明角的不等关系，常用外角定理.证明时首先看大角是哪个三角形的外角，小角是哪个三角形的内角，有时，还需要中间量来过渡证明.本题中大角∠BAC是
△ACE的外角，∠BAC＞∠1，而∠1=∠2，所以只需要证明∠2＞∠B.而∠2为⊿ABE的外角，所以∠2＞∠B，故∠BAC＞∠B.
证明 ：因为∠BAC是△ACE的外角，所以∠BAC＞∠1；因为CE是角平分线，所以∠1=∠2；又因为∠2是△BCE的外角，所以∠2＞∠B，所以∠BAC＞∠B.
点评 ：证明角的不等关系，往往不能直接证明，所以借助外角就成了解决问题的法宝.
练习：
1.下列语句是命题的是（ ）
(A) 你带作业了吗
(B)过直线外一点作直线的平行线
(C)内错角相等 (D)红扑扑的脸蛋儿
2.下列命题中真命题有（）个
（1）两个钝角三角形一定相似；（2）所有的定理都是命题；（3）所有的命题都是定理 ；（4）公理不一定都是真命题.
(A)1(B) 2(C)3(D) 4
3.两条直线被第三条直线所截，则有（ ）
(A) 同位角相等 (B) 内错角相等
(C) 同旁内角互补 (D) 以上结论都不对
4.在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点O，若∠A=60°，则∠BOC= ,由此得到∠BOC和∠A的关系是 .
5.如图5，AB∥CD，∠1 = 100°，∠2 = 120°，则 ∠α= .
6.如图6,AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=26°,求 1 2 ∠C.
答案 ：
1.(C) 2.(A) 3.(D) 4. 120°，90°+ 1 2
∠C 5. 40°
6. 因为AE∥BD.
所以∠1=∠3,
因为∠3=∠2+∠C,
所以∠C=∠3－∠2,
因为∠3=∠1=3∠2,
所以∠C=3∠2－∠2=2∠2,
所以 1 2 ∠C=∠2=26°.
一、知识点集中营
（一） 定义与命题
1.定义：对术语和名称的 加以描述，作出明确的规定，就是给出它们的定义.
2.命题： 的句子叫做命题，每个命题都是由 和 两部分组成， 是已知的事项， 是由已知事项推断出的事项.命题一般写成“如果……，那么……”的形式.其中如果部分引出的是 ，那么部分引出的是
.
3 真命题、假命题、反例
正确的命题称为 ，不正确的命题称为 ；要说明一个命题是假命题，通常举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这个例子称为
.
4.公理、定理、证明
人们公认的真命题称为 ，经过证明了的真命题称为 ，推理的过程称为 .
（二） 平行线的判定和性质
1.平行线的判定公理： 相等，两直线平行.
2.平行线的判定定理： 相等，两直线平行； 互补，两直线平行.
3.平行线的性质公理：两直线平行， 相等.
4.平行线的性质定理：两直线平行， 相等；两直线平行， 互补.
（三） 三角形内角和定理
1.三角形的内角和为 ，证明三角形的内角和时，我们将三个内角“凑”在一起，拼与一个平角，在这个过程中使用了 思想.
2.在证明过程中，我们添加的线称为辅助线，通常我们把辅助线画成 .
（四） 关注三角形的外角
三角形的外角定理是内角和定理的两个重要推论：
1.三角形的一个外角等于 .
2.三角形的一个外角等于 .
二、典例分析
例1 判断下列语句是不是命题，如果是命题，是真命题还是假命题？
（1）两点之间，线段最短；（2）做直线AB⊥CD；（3）你今天吃早饭了吗？（4）三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；（5）同旁内角相等，两直线平行.
解析 ：判断一个句子是不是命题，主要把握两点：（1）命题必须是一个完整的语句，（2）必须对一件事情做出判断.由此可以看出，（2）（3）不是命题，（1）（4）（5）是命题.对命题的真假的判断，要把握推理的过程，把握不好的，要学会举反例，其中（1）（4）为真命题，因为同旁内角互补时，两直线是平行的，所以（5）为假命题.
点评 ：在命题的判断过程中不要把它与命题的真假混淆，一句话对一件事情的判断无论对错，都是命题，如“一星期有8天”这是一个命题，只不过是一个假命题.
例2 指出下列命题的题设和结论： (1)若a∥b，b∥c，则a∥c. (2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.(3)同一个角的补角相等.
