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[摘要]对教材中推导三角形面积公式时设计的转化为已学过图形的探究活动做了归纳与分析，指出了设计的优点与不足，实验验证了转化方法的可行性，提出了该探究活动设计应注意引导启发，注意前后知识间的联系，以及将学生欠缺知识基础或难度比较大的方法放在阅读内容中或作为课后思考题的建议。
[关键词]三角形的面积;转化方法;探究活动
[中图分类号]G623.5
[文献标识码]A
[文章编号]1007-9068（2020）32-0017-05
关于三角形的面积，各版本教材都安排在了五年级第一学期。可以说，教材在推导面积公式时，都抓住便于转化的关键点，打造“转化为已知”的探究活动。这既渗透了化归思想，也充分体现了让学生自主探究、自我构建知识的新课改之教育理念。综观各教材设计的转化方法，既有统一的方法，也有别具一格的方法。下面，本文就对三角形面积公式推导的探究活动做逐一分析。
一、关于转化方法探究活动的分析
由于各版本教材都将三角形的面积安排在平行四边形（包含长方形）的面积之后。因此，将三角形转化为学生已经会求面积的图形可分为两个方向。
1.转化为一般的平行四边形的探究设计分析（这个转化方向可细分为两种方法）
（1）用两个一样的三角形拼成一个平行四边形
各版本教材都有用两个一样的三角形拼成一个平行四边形的设计，但也有细微差别。其中，北师大版（第56页;图1）、西师大版（第82页;图2）、沪教版（第82页;图3）教材都只对两个一样的锐角三角形进行了拼摆，且只拼成了一个平行四边形，无论从三角形的种类，还是拼法角度来看，都属于不完全归纳;人教版（第91页;图4）、冀教版（第58页;图5）、苏教版（第9页;图6）、青岛版（第69页;图7。第70页;图8）、浙教版（第66页;图9）教材都给出了三种不同类型的两个一样的三角形的拼法，对不同類型的三角形进行了完全归纳，但对同一类的两个一样的三角形也都只拼成了一个平行四边形，没有做到完全归纳。因为，一般地说，两个一样的三角形能以每对对应边为对角线拼成三个不同的平行四边形，所有教材均没有体现这一点，这封堵了学生的思维，不利于学生发散性思维的培养。
再者，用两个一样的三角形拼摆出平行四边形的方法是怎么来的？有的教材是直接让学生用两个一样的三角形去进行拼摆;有的教材虽然有引导学生将三角形转化为学过的图形之引导语，但紧接着还是明确提出了用两个一样的三角形拼摆;北师大版教材是个例外，在展示拼摆结果中暗含这一点。试问：这样的设计，学生进行探究活动还需要动脑吗？更需要指出的是，青岛版教材（图7、图8）把操作步骤都安排好了，不仅没有给学生留下一点思维的空间，还束缚了学生的思维，因为不按此步骤也能拼成平行四边形;而苏教版教材（图6）一开始就画出了用两个一样的三角形拼成的平行四边形，可能考虑到观察的不确定性，又让学生剪下附页中的三角形去摆拼以进行验证，这是可以的，但有必要测量出底和高并列表计算出面积再推导面积公式吗？
由上可见，教材中的探究活动偏重于机械操作，偏离了探究活动促进学生动脑的主轨道。
（2）将一个三角形割补成一个平行四边形
沿三角形的一条中位线剪下一个小三角形，让其绕原三角形的一个中点转180°拼成平行四边形。这样，若沿三角形的每一条中位线剪下一个小三角形，就可以分别拼成两个不同边长的平行四边形，总共可以摆出六个不同边长的平行四边形。这些平行四边形要么与三角形同底，高为三角形高的一半;要么与三角形同高，底为三角形底的一半。这种割补方法显然需要用到三角形中位线的知识，而小学生不具备这样的知识基础，这恐怕是大多数教材不设计此方法的原因。教材中设计此方法的只有西师大版（图2）和浙教版（图9。第67页截图;图10）教材，都给出了锐角三角形的割补法，且西师大版教材只给出了一种拼法，浙教版教材给出了两种拼法。浙教版教材这样设计的目的是为了体现与其他教材的差异，还是突出数学的“奇妙”与“巧合”？在学生根本不具备基础时就是告诉学生沿中位线剪开后拼起来，恐怕也仅仅是操作而已。值得指出的是，浙教版教材在第63页（图11）的第4题中为这种割补法做了铺垫，这还是有利于学生的学习和探讨的。
