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【摘要】 物理经验公式描述了有关物理现象的规律，通过实验可总结出经验公式，即找到描述这些现象的诸物理量之间的数量关系。根据测量数据，拟舍经验公式可用作图法、逐差法、平均法、回归法，还可用量纲分析方法建立公式。
【关键词】 经验公式；方法
Lessons learned formula method
Yang Ping
【Abstract】 Physics empirical formula described the related physical phenomenon rule, may summarize the empirical formula through the experiment, namely found describes between these phenomenon various physical quantity stoichiometric relation. According to the metrical data, plans the shed empirical formula available construction, by the method of difference, the method of average, the return law, but also available dimensional analysis method establishment formula.
【Key words】 Empirical formula; Method
物理经验公式描述了有关物理现象的规律，通过实验可总结出经验公式，即找到描述这些现象的诸物理量之间的数量关系。
根据测量数据，拟舍经验公式可用作图法、逐差法、平均法、回归法，还可用量纲分析方法建立公式。下面根据弹簧振子的经验同期公式，谈谈总结经验公式的具体方法。
1 最小二乘法
本文采用最小二乘法来处理直线(曲线)的拟合问题，最小二乘法是一种比较精确的曲线拟合方法，它的判据是对笔精度测量。若存在一条最佳的拟合曲线，那么测量值与这条曲线上对应点之差的平方和应取极小值，设经验公式为Y=a+bx，实验测得的数据是：x1、x2、……xk；y1、y2、……yk、x1、x2：……xk没有测量误差，y的相应回归值是a+bx1，a+bx2……a+bxk，用最小二乘原理估计a、b之值，应满足于y的测量值yi和a+bxi之差的平方和取极小值
∑ k j=1 [yi-(a+bxi)]2=min(1)，选择a、b使(1)式取极小值的必要条件是 d ∑ k j=1 [yi-(a+bxi)]2=0(2) d ∑ k j=1 [yi-(a+bxi)]2=0(3)，由(2)式， d ∑ k j=1 [yi-(a+bxi)]2= d ∑ k j=1 2[yi-(a+bxi)] (-1)=0，整理得
ak+b∑ k j=1 xi+b∑ k j=1 yi(4)同理，由(3)式得∑ k j=1 xi+b∑ k j=1 xi2=∑ k j=1 xiyi(5)式解得b=(∑xi∑yi-k∑xiyi）/[（∑xi)2-k∑xi2]=(x,y-xy)/(x2-x2), a(∑xi∑yi-∑yi ∑xi2)/ [(∑x2)2-k∑xi2]=y-bx。a、b称为回归乘数，若经验公式是指数形成，可将公式两边取对数（Ln），从而化成y=a+bx的形式，再进行处理。
2 量纲分析
量纲分析的基本原理——II定理，即设某物理问题内涉及几个物理量（包括物理常量）P1P2……，Pn，而我们所选单位制中有M个基本量（n>m），则由此可组成n-m个无量纲的量II1，II2，……IIn-m，在物理量P1P2……，Pn之间存在的函数关系式f（P1P2……Pn）=0（定理或定律）可表达成相应的无量纲形式F（II1，II2，……IIn-m）=0，或者从上式把II1解出来，II1=Φ（II2，……IIn-m）（规律），n=m的情况下，有两种可能，若P1P2……，Pn的量纲彼此独立，则不能由它们组成无量纲的量；右不独立，则还可能组成无量纲的量。
