函数的惟一性理论主要是探讨在何种情况下只存在一个函数满足给定的条件.我们知道确定一个超越亚纯函数与多项式的条件是完全不同的.因此，亚纯函数惟一性问题的研究就显得特别复杂、重要和有趣，涉及亚纯函数惟一性的理论研究起源于芬兰数学家R.Nevanlinna所创立的值分布理论，它奠定了现代亚纯函数惟一性理论的基础，而且对数学许多分支的发展、交叉和融合产生了重大而深远的影响.亚纯函数惟一性理论是近几十年来在国际上比较活跃的课题，随着研究的不断深入和发展，它被赋予了更加丰富的研究内涵.在Nevanlinna本人的得到的5IM公共值理论与4 CM公共值理论的基础上，我国数学家熊庆来和杨乐等在这一方面取得了许多深刻的结论.国外的数学家如F.Gross、W.Hayman等也在该领域做出了许多非常出色的研究成果. 近二十多年来，仪洪勋教授等主要致力于这方面的研究，1994年，他完全解决了F.Gross提出的一个困惑人们多年的著名问题，并在亚纯函数惟一性理论方面取得了一系列具有创造性的成果，有力地推动了亚纯函数惟一性理论研究的开展. 本文主要是作者在导师吕巍然教授的精心指导下，所完成的部分研究工作.全文共分四章. 第一章，简要介绍了与本文有关的亚纯函数值分布理论中的一些主要概念，基本结果和常用记号. 第二章，研究了一类非齐次线性复微分方程解的增长性，证明了下列结果. 定理A微分方程f"+e-Zf+p1（z）e-Zf= P2（Z）的任意非零解f（z）都满足ρ（f）=∞，其中p1（z）为级小于1/2的超越整函数，P2（z）为级小于1的整函数. 第三章，讨论了一类微分多项式分担公共值的亚纯函数惟一性理论，改进了S.S.Bhoosnurmath、R.Dyavanal与张晓宇，林伟川等人得到的结论，证明了下列定理. 定理B假设f（z），g（z）为两个超越亚纯函数，n，k，m为正整数，满足不等式n>9k+6m*+13.如果[fn（z）（μfm（z）+λ）]（k）和[gn（z）（μgm（z）+λ）（k）分担1IM，其中λ和μ为常数，且｜λ｜+｜μ｜≠0，并且f，g分担∞IM，则 （1）若λμ≠0，则当m>1且（n，n+m）=1时，有f≡g：当m=1且Θ（∞，f）2/n时，有f≡g. （2）若λμ=0，则有f=tg，其中t为常数，满足tn+m*=1，或f=c1ecz，g= c2e-cz，其中c1，c2和c为常数，且满足 （-1）kλ2（c1c2）n+m*[（n+m*）c]2k=1或（-1）kμ2（c1c2）n+m*[（n+m*）c]2k=1. 定理C假设f（z），g（z）为两个超越亚纯函数，n，k，m为正整数，且满足不等式n>9k+4m+15.若[fn（z）（f（z）-1）m]（k）和[gn（z）（g（z）-1）m]（k）分担1IM，且f，g分担∞IM，则有f≡g或f，g满足方程R（f，g）≡0，其中R（ω1，ω2）=ω1n（ω1-1）m-ω2n（ω2-1）m. 第四章中，研究了一类亚纯函数及其导数分担一个公共值的惟一性问题，改进了已知的结果，得到了几个结论， 定理D设F（z），G（z）为两个非常数的亚纯函数，k为正整数，若F（k）和G（k）分担1CM，且 （k+4）Θ（∞，F）+2Θ（0，F）+2δk+1（0，F）>k+7， （k+4）Θ（∞，G）+2Θ（0，G）+2δk+1（0，G）>k+7，则F（k）G（k）≡1或者F≡G。 定理E设F（z），G（z）为两个非常数的亚纯函数，k为正整数，如果F（k）和G（k）分担1IM，且 （4k+7）Θ（∞，F）+2Θ（0，F）+5δk+1（0，F）>4k+13， （4k+7）Θ（∞，G）+2Θ（0，G）+5δk+1（0，G）>4k+13，则F（k）G（k）≡1或者F≡G。