2.转化为特殊的平行四边形——长方形
北师大版教材（图1）从转化成已学过的平行四边形及其特殊情况——长方形的方向入手，有利于学生动脑和发散性思维的培养。从图中可以看出，其方法是作一锐角三角形底上的高，垂足将底分成两线段，在高的两边分别以高和一线段为邻边作两个小长方形，继而合成一个长与宽分别为三角形的底和高的较大的长方形。可是这种作法仅适用于锐角三角形，而对于直角和钝角三角形来说，除非以最长的边为底，其他情况皆不适用。再者，这种方法学生恐怕很难探究出来，就是告诉学生怎么做，可能都有一定的难度。当然，这种转化方法也可以看成是将两个一样的三角形中的一个沿高线剪开，然后拼在另一个三角形上，构成一个长方形。可教材图上的虚线表明是作辅助线，显然不是这个方法。
其实，将一个三角形转化成长方形还有别的方法：先将三角形的一个角（直角或钝角三角形就取最大角）沿它两边上三角形的中位线折叠到对边上，再将其他两个角折叠后拼成一个平角，便折叠出了两个一样的，长、宽分别为三角形底与高一半长度的长方形。（本文仅展示一种三角形的一种折叠方法;如图12所示）。这样，一个一般的锐角三角形纸片可以折叠出三个不同长和宽的长方形;一个一般的直角或钝角三角形纸片，从最大角往对边折叠可以折叠出一个长方形。四年级下册的青岛版、北师大版、苏教版、西师大版教材，都是利用此方法验证三角形内角和等于180。（可参考研究（二））。令人遗憾的是，这几个版本的教材在三角形的面积部分的内容没有与此方法联系起来，前后知识出现割裂。 另外，浙教版教材第63页（图11）第3题给出了两种出自《九章算术》的刘徽利用出入相补原理或以盈补虚方法（也可通俗地称割补法）计算面积时提出的方法，看起来是为面积的学习做铺垫，但面积部分却没有出现，这也是割裂了知识。当然，这两种方法的难度较大，不出现是可以理解的。人教版、苏教版、冀教版教材可能就是考虑到这点，把这两种方法作为阅读材料介绍给学生。
二、转化方法的教学实验分析
笔者在进行备课时，研读了各版本教材，并做了相关分析，且有计划地在所教两个班（每班45人，共90人）中进行了教学实验。由于学校在升入五年级前的暑假把原先的大班改成小班，按成绩重新分班，故以此两班为样本可以代表本学校的整体情况。
1.转化为一般的平行四边形的实验
在不提示用两个一样的三角形去拼，也不提示沿三角形两边中点的连线剪开再拼的情况下，给每个学生准备了一样的三角形纸片5张（为了避免学生拿2张一样的直接拼），提出可以通过剪拼将三角形转化为平行四边形，且方法越多越好。由于这两种方法对不同种类的三角形都适用，故没做区分（时间6分钟）。
实验结果：将两个一样的三角形拼成一个平行四边形的学生中，两个班共有19人，占总人数的21.11%，有8人表示早已拼过;而沿三角形两边中点的连线剪开再拼成平行四边形的仅3人，占总人数的3.33%，且询问得知3人都早已做过。由此可见，在不提示、不明确说明怎么做的情况下，就是给学生准备了材料，大多数学生还是不能转化，因为他们想不到这样去做。
然后，笔者利用“把一个平行四边形分成两个一样的三角形”启发引导，结果在3分钟之内，能将两个一样的三角形拼成一个平行四边形的学生就达到了82人，占总人数的91.11%。由此看来，在把一个平行四边形分成两个一样三角形的启发下，再将两个一样的三角形拼成一个平行四边形就比较容易了。这说明大部分学生还是能够进行逆向思维的。
另外，对于割补三角形转化成平行四边形，在明确提出可沿三角形两边中点的连线剪开后再拼，3分钟后就有43人拼了出来，占总人数的47.78%，可见还是有一定难度。
2.转化为长方形的实验
给每个学生准备了一样的锐角三角形（为了降低难度）纸片2张，提出可以通过折叠或剪拼，也可以画线，将三角形转化为长方形，且给出的方法越多越好（时间6分钟）。
实验结果：两个班的学生，通过折叠3个角拼成平角，从而拼成两个一样的小长方形的有74人，占总人数的82.22%。这应该与学生在四年级下册有过折叠的经历有极大的关系，因青岛版教材四年级下册有此拼法。这说明已有知识和方法迁移的重要性。
