矩阵不等式在矩阵理论中有着非常重要的地位，从某种意义上矩阵不等式有着比等式更重要的用处。本文主要研究的是矩阵迹不等式及Bellman 猜想相关的不等式，同时我们通过两种方法将一些迹不等式推广到算子理论范畴。　　 全文共由三章组成，第一章简单介绍了研究背景、基本概念和符号；第二章主要介绍了Bellman 猜想相关的迹不等式及其改进和推广形式，同时还得出了矩阵迹的其他不等式，并从不同形式和不同方向上对所得出的迹不等式进行了归纳、总结、比较和优化；第三章介绍了算子迹的一些不等式，首先用很初等的方法证明了Hilbert 空间中有关Bellman 猜想的不等式，其次是用通用方法将矩阵迹的一些不等式推广到算子理论中，即为利用有限维空间的已知不等式及算子迹的结论，便可将其很容易推广到无穷维Hilbert 空间中，从而大大减少了复杂而重复的证明。