【摘 要】
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随机延迟微分方程在日常生活以及各个科学领域中都发挥着极为重要的作用。由于大多数随机延迟微分方程很难得到解析解,因此构造它们的数值解以及研究数值解的收敛性和稳定性尤为重要。Heun方法是一类高效数值方法,对其漂移项进行改进后可以得到θ-Heun方法。因为此方法有着稳定性更高的优点,所以研究θ-Heun方法是有一定意义的。本文针对几类不同的随机延迟微分方程,分析了θ-Heun方法的稳定性,主要内容如下
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随机延迟微分方程在日常生活以及各个科学领域中都发挥着极为重要的作用。由于大多数随机延迟微分方程很难得到解析解,因此构造它们的数值解以及研究数值解的收敛性和稳定性尤为重要。Heun方法是一类高效数值方法,对其漂移项进行改进后可以得到θ-Heun方法。因为此方法有着稳定性更高的优点,所以研究θ-Heun方法是有一定意义的。本文针对几类不同的随机延迟微分方程,分析了θ-Heun方法的稳定性,主要内容如下:1、给出了求解随机延迟微分方程的θ-Heun方法。针对一维线性随机延迟微分试验方程,当其系数满足其解为大范围随机稳定的条件时,本文选择了服从两点分布的随机变量近似数值方法中的维纳增量,研究了θ-Heun方法的T-稳定性,并得到了相应的T-稳定性条件。最后的数值试验验证了所得结论的正确性。2、给出了一般非线性随机延迟微分方程数值方法的各类稳定性概念。研究了求解非线性随机延迟微分方程初值问题的θ-Heun方法的均方指数稳定性、GMS-稳定性和MS-稳定性,并得到了当方程满足一定条件时θ-Heun方法相应的稳定性条件。最后的数值试验验证了所得结论的正确性。3、给出了求解Poisson跳的随机延迟微分方程的θ-Heun方法。根据随机变量序列的性质,研究了求解Poisson跳的随机延迟微分方程θ-Heun方法的几乎处处指数稳定性和MS-稳定性,并得到了当方程满足一定的条件时,在一定步长范围内,θ-Heun方法是几乎处处指数稳定以及MS-稳定的理论结果。最后的数值试验验证了所得结论的正确性。
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