令人遗憾的是，两个班共90人中竟没有一个学生能给出北师大版教材的方法。在展示教材中的結果图（不说明怎么去做）后，再让学生去操作，3分钟后，也仅有11人（占总人数的12.22%）将两个一样的三角形中的一个沿高线剪开，然后拼在另一个三角形上，得到了教材中图示的长方形，而没有一个人通过做辅助线将三角形转化成长方形。由此可见，这种方法的难度太大。
三、建议
1.探究活动设计应注意引导启发
将两个一样的三角形拼成一个平行四边形的方法，直接告诉学生怎么操作，不仅不能促进学生思考，还使学生感到数学就是一种巧合现象，进而对数学产生恐惧感。如果从“把一个平行四边形分成两个一样的三角形”出发，引导学生逆向思考，既能培养学生的逆向思维能力，还能使学生弄清楚方法的来源。因此，探究活动应以引导启发为主，而不是让学生机械操作。
2.探究活动设计应注意前后知识间的联系
设计探究活动时，首先应该了解前面的知识内容与涉及的有关方法，使新知识和方法的学习建立在原有知识和方法的基础之上。如，借助四年级下册三角形内角和的验证方法，把三角形的三个角折叠拼成平角，进而转化成两个一样的长方形来推导三角形的面积公式，学生不仅好懂好理解，还能建立知识间的联系，有利于知识与方法的融合。
另外，如果设计新的方法让学生探究，最好在前面早做铺垫，以利于学生的探究。这一点，浙教版教材就处理得比较好。
3.学生欠缺知识基础或难度比较大的方法最好放在阅读内容中
上面提到的刘徽给出的两种割补法，及沿三角形的中位线剪开拼成平行四边形的方法，由于学生欠缺三角形中位线的知识基础，且难度比较大，将其放在阅读内容中，或作为课后思考题，让学有余力的学生自己去探究还是有意义的，人教版、苏教版、冀教版教材的处理值得肯定。另外，北师大版教材中利用做辅助线的方法将三角形转化成长方形的方法也应该放入阅读内容中，或作为课后思考题让学生探究。
综上所述，关于三角形面积的推导中，将两个一样的三角形拼成一个平行四边形的探究方法，如果引导到位还是非常可取的;四年级下册教材设计有折叠三角形三个内角拼成平角的，再设计转化成长方形来推导面积公式也是相当不错的。因为这样转化的方向就不只是平行四边形，这么一来就可培养学生的发散性思维，毕竟学生已学了平行四边形极其特殊情况——长方形。另外，存在几种不同情况时，探究设计最好能考察到所有情况，进行完全归纳得到科学的结论。
（责编 金铃）
[关键词]三角形的面积;转化方法;探究活动
[中图分类号]G623.5
[文献标识码]A
[文章编号]1007-9068（2020）32-0017-05
关于三角形的面积，各版本教材都安排在了五年级第一学期。可以说，教材在推导面积公式时，都抓住便于转化的关键点，打造“转化为已知”的探究活动。这既渗透了化归思想，也充分体现了让学生自主探究、自我构建知识的新课改之教育理念。综观各教材设计的转化方法，既有统一的方法，也有别具一格的方法。下面，本文就对三角形面积公式推导的探究活动做逐一分析。
一、关于转化方法探究活动的分析
由于各版本教材都将三角形的面积安排在平行四边形（包含长方形）的面积之后。因此，将三角形转化为学生已经会求面积的图形可分为两个方向。
1.转化为一般的平行四边形的探究设计分析（这个转化方向可细分为两种方法）
（1）用两个一样的三角形拼成一个平行四边形
各版本教材都有用两个一样的三角形拼成一个平行四边形的设计，但也有细微差别。其中，北师大版（第56页;图1）、西师大版（第82页;图2）、沪教版（第82页;图3）教材都只对两个一样的锐角三角形进行了拼摆，且只拼成了一个平行四边形，无论从三角形的种类，还是拼法角度来看，都属于不完全归纳;人教版（第91页;图4）、冀教版（第58页;图5）、苏教版（第9页;图6）、青岛版（第69页;图7。第70页;图8）、浙教版（第66页;图9）教材都给出了三种不同类型的两个一样的三角形的拼法，对不同類型的三角形进行了完全归纳，但对同一类的两个一样的三角形也都只拼成了一个平行四边形，没有做到完全归纳。因为，一般地说，两个一样的三角形能以每对对应边为对角线拼成三个不同的平行四边形，所有教材均没有体现这一点，这封堵了学生的思维，不利于学生发散性思维的培养。
