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该文主要研究某些半群的同余,其主要思想是把核和迹的定义推广,再加上某些条件,给定了同余对的概念,我们的目的是找到同余和同余对之间的一一对应.全文共分两章.第一章主要对正则半群的LR-正规orthogroup同余进行了构造和描述.在这一章里,先定义了正则半群S的LR-正规orthogroup同余对(ξ,K),它是由S的一个正规子半群K及〈E(S)〉上的LR-正规带同余ξ组成的对,并且对 a,b∈S,a′∈V(a),x∈(E(S)〉,满足(A)xa∈K,(x,aa′)∈ξ→a∈K(B)ab∈K,(aa′,bb′)∈ξ→axb∈K(C)a∈K→(axa′,aa′x)∈ξ,或(a′xa,xa′a)∈ξ(D) a∈S,a<-1>∈V(a)有(aa<-1>,a<-1>a)∈ξ.利用这样的同余对(ξ,K),我们可以定义S上的关系ρ(ξ,K)(a,b)∈ρ(ξ,K)a<-1>b∈K且(aa<-1>,bb<-1>)∈ξ(*)还证明了正则半群S的任意LR-正规orthogrouρ同余ρ的kerρ和超迹htrρ(=ρ|〈E(S)〉)组成的对(htrρ,kerρ)是它的LR-正规orthogroup同余对,并且ρ=ρ(htrρ,kerρ).进而得到:正则半群上的LR-正规orthogroup同余的集合到LR-正规orthogroup同余对的集合之间的一一对应.第二章主要对π-纯正半群的r-半素矩形群同余进行了构造和描述,在这一章里,先定义了π-纯正半群S的r-半素矩形群同余对(ξ,K),它是由S的一个正规子半群K及E(S)上的矩形带同余ξ组成的对,Va,b∈S,a∈V(r(a)),e∈E(S)(A)Va ∈ RegS, a′ ∈ V(a), e ∈ E(S), 由 ea ∈ K, 且 (e, aa′) ∈ ξ→ a ∈ K(B)Va,b ∈ RegS,e ∈ E(S), 由 ab ∈ K → aeb ∈ K(C)Va ∈ S, a′ ∈ V(a), 由 r(a) ∈ K →a, a′ ∈ K(D)Vx, y, a, b ∈ S, 若(r(x)r(y))′ ∈ V(r(x)r(y)), 使(r(x)r(y))′r(a)r(b)) ∈ K, 则, (r(xy))′ ∈ V(r(xy)),使得 (r(xy))′r(ab) ∈ K.(E) r(ab)′∈V(r(ab)),(r(a)r(b))′∈V(r(a)r(b)),使得r(ab)r(ab)′ξ r(a)r(b)(r(a)r(b))′设(ξ,K)是如上定义的r-半素矩形群同余对,在π-纯正半群S上定义关系ρ(ξ,K)如下(a,b)∈ρ(ξ,K)( a′∈V(r(a)))( b′∈V(r(b)))a′r(b)∈K(r(a)a′,r(b)b′r(a)a′)∈ξ(b′r(b),b′r(b)a′r(a))∈ξ还证明了π-纯正半群S的任意r-半素矩形群同余ρ的核kerρ和迹trρ组成的对(trρ,kerρ)是它的r-半素矩形群同余对,并且ρ=ρ<,(trρ,kerρ)>.进而得到:π-纯正半群的r-半素矩形群同余的集合到r-半素矩形群同余对的集合之间的一一对应.