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在教学中，我们会发现有些学生在计算三角形面积时，会直接用“底×高”。如果我们让学生检查，他们会很快发现自己忘记“÷2”，并很快订正。面对这样的“粗心”现象，笔者认为我们不能简单地站在“成人视角”去理解，而应更多以“儿童视角”来分析产生此类错误的原因，以便我们运用更适合儿童心理的教学方法，尽量避免孩子们在认识上“走弯路”。
基于这样的认识，笔者开展了有关“三角形的面积计算”的教学研究，准备从学生作业错例分析入手，结合对教学内容的再次思考，探寻学生错误的真实原因，提出较为合理的教学建议。
一、三角形面积计算的典型错误和错因分析
（一）测试的问题及意图
在设计测试的问题时，我们将三角形的面积计算的数学运用分为三个层次。
（二）测试的对象和过程
我们选择了使用人教版课标教材小学数学五年级上册的F小学五年级3个教学班。其中2个班的学生作为对照班在没有使用本研究的教学建议学习“三角形面积计算”后完成测试，另一个班的学生作为实验班在使用本研究的教学建议学习“三角形面积计算”后完成测试。
测试后我们对学生的解题情况进行初步整理，在整理的基础上选择了部分学生单独进行访谈，测试与访谈在同一天完成。
（三）测试的结果与分析
1.三角形的面积计算的整体掌握情况
我们将对照班的78名学生的测试卷的三个问题从正确率、错误率以及“算法”错误率三个方面进行了初步的数据统计，其中“算法”错误指运用三角形面积计算公式时，列式造成的错误。有关统计数据如下。
F小学五年级部分学生“三角形的面积计算”测试数据分析（1）
由上表可知：学生对三角形的面积计算的掌握情况是有层次的，其中“算法”错误有下面两类，一是学生直接用“底×高”来计算三角形的面积，二是直接用“三角形的面积÷高”求三角形的底。
针对以上错误，笔者对学生进行了访谈。在访谈时，多数学生看到自己出现的第一类错误，随即就说：“老师，我忘记除以2了。”当我们追问：“你为什么会忘记除以2呢？”学生答道：“和平行四边形的面积计算方法弄混了。”针对第二类错误，学生说：“求长方形和平行四边形的，也是这样算的。”由此可见，学生对三角形的面积计算公式的运用，很容易受长方形和平行四边形的面积计算公式的影响。
2.三角形的面积计算在不同背景中的掌握情况
为进一步探索学生在不同背景中，三角形面积计算公式正向和逆向运用的相互影响关系，我们关注了测试答卷中以下三类情况，学生答题过程中“算法”错误统计，如下表。
F小学五年级部分学生“三角形的面积计算”测试数据分析（2）
从上表可知：（1）部分学生虽然能直接正向运用三角形面积计算公式，但在具体情况中正向运用时错误较多。出现该现象的原因是具体情境中运用公式时，易受情境信息和干扰因素等影响。（2）部分学生对三角形的面积计算的逆向运用掌握情况低于正向运用。（3）当学生在不同背景中，能克服干扰因素和复杂背景正确正向运用三角形的面积计算公式时，三角形的面积计算公式的逆向运用掌握也较好。
也许我们会有这样的疑问：为什么教学过程中学生操作了，教师演示了，还有学生出错呢？真的是学生无法跨越这道坎吗？下面是笔者观察到的教学片断，也许会引起我们一些新思考。
【教学现象】
（1）每个组准备了一些三角形，请同学们摆一摆，拼一拼，看能不能拼成我们学过的平面图形（学生合作探究）。
（2）交流汇报，每个小组选代表到黑板上演示。
（3）小结：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。
（4）自主探究：三角形与所拼成的平行四边形有什么关系？
（5）合作探究：通过“转化”“找关系”，你能推导出三角形面积计算公式吗？
（6）板书：三角形的面积=底×高÷2
S=ah÷2
【分析与思考】
在这个教学片断中，学生充分经历了三角形面积计算公式的推导过程吗？笔者认为学生只是被动地按教师的设计机械地完成了一系列操作，没有充分经历计算公式的探究过程。在这一过程中，学生只是“操作工”，对于“为什么会想用两个完全一样的三角形来拼”“还有其他推导方法吗”等问题学生没有主动地思考，更谈不上猜想和创造。这样肤浅的操作导致学生没有深刻的理解，记忆也不深刻。这样看来，学生作业时会忘记“÷2”也是情有可原。
二、三角形面积计算的教学内容和教材分析
从以上测试中我们发现部分学生习惯于将平行四边形的面积计算公式直接运用于三角形的面积计算中。为此，我们从平行四边形和三角形的面积计算公式的推导过程、面积计算公式的数学结构以及公式的变式运用等三个方面来对比分析，再次思考学生错误的真实障碍。具体分析如下。
平行四边形和三角形的面积计算学习内容的对比分析
从以上对比中，我们可以发现：
1.在平行四边形的面积计算公式推导过程中，我们将平行四边形转化成长方形，虽然转化前后图形的形状发生了变化，但前后两个图形的面积没有发生改变。这样的图形面积计算公式的推导方法，称为等积变换。但三角形的面积计算公式推导过程是将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。像这样通过图形的拼组推导面积计算公式的方法，称为图形重组。我们可以发现，三角形的面积计算公式的推导过程与平行四边形有明显的差异。