再者，用两个一样的三角形拼摆出平行四边形的方法是怎么来的？有的教材是直接让学生用两个一样的三角形去进行拼摆;有的教材虽然有引导学生将三角形转化为学过的图形之引导语，但紧接着还是明确提出了用两个一样的三角形拼摆;北师大版教材是个例外，在展示拼摆结果中暗含这一点。试问：这样的设计，学生进行探究活动还需要动脑吗？更需要指出的是，青岛版教材（图7、图8）把操作步骤都安排好了，不仅没有给学生留下一点思维的空间，还束缚了学生的思维，因为不按此步骤也能拼成平行四边形;而苏教版教材（图6）一开始就画出了用两个一样的三角形拼成的平行四边形，可能考虑到观察的不确定性，又让学生剪下附页中的三角形去摆拼以进行验证，这是可以的，但有必要测量出底和高并列表计算出面积再推导面积公式吗？
由上可见，教材中的探究活动偏重于机械操作，偏离了探究活动促进学生动脑的主轨道。
（2）将一个三角形割补成一个平行四边形
沿三角形的一条中位线剪下一个小三角形，让其绕原三角形的一个中点转180°拼成平行四边形。这样，若沿三角形的每一条中位线剪下一个小三角形，就可以分别拼成两个不同边长的平行四边形，总共可以摆出六个不同边长的平行四边形。这些平行四边形要么与三角形同底，高为三角形高的一半;要么与三角形同高，底为三角形底的一半。这种割补方法显然需要用到三角形中位线的知识，而小学生不具备这样的知识基础，这恐怕是大多数教材不设计此方法的原因。教材中设计此方法的只有西师大版（图2）和浙教版（图9。第67页截图;图10）教材，都给出了锐角三角形的割补法，且西师大版教材只给出了一种拼法，浙教版教材给出了两种拼法。浙教版教材这样设计的目的是为了体现与其他教材的差异，还是突出数学的“奇妙”与“巧合”？在学生根本不具备基础时就是告诉学生沿中位线剪开后拼起来，恐怕也仅仅是操作而已。值得指出的是，浙教版教材在第63页（图11）的第4题中为这种割补法做了铺垫，这还是有利于学生的学习和探讨的。
2.转化为特殊的平行四边形——长方形
北师大版教材（图1）从转化成已学过的平行四边形及其特殊情况——长方形的方向入手，有利于学生动脑和发散性思维的培养。从图中可以看出，其方法是作一锐角三角形底上的高，垂足将底分成两线段，在高的两边分别以高和一线段为邻边作两个小长方形，继而合成一个长与宽分别为三角形的底和高的较大的长方形。可是这种作法仅适用于锐角三角形，而对于直角和钝角三角形来说，除非以最长的边为底，其他情况皆不适用。再者，这种方法学生恐怕很难探究出来，就是告诉学生怎么做，可能都有一定的难度。当然，这种转化方法也可以看成是将两个一样的三角形中的一个沿高线剪开，然后拼在另一个三角形上，构成一个长方形。可教材图上的虚线表明是作辅助线，显然不是这个方法。
其实，将一个三角形转化成长方形还有别的方法：先将三角形的一个角（直角或钝角三角形就取最大角）沿它两边上三角形的中位线折叠到对边上，再将其他两个角折叠后拼成一个平角，便折叠出了两个一样的，长、宽分别为三角形底与高一半长度的长方形。（本文仅展示一种三角形的一种折叠方法;如图12所示）。这样，一个一般的锐角三角形纸片可以折叠出三个不同长和宽的长方形;一个一般的直角或钝角三角形纸片，从最大角往对边折叠可以折叠出一个长方形。四年级下册的青岛版、北师大版、苏教版、西师大版教材，都是利用此方法验证三角形内角和等于180。（可参考研究（二））。令人遗憾的是，这几个版本的教材在三角形的面积部分的内容没有与此方法联系起来，前后知识出现割裂。 另外，浙教版教材第63页（图11）第3题给出了两种出自《九章算术》的刘徽利用出入相补原理或以盈补虚方法（也可通俗地称割补法）计算面积时提出的方法，看起来是为面积的学习做铺垫，但面积部分却没有出现，这也是割裂了知识。当然，这两种方法的难度较大，不出现是可以理解的。人教版、苏教版、冀教版教材可能就是考虑到这点，把这两种方法作为阅读材料介绍给学生。
二、转化方法的教学实验分析
笔者在进行备课时，研读了各版本教材，并做了相关分析，且有计划地在所教两个班（每班45人，共90人）中进行了教学实验。由于学校在升入五年级前的暑假把原先的大班改成小班，按成绩重新分班，故以此两班为样本可以代表本学校的整体情况。
1.转化为一般的平行四边形的实验