量纲分析可用于单位换算，核实正识和推导公式，因此，用量纲分析方法寻找物理量间的关系，从而获得经验公式也是常用的方法。本文用量纲分析对通过最小二乘法拟合的经验公式进行验斑点。
3 经验公式的总结
下面根据弹簧振子的经验周期公式的总结，具体说明总结经验公式的方法。
（1)确定所研究的物理现象与哪些物理量有关。根据观摩振子的周期和振予的质量和弹性系数有关，而与其振幅大小无关，而且质量越大，周期越长；弹性系数越大，周期越短。具体做法，首先改变振子的质量(即在其上加不同的砝码)，观察其振动情况，由此可定性得出振子的质量与其振动的周期的关系。然后用不同的弹簧(即弹性系数不同)，使振子质量不变，观察其振动情况，从而定性地得出振子的弹性系数与其振动周期关系，最后观察一定弹性的弹簧振子。我们取最长的一个来观察，使其质量一定，在不同振幅情况下，观察其周期有无变化(注意振幅不可过大，否则将会把弹簧拉坏)。
（2)确定所研究的物理量与相关物理量的定量关系。假定振子的周期T与其质量M和弹性系数K间的函数关系为T=AKαMβ(6)，其中α、β和A是待定常数，为简化起见，先使其中一个物理量K保持不变，于是(6)式可以写成T=CMβ(C=AKα=常数)(7)，若改变振子质量M，测量相应的振子周期T，就可以得到一组对应的M和T值。同理，保持质量M不变，由(6)便可写成T=C1Kα(C=AKβ=常数)(8)，从而若只改变振子的弹性系数K，即选用不同的弹簧，测量各振子相应的周期T，则又可得到一组对应的K和T值，然后利用最小二乘法对(7)、(8)两式进行处理，两式两边取对数得到=1g=1gc+β1gM(9)1gT=1gC1+algK(10)，1gT与1gM之间，1gT与1gK之间均为线性关系，用最小二乘法拟合，可得到1gC和β，1gC1和a。将C=AKα，C1= ABβ代入1gC、1gC1，可解出两个A值，取其平均值为实验的结果，从而拟合出经验公式。
(3)经验公式的验证:用量纲分析法验证经验公式：将α和β用最接近的整数或分数表示。由于量纲[T]=T1，[K]=MT-2，[M]=M，如果能有[T]=A[KαMβ]，则得到K和M是与T有关的全部物理量，A是一个无量纲的数；αβ的准确值即为这样得到的整理和分数，将这个结果作为实验结论。
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【关键词】 经验公式；方法
Lessons learned formula method
Yang Ping
【Abstract】 Physics empirical formula described the related physical phenomenon rule, may summarize the empirical formula through the experiment, namely found describes between these phenomenon various physical quantity stoichiometric relation. According to the metrical data, plans the shed empirical formula available construction, by the method of difference, the method of average, the return law, but also available dimensional analysis method establishment formula.
【Key words】 Empirical formula; Method
物理经验公式描述了有关物理现象的规律，通过实验可总结出经验公式，即找到描述这些现象的诸物理量之间的数量关系。
根据测量数据，拟舍经验公式可用作图法、逐差法、平均法、回归法，还可用量纲分析方法建立公式。下面根据弹簧振子的经验同期公式，谈谈总结经验公式的具体方法。
1 最小二乘法
本文采用最小二乘法来处理直线(曲线)的拟合问题，最小二乘法是一种比较精确的曲线拟合方法，它的判据是对笔精度测量。若存在一条最佳的拟合曲线，那么测量值与这条曲线上对应点之差的平方和应取极小值，设经验公式为Y=a+bx，实验测得的数据是：x1、x2、……xk；y1、y2、……yk、x1、x2：……xk没有测量误差，y的相应回归值是a+bx1，a+bx2……a+bxk，用最小二乘原理估计a、b之值，应满足于y的测量值yi和a+bxi之差的平方和取极小值
