重庆第八中学 400030
　　
　　摘要：本文以一个与正三角形有关的数学问题为起点进行定值问题的探索，探讨了正三角形内切圆上任一点变为外切圆上任一点、形内任一点、内切椭圆上任一点以及问题的逆命题等定值问题，并对上述命题及其变式进行了推广.
　　关键词：数学问题；变式探究
　　
　　问题 P是正三角形A1A2A3的内切圆⊙O上任一点，点P到A1A2，A2A3，A3A1的距离分别为d1，d2，d3，问：当P点位置变动时，d+d+d是否为定值？说明理由.
　　这是《数学通报》2006年第11期上的第1 637号数学问题，作者运用三角知识对问题作了完善的回答. 文章也从改进问题的解法，建立问题的几何模型，拓展问题至多元方面作了进一步研究，本文拟从问题的变式和引申方面作些探究.
　　变式1 问题中“点P到三边的距离”变换为“点P到各顶点的距离”，于是得到点P是正三角形A1A2A3的内切圆⊙O上任一点，点P到A1，A2，A3的距离分别为d1，d2，d3，问：当P点位置变动时， d+d+d是否为定值？说明理由.
　　探究 以圆心O为原点，OA1所在直线为y轴，平行于A2A3且过O点的直线为x轴建系（如图1）. 设⊙O半径为r，因△A1A2A3为正三角形，则A1（0，2r），A2（－r，－r），A3（r，－r），又设P点坐标为（rcosθ，rsinθ），于是d+d+d=（rcosθ）2+（rsinθ－2r）2+（rcosθ+r）2+（rsinθ+r）2+（rcosθ－r）2+（rsinθ+r）2=15r2.
　　因此P点位置变动时，d+d+d为定值，且定值是15r2.
　　当正三角形A1A2A3变成正方形、正五边形，以至于正n边形时，变式1又将如何？
　　推广 P是正n边形A1A2A3…An的内切圆⊙O上任一点，点P到A1，A2，A3，…，An的距离分别为d1，d2，d3，…，dn，问：当P点位置变动时，d+d+…+d是否为定值？说明理由.
　　探究 如图2，设⊙O半径为r，则∠A1OA2=，且△OA1A2为等腰三角形，在Rt△A1B1O中，OA1=，由=－，=0得
　　2=（－）2=2－2
　　
　　·+2=2+2=n
　　2+nr2=nr21+sec2
　　.
　　[A1][B1][A2][A3][O][P][Ai]
　　图2
　　即d+d+…+d=nr21+sec2
　　为定值.
　　变式2 变式1中的“内切圆”变换为“外接圆”，于是得到点P是正三角形A1A2A3的外接圆⊙O上任一点，P到A1，A2，A3的距离分别为d1，d2，d3，问：当P点位置变动时，d+d+d是否为定值？说明理由.
　　变式2是一个较易解决的问题，为了使变式2更具有一般性，可将它推广为如下问题.
　　推广1P是正n边形A1A2A3…An的外接圆⊙O上任一点，点P到A1，A2，…，An的距离分别为d1，d2，…，dn，问：当P点位置变动时，d+d+…+d是否为定值？说明理由.
　　[A1][P][A2][A3][A4][Ai][An][O]
　　图3
　　探究 设外接圆半径为R，仿变式1的推广证明得
　　
　　2=2+2=2nR2，
　　即d+d+…+d=2nR2为定值.
　　特别地，n=3时便得变式2中的结果d+d+d=6R2.
　　推广2 P是以O为圆心，半径为r（任意长）的内切圆上任一点，正n边形A1A2A3…An的外接圆半径为R，P到A1，A2，…，An的距离分别为d1，d2，…，dn . 问：当点P位置变动时，d+d+…+d是否为定值？说明理由.
　　探究 由推广1便知d+d+…+d为定值n（R2+r2）.