在不提示用两个一样的三角形去拼，也不提示沿三角形两边中点的连线剪开再拼的情况下，给每个学生准备了一样的三角形纸片5张（为了避免学生拿2张一样的直接拼），提出可以通过剪拼将三角形转化为平行四边形，且方法越多越好。由于这两种方法对不同种类的三角形都适用，故没做区分（时间6分钟）。
实验结果：将两个一样的三角形拼成一个平行四边形的学生中，两个班共有19人，占总人数的21.11%，有8人表示早已拼过;而沿三角形两边中点的连线剪开再拼成平行四边形的仅3人，占总人数的3.33%，且询问得知3人都早已做过。由此可见，在不提示、不明确说明怎么做的情况下，就是给学生准备了材料，大多数学生还是不能转化，因为他们想不到这样去做。
然后，笔者利用“把一个平行四边形分成两个一样的三角形”启发引导，结果在3分钟之内，能将两个一样的三角形拼成一个平行四边形的学生就达到了82人，占总人数的91.11%。由此看来，在把一个平行四边形分成两个一样三角形的启发下，再将两个一样的三角形拼成一个平行四边形就比较容易了。这说明大部分学生还是能够进行逆向思维的。
另外，对于割补三角形转化成平行四边形，在明确提出可沿三角形两边中点的连线剪开后再拼，3分钟后就有43人拼了出来，占总人数的47.78%，可见还是有一定难度。
2.转化为长方形的实验
给每个学生准备了一样的锐角三角形（为了降低难度）纸片2张，提出可以通过折叠或剪拼，也可以画线，将三角形转化为长方形，且给出的方法越多越好（时间6分钟）。
实验结果：两个班的学生，通过折叠3个角拼成平角，从而拼成两个一样的小长方形的有74人，占总人数的82.22%。这应该与学生在四年级下册有过折叠的经历有极大的关系，因青岛版教材四年级下册有此拼法。这说明已有知识和方法迁移的重要性。
令人遗憾的是，两个班共90人中竟没有一个学生能给出北师大版教材的方法。在展示教材中的結果图（不说明怎么去做）后，再让学生去操作，3分钟后，也仅有11人（占总人数的12.22%）将两个一样的三角形中的一个沿高线剪开，然后拼在另一个三角形上，得到了教材中图示的长方形，而没有一个人通过做辅助线将三角形转化成长方形。由此可见，这种方法的难度太大。
三、建议
1.探究活动设计应注意引导启发
将两个一样的三角形拼成一个平行四边形的方法，直接告诉学生怎么操作，不仅不能促进学生思考，还使学生感到数学就是一种巧合现象，进而对数学产生恐惧感。如果从“把一个平行四边形分成两个一样的三角形”出发，引导学生逆向思考，既能培养学生的逆向思维能力，还能使学生弄清楚方法的来源。因此，探究活动应以引导启发为主，而不是让学生机械操作。
2.探究活动设计应注意前后知识间的联系
设计探究活动时，首先应该了解前面的知识内容与涉及的有关方法，使新知识和方法的学习建立在原有知识和方法的基础之上。如，借助四年级下册三角形内角和的验证方法，把三角形的三个角折叠拼成平角，进而转化成两个一样的长方形来推导三角形的面积公式，学生不仅好懂好理解，还能建立知识间的联系，有利于知识与方法的融合。
另外，如果设计新的方法让学生探究，最好在前面早做铺垫，以利于学生的探究。这一点，浙教版教材就处理得比较好。
3.学生欠缺知识基础或难度比较大的方法最好放在阅读内容中
上面提到的刘徽给出的两种割补法，及沿三角形的中位线剪开拼成平行四边形的方法，由于学生欠缺三角形中位线的知识基础，且难度比较大，将其放在阅读内容中，或作为课后思考题，让学有余力的学生自己去探究还是有意义的，人教版、苏教版、冀教版教材的处理值得肯定。另外，北师大版教材中利用做辅助线的方法将三角形转化成长方形的方法也应该放入阅读内容中，或作为课后思考题让学生探究。
综上所述，关于三角形面积的推导中，将两个一样的三角形拼成一个平行四边形的探究方法，如果引导到位还是非常可取的;四年级下册教材设计有折叠三角形三个内角拼成平角的，再设计转化成长方形来推导面积公式也是相当不错的。因为这样转化的方向就不只是平行四边形，这么一来就可培养学生的发散性思维，毕竟学生已学了平行四边形极其特殊情况——长方形。另外，存在几种不同情况时，探究设计最好能考察到所有情况，进行完全归纳得到科学的结论。
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