∑ k j=1 [yi-(a+bxi)]2=min(1)，选择a、b使(1)式取极小值的必要条件是 d ∑ k j=1 [yi-(a+bxi)]2=0(2) d ∑ k j=1 [yi-(a+bxi)]2=0(3)，由(2)式， d ∑ k j=1 [yi-(a+bxi)]2= d ∑ k j=1 2[yi-(a+bxi)] (-1)=0，整理得
ak+b∑ k j=1 xi+b∑ k j=1 yi(4)同理，由(3)式得∑ k j=1 xi+b∑ k j=1 xi2=∑ k j=1 xiyi(5)式解得b=(∑xi∑yi-k∑xiyi）/[（∑xi)2-k∑xi2]=(x,y-xy)/(x2-x2), a(∑xi∑yi-∑yi ∑xi2)/ [(∑x2)2-k∑xi2]=y-bx。a、b称为回归乘数，若经验公式是指数形成，可将公式两边取对数（Ln），从而化成y=a+bx的形式，再进行处理。
2 量纲分析
量纲分析的基本原理——II定理，即设某物理问题内涉及几个物理量（包括物理常量）P1P2……，Pn，而我们所选单位制中有M个基本量（n>m），则由此可组成n-m个无量纲的量II1，II2，……IIn-m，在物理量P1P2……，Pn之间存在的函数关系式f（P1P2……Pn）=0（定理或定律）可表达成相应的无量纲形式F（II1，II2，……IIn-m）=0，或者从上式把II1解出来，II1=Φ（II2，……IIn-m）（规律），n=m的情况下，有两种可能，若P1P2……，Pn的量纲彼此独立，则不能由它们组成无量纲的量；右不独立，则还可能组成无量纲的量。
量纲分析可用于单位换算，核实正识和推导公式，因此，用量纲分析方法寻找物理量间的关系，从而获得经验公式也是常用的方法。本文用量纲分析对通过最小二乘法拟合的经验公式进行验斑点。
3 经验公式的总结
下面根据弹簧振子的经验周期公式的总结，具体说明总结经验公式的方法。
（1)确定所研究的物理现象与哪些物理量有关。根据观摩振子的周期和振予的质量和弹性系数有关，而与其振幅大小无关，而且质量越大，周期越长；弹性系数越大，周期越短。具体做法，首先改变振子的质量(即在其上加不同的砝码)，观察其振动情况，由此可定性得出振子的质量与其振动的周期的关系。然后用不同的弹簧(即弹性系数不同)，使振子质量不变，观察其振动情况，从而定性地得出振子的弹性系数与其振动周期关系，最后观察一定弹性的弹簧振子。我们取最长的一个来观察，使其质量一定，在不同振幅情况下，观察其周期有无变化(注意振幅不可过大，否则将会把弹簧拉坏)。
（2)确定所研究的物理量与相关物理量的定量关系。假定振子的周期T与其质量M和弹性系数K间的函数关系为T=AKαMβ(6)，其中α、β和A是待定常数，为简化起见，先使其中一个物理量K保持不变，于是(6)式可以写成T=CMβ(C=AKα=常数)(7)，若改变振子质量M，测量相应的振子周期T，就可以得到一组对应的M和T值。同理，保持质量M不变，由(6)便可写成T=C1Kα(C=AKβ=常数)(8)，从而若只改变振子的弹性系数K，即选用不同的弹簧，测量各振子相应的周期T，则又可得到一组对应的K和T值，然后利用最小二乘法对(7)、(8)两式进行处理，两式两边取对数得到=1g=1gc+β1gM(9)1gT=1gC1+algK(10)，1gT与1gM之间，1gT与1gK之间均为线性关系，用最小二乘法拟合，可得到1gC和β，1gC1和a。将C=AKα，C1= ABβ代入1gC、1gC1，可解出两个A值，取其平均值为实验的结果，从而拟合出经验公式。
(3)经验公式的验证:用量纲分析法验证经验公式：将α和β用最接近的整数或分数表示。由于量纲[T]=T1，[K]=MT-2，[M]=M，如果能有[T]=A[KαMβ]，则得到K和M是与T有关的全部物理量，A是一个无量纲的数；αβ的准确值即为这样得到的整理和分数，将这个结果作为实验结论。
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”