解析 ：找命题的题设和结论关键在于命题的形式，对于不是“如果……，那么……”的形式的命题首先要改成这种形式.（1）题设：a∥b，b∥c，结论：a∥c.（2）题设：有两个角相等，结论：这两个角相等；（3）题设：有两个角是同一个角的补角，结论：这两个角相等.
点评 ：找命题的题设和结论的前提是把命题改写“如果……，那么……”的形式，同时还有语言上的变化，使得前后畅通.
例3 如图1，BE∥DF，∠B =∠D，求证：AD∥BC.
解析 ：因为BE∥DF，所以∠B +∠BCD=180°,又因为∠B =∠D，所以
∠D+∠BCD=180°,所以AD∥BC.
点评 ：要证明两直线平行，就应该利用题中已有的条件，虽然条件中有∠B =∠D ，但是不难发现它们并不是内错角或同位角，所以应该想办法转移到要证的两直线上去，所以可以利用等量代换和已有的平行来进行证明.
例4 已知：如图2，AD∥BC，∠B=∠D.求证:AB∥CD.
解析 ：因为AD∥BC，所以∠B+∠BAD=180°,又因为
∠B=∠D，所以∠D+∠BAD=180°，所以AB∥CD.
点评： 此题是一个性质与特征综合应用的题目，在解题过程中要注意判定与性质的区别：由“平行得到角相等或互补是性质，由角相等或互补得到直线平行是判定”，只要分清这一点，此类问题便可迎刃而解.
例5 如图3，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝
．
解析 ：因为此题中形成的四边形在三角形中，所以不能离开三角形的内角和或外角定理，因为已知∠A＝40°，所以可以外角定理将∠1＋∠2进行转化，因为∠1=∠A＋∠ADE,∠2=∠A+∠AED,所以∠1＋∠2=∠ADE＋∠AED+∠A＋∠A=180°+40°=220°.
点评 ：因为在剪去∠A时存在不确定性，所以∠1、∠2的度数也是不确定的，也就是我们应该从整体上去把握它，所以可以把它转化为三角形的内角和和∠A的和.
例6 已知，E是△ABC中∠C的外角的平分线与BA的延长线的交点，求证：∠BAC＞∠B.
分析 ：由于∠BAC、∠B均在⊿ABC的内部，所以直接证明是有很大的困难的，因此证明角的不等关系，常用外角定理.证明时首先看大角是哪个三角形的外角，小角是哪个三角形的内角，有时，还需要中间量来过渡证明.本题中大角∠BAC是
△ACE的外角，∠BAC＞∠1，而∠1=∠2，所以只需要证明∠2＞∠B.而∠2为⊿ABE的外角，所以∠2＞∠B，故∠BAC＞∠B.
证明 ：因为∠BAC是△ACE的外角，所以∠BAC＞∠1；因为CE是角平分线，所以∠1=∠2；又因为∠2是△BCE的外角，所以∠2＞∠B，所以∠BAC＞∠B.
点评 ：证明角的不等关系，往往不能直接证明，所以借助外角就成了解决问题的法宝.
练习：
1.下列语句是命题的是（ ）
(A) 你带作业了吗
(B)过直线外一点作直线的平行线
(C)内错角相等 (D)红扑扑的脸蛋儿
2.下列命题中真命题有（）个
（1）两个钝角三角形一定相似；（2）所有的定理都是命题；（3）所有的命题都是定理 ；（4）公理不一定都是真命题.
(A)1(B) 2(C)3(D) 4
3.两条直线被第三条直线所截，则有（ ）
(A) 同位角相等 (B) 内错角相等
(C) 同旁内角互补 (D) 以上结论都不对
4.在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点O，若∠A=60°，则∠BOC= ,由此得到∠BOC和∠A的关系是 .
5.如图5，AB∥CD，∠1 = 100°，∠2 = 120°，则 ∠α= .
6.如图6,AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=26°,求 1 2 ∠C.
答案 ：
1.(C) 2.(A) 3.(D) 4. 120°，90°+ 1 2
∠C 5. 40°
6. 因为AE∥BD.
所以∠1=∠3,
因为∠3=∠2+∠C,
所以∠C=∠3－∠2,
因为∠3=∠1=3∠2,
所以∠C=3∠2－∠2=2∠2,
所以 1 2 ∠C=∠2=26°.