2.从两个计算公式的数学结构来看，由于S=ah前面有系数“[12]”，公式本身也比前者复杂。因此，在计算公式的逆运用时，需要先将系数“[12]”转化成1，即2S=ah。而学生在长方形或平行四边形的面积计算公式逆运用时，都直接是将面积除以一个变量，如a=S÷b。回顾这些学生面积计算的经历，发现像三角形的面积计算公式这样的数学结构还是学生第一次接触。
基于这样的认识，笔者开展了有关“三角形的面积计算”的教学研究，准备从学生作业错例分析入手，结合对教学内容的再次思考，探寻学生错误的真实原因，提出较为合理的教学建议。
一、三角形面积计算的典型错误和错因分析
（一）测试的问题及意图
在设计测试的问题时，我们将三角形的面积计算的数学运用分为三个层次。
（二）测试的对象和过程
我们选择了使用人教版课标教材小学数学五年级上册的F小学五年级3个教学班。其中2个班的学生作为对照班在没有使用本研究的教学建议学习“三角形面积计算”后完成测试，另一个班的学生作为实验班在使用本研究的教学建议学习“三角形面积计算”后完成测试。
测试后我们对学生的解题情况进行初步整理，在整理的基础上选择了部分学生单独进行访谈，测试与访谈在同一天完成。
（三）测试的结果与分析
1.三角形的面积计算的整体掌握情况
我们将对照班的78名学生的测试卷的三个问题从正确率、错误率以及“算法”错误率三个方面进行了初步的数据统计，其中“算法”错误指运用三角形面积计算公式时，列式造成的错误。有关统计数据如下。
F小学五年级部分学生“三角形的面积计算”测试数据分析（1）
由上表可知：学生对三角形的面积计算的掌握情况是有层次的，其中“算法”错误有下面两类，一是学生直接用“底×高”来计算三角形的面积，二是直接用“三角形的面积÷高”求三角形的底。
针对以上错误，笔者对学生进行了访谈。在访谈时，多数学生看到自己出现的第一类错误，随即就说：“老师，我忘记除以2了。”当我们追问：“你为什么会忘记除以2呢？”学生答道：“和平行四边形的面积计算方法弄混了。”针对第二类错误，学生说：“求长方形和平行四边形的，也是这样算的。”由此可见，学生对三角形的面积计算公式的运用，很容易受长方形和平行四边形的面积计算公式的影响。
2.三角形的面积计算在不同背景中的掌握情况
为进一步探索学生在不同背景中，三角形面积计算公式正向和逆向运用的相互影响关系，我们关注了测试答卷中以下三类情况，学生答题过程中“算法”错误统计，如下表。
F小学五年级部分学生“三角形的面积计算”测试数据分析（2）
从上表可知：（1）部分学生虽然能直接正向运用三角形面积计算公式，但在具体情况中正向运用时错误较多。出现该现象的原因是具体情境中运用公式时，易受情境信息和干扰因素等影响。（2）部分学生对三角形的面积计算的逆向运用掌握情况低于正向运用。（3）当学生在不同背景中，能克服干扰因素和复杂背景正确正向运用三角形的面积计算公式时，三角形的面积计算公式的逆向运用掌握也较好。
也许我们会有这样的疑问：为什么教学过程中学生操作了，教师演示了，还有学生出错呢？真的是学生无法跨越这道坎吗？下面是笔者观察到的教学片断，也许会引起我们一些新思考。
【教学现象】
（1）每个组准备了一些三角形，请同学们摆一摆，拼一拼，看能不能拼成我们学过的平面图形（学生合作探究）。
（2）交流汇报，每个小组选代表到黑板上演示。
（3）小结：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。
（4）自主探究：三角形与所拼成的平行四边形有什么关系？
（5）合作探究：通过“转化”“找关系”，你能推导出三角形面积计算公式吗？
（6）板书：三角形的面积=底×高÷2
S=ah÷2
【分析与思考】
在这个教学片断中，学生充分经历了三角形面积计算公式的推导过程吗？笔者认为学生只是被动地按教师的设计机械地完成了一系列操作，没有充分经历计算公式的探究过程。在这一过程中，学生只是“操作工”，对于“为什么会想用两个完全一样的三角形来拼”“还有其他推导方法吗”等问题学生没有主动地思考，更谈不上猜想和创造。这样肤浅的操作导致学生没有深刻的理解，记忆也不深刻。这样看来，学生作业时会忘记“÷2”也是情有可原。
二、三角形面积计算的教学内容和教材分析
从以上测试中我们发现部分学生习惯于将平行四边形的面积计算公式直接运用于三角形的面积计算中。为此，我们从平行四边形和三角形的面积计算公式的推导过程、面积计算公式的数学结构以及公式的变式运用等三个方面来对比分析，再次思考学生错误的真实障碍。具体分析如下。
平行四边形和三角形的面积计算学习内容的对比分析
从以上对比中，我们可以发现：
1.在平行四边形的面积计算公式推导过程中，我们将平行四边形转化成长方形，虽然转化前后图形的形状发生了变化，但前后两个图形的面积没有发生改变。这样的图形面积计算公式的推导方法，称为等积变换。但三角形的面积计算公式推导过程是将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。像这样通过图形的拼组推导面积计算公式的方法，称为图形重组。我们可以发现，三角形的面积计算公式的推导过程与平行四边形有明显的差异。
2.从两个计算公式的数学结构来看，由于S=ah前面有系数“[12]”，公式本身也比前者复杂。因此，在计算公式的逆运用时，需要先将系数“[12]”转化成1，即2S=ah。而学生在长方形或平行四边形的面积计算公式逆运用时，都直接是将面积除以一个变量，如a=S÷b。回顾这些学生面积计算的经历，发现像三角形的面积计算公式这样的数学结构还是学生第一次接触。