　　变式3 P是正三角形A1A2A3内任一点（点P也可以在三边上），点P到A1A2，A2A3，A3A1的距离分别为d1，d2，d3，且当P点位置变动时，d+d+d始终为定值，求P点的轨迹方程.
　　探究 如图1，以△A1A2A3的中心为原点建系，设P（x，y），△A1A2A3的边长为a，d+d+d=m（定值），可得A1A2，A3A1，A2A3所在直线方程分别为x－y+a=0，x+y－a=0，y+a=0，于是可以得到d+d+d=
　　2+
　　2+
　　y+a2=，又d+d+d=m（定值），所以x2+y2=.
　　所以，当m>时，P点的轨迹方程是以原点（正三角形A1A2A3的中心）为圆心的圆；当m=时，P点的轨迹是点（0，0）；当m<时，无轨迹图形.
　　变式4 变式1的逆命题是否成立呢？为了更具一般性，思考下面的问题.
　　P是正n边形A1A2…An内任一点（点P也可以在边上），P到A1，A2，…，An的距离分别为d1，d2，…，dn，当P点位置变动时，d+ d+…+d始终为定值，求点P的轨迹方程.
　　探究 由变式1推广的解法知：d+d+…+d=
　　2=2+2.
　　设正n边形内切圆半径为r，设d+d+…+d的定值为m，则
　　2+2=nr2sec2+2=m，
　　所以2=m－nr2sec2=n
　　2.
　　所以
　　2=.
　　所以，当m>nr2sec2时，点P的轨迹是以O为圆心，以
　　=为半径的圆；当m=nr2sec2时，P的轨迹为点（0，0）；当m　　变式5 问题中的“内切圆”变换为“△A1A2A3内任一点”，此时结论不一定成立，但其最小值存在.
　　P是正三角形A1A2A3内的任一点，P到A1A2，A2A3，A3A1的距离为d1，d2，d3，当P点位置变动时，求d+d+d的最小值.
　　[A1][d3][d1][P][d2][A2][A3]
　　图4
　　探究 设正三角形A1A2A3的面积为S，边长为a，则
　　d1a+d2a+d3a=S，所以d1+d2+d3=.
　　由柯西不等式有（d+d+d）·（12+12+12）≥（d1+d2+d3）2，
　　所以d+d+d≥（当且仅当d1=d2=d3时取最小值）.
　　推广1 P是正n边形A1A2A3…An内任一点，P到A1A2，A2A3，…，AnA1的距离分别为d1，d2，…，dn. 设正n边形面积为S，边长为a，当P点的位置变动时，d+d+…+d的最小值为.
　　推广2 P是n边形A1A2A3…An内任一点，P到A1A2，A2A3，…，AnA1的距离分别为d1，d2，…，dn，记n边形面积为S，边长分别为a1，a2，…，an .
　　当P点位置变动时，d+d+…+d的最小值为（当且仅当==…=时取最小值）.
　　变式6 问题中“内切圆”变换为“内切椭圆”，结论又将如何？
　　P是正三角形A1A2A3的内切椭圆上任一点，P到A1A2，A2A3，A3A1的距离分别为d1，d2，d3，问：当P点位置变动时，d+d+d是否为定值？说明理由.
　　探究 以椭圆中心O为原点，平行于A2A3的直线为x轴，正三角形A1A2A3所在高为y轴建系（如图5），设椭圆方程为+=1（a>b>0），设直线A1A2的方程为y=x+t（t>0），则直线A1A3的方程为y=－x+t. 因P是椭圆上任一点，可设为（x，y），
　　由
　　+
　　=1，
　　y=x+t 消去y得（b2+3a2）x2+2a2tx+a2t2－a2b2=0.
　　[y][A1][d3][d1][P][d2][A2][A3][x][O]
　　图5
　　因直线AA与椭圆相切，所以Δ=（2·a2t）2－4（b2+3a2）（a2t2－a2b2）=0.
　　所以t2－b2－3a2=0，即t=.
　　由直线A1A2，A2A3，A3A1的方程分别为x－y+t=0，y+b=0，x+y－t=0，有d1=，d2=|y+b|，d3=，
　　所以d+d+d=+（y+b）2+===
　　y2+
　　（2b－
　　）y+2a2+b2（y≤b）. （*）
　　由此可知：P点在椭圆上变动时，d+d+d不为定值.
　　引申1 P是正三角形A1A2A3的内切椭圆上任一点，P到A1A2，A2A3，A3A1的距离分别为d1，d2，d3，求d+d+d取最大值时，点P的坐标.
　　探究 由（*）式的二次函数知，当a>b>a时，d+d+d取得最大值，P点的坐标为
　　±
　　，
　　；
　　当0　　引申2 P是正三角形A1A2A3内的一个动点，G是△A1A2A3的中心，PN⊥A2A3于点N，2PG=PN，P到 A1，A2，A3的距离分别为d1，d2，d3，求d+d+d的最小值.
　　探究 取A1G为x轴，A1G的垂直平分线为y轴建立直角坐标系（如图6），设正三角形边长为a，易知
　　G
　　a，0，A1－
　　a，0，A2
　　a，－
　　，A3
　　a，
　　·
　　[y][A3][P][N][x][G][O][A2][A1]
　　图6
　　因为=，所以点P（x，y）的轨迹是以G为焦点，直线A2A3为准线的椭圆（在△A1A2A3内的弧上）. 设椭圆方程为+=1（m>n>0），
　　因为A2A3的方程为x=a=，而=|OG|=a，
　　所以m2=a2，n2=a2，所以椭圆方程为+=1.
　　直线A1A3的方程y=·x+
　　a与椭圆+=1联立得x=，从而P（x，y）的横坐标取值范围是　　所以d+d+d=x+
　　a2+y2+x－
　　a2+
　　y+2+x－
　　a2+y－
　　2=3x2+3y2－ax+a2=x2－·ax+a2=
　　x－a2+a2·
　　　　≤a.
　　当x=a时，d+d+d取得最小值a2.
　　请读者思考：题目中其他条件不变，若=λ（0<λ<1）时，结果的变化情况，此处不再赘述.
　　引申3△A1A2A3内接于椭圆，P是椭圆的一个焦点，有∠A1PA2=∠A2PA3=∠A3PA1. 设P到A1，A2，A3的距离分别为d1，d2，d3，证明++为定值，并求此定值.
　　探究 如图7建系，设椭圆方程为+=1（a>b>0），P为右焦点，则P（c，0）（其中c=）. 右准线l的方程为x=，记椭圆右顶点为A，并设∠APAi=αi（i=1，2，3），不失一般性，设0≤α1≤π，且α2=α1+π，α3=α1+π. 又设Ai在l上的射影为Bi，从而有
　　|PAi|=|AiBi|e=
　　－c－|PAi|cosαie=－|PAi|cosαi，
　　所以=（i=1，2，3）.
　　因此++=+（cosα1+cosα2+cosα3）=+cosα1+cosα1+
　　π+cosα1+
　　π=.
　　推广 n边形A1A2A3…An内接于椭圆，P是椭圆的一个焦点，若∠A1PA2=∠A2PA3=∠A3PA4=…=∠AnPA1，设P到A1，A2，…，An的距离分别为d1，d2，…，dn，则++…+必为定值，且定值为.
　　探究 由引申3的探究知：==（i=1，2，…，n），
　　所以++…+=+（cosα1+cosα2+…+cosαn）=+cosα1+cosα1+
　　+cosα1
　　+2×+…+cosα1+（n－1）×
　　.
　　又由三角知识可得：cosα+cos（α+β）+cos（α+2β）+…+cos［α+（n－1）β］
　　=.
　　所以cosα1+cosα1
　　++cosα1+2×
　　+…+cosα1+（n－1）×
　　=0.
　　所以++…+=.