【摘 要】
：
有限域上的置换多项式是有限域理论的重要组成部分,它们在密码学、编码学、组合设计等领域都有着广泛应用.例如,美国安全加密标准AES算法中S-盒（对称密码算法中的唯一非线性组件）使用的逆函数,就是有限域F28上的一个非线性置换.在数学和密码学的实际应用中,往往要求置换具有简单的代数表达形式或者优良的密码学性质,比如低差分一致性、高代数次数、高非线性度等.因此,构造有限域上具有优良性质的置换多项式具有重
论文部分内容阅读
有限域上的置换多项式是有限域理论的重要组成部分,它们在密码学、编码学、组合设计等领域都有着广泛应用.例如,美国安全加密标准AES算法中S-盒（对称密码算法中的唯一非线性组件）使用的逆函数,就是有限域F28上的一个非线性置换.在数学和密码学的实际应用中,往往要求置换具有简单的代数表达形式或者优良的密码学性质,比如低差分一致性、高代数次数、高非线性度等.因此,构造有限域上具有优良性质的置换多项式具有重要的理论意义和实际应用价值.在国内外现有研究成果的基础上,本文构造了有限域上大量的置换多项式.我们的结果不仅丰富了已知的置换多项式类,还为新的置换多项式构造研究提供了方法和思路.为了保证所构造的置换多项式代数次数尽量高,我们限定这些置换多项式是非线性的.本文的主要工作和研究成果如下:（1）具有线性化结构的置换易于工程实现,而来源于Kloosterman和恒等式的多项式就和线性化多项式密切相关.基于AGW准则,我们系统地研究了有限域上来源于 Kloosterman和恒等式的形如（xpm-x+δ）s1+（xpm-x+δ）s2+x的多项式的置换性质,并得到了两类上述置换.我们的结果丰富了已知的置换多项式类,同时也推广了前人的一些工作.（2）完全置换多项式是一类特殊的置换多项式.与置换多项式的构造相比,完全置换多项式的构造方法似乎更有限,并且已知的完全置换多项式类也更少.我们构造了两类有限域上基于线性化多项式的完全置换多项式,即基于迹函数的完全置换多项式和形如axpm+bx+h（xpm±x）的完全置换多项式.利用AGW准则,我们建立了这两类完全置换多项式与其子集上置换的关系,并通过研究其子集上的置换多项式,得到了丰富的完全置换多项式类.（3）Niho指数是偶数维有限域上构造置换多项式的一个重要参数,因此具有Niho型指数的置换多项式构造一直备受关注.本文研究了具有Niho型指数的完全置换多项式.利用AGW准则,我们构造了有限域上完全置换三项式、完全置换五项式,以及具有分数形式和分段形式的完全置换多项式.此外,借助已知置换三项式的相关工作,我们给出了一些三项式是完全置换的充要条件.（4）Dickson多项式中往往包含丰富的置换多项式类,因此它们的置换性质广为学者关注.对于第二类Dickson多项式,其在奇特征有限域Fpm上是置换的充要条件有一个著名的猜想.迄今为止,人们只给出了m=1,2时的证明.由于第二类Dickson多项式可以写成两类广义Lucas多项式的乘积,因此,我们研究了这两类广义Lucas多项式在奇特征有限域上的置换性质,希望能找到验证上述猜想的方法.最终,我们得到了这两类多项式是奇特征有限域上置换的必要条件,并完全刻画了它们在奇特征素数域上的置换性质.
其他文献
置换多项式有着将近一百六十年的研究历史.上世纪以来,具有特定形式或者较少项数的置换多项式一直深受专家学者的青睐.因此置换三项式凭借简单的代数形式及优良的密码性质,在密码算法设计中广受关注.近年来,关于置换三项式的研究取得一系列进展,但是密码学、编码学和组合学等领域的迅猛发展又为置换多项式提出了许多新的研究问题,构造新的置换三项式依然是十分艰巨的任务.本文将研究一类稀疏置换多项式的构造,主要的研究成
平均曲率流是过去四十几年几何专家学者们感兴趣的热门研究专题之一,非参数化平均曲率型流是平均曲率流理论研究的重要内容,许多国内外学者从事非参数化平均曲率型流的相关研究,取得了不少重要的研究成果.在本文中,我们研究了乘积流形Mn×R中的图超曲面沿着具有非零Neumann边值条件的非参数化平均曲率型流的演化过程（这里,Mn表示9）维（n≥2）完备黎曼流形,R为1-维欧几里得空间),并在适当的约束条件下成
量子纠缠与量子关联是量子理论的重要特性,是当今量子信息科学应用的重要资源。因此,吸引了国内外研究人员的广泛关注。量子信息任务及量子计算方案的实现,需要依托于物理实在,具有实际材料背景的多体体系成为主要研究对象。对多体体系中的量子纠缠与量子关联的研究主要集中于三方面:一,采用量子信息理论中的工具以及方法研究多体系统的性质,利用量子纠缠与量子关联研究量子相变问题是其中的一个研究热点。二,通过调控多体体
本文讨论了欧氏空间中自仿集在不同分离条件下的Hausdorff维数和盒维数.用开集条件代替强分离条件,我们证明了 Falconer的Hausdorff维数的下界估计是有效的.全文共分为三个部分.第一部分介绍了问题产生的背景和意义.然后给出了一些基本概念,符号和已知引理.特别地,我们回顾了非奇异线性压缩映射的奇异值函数的定义和一些基本性质.在第二部分,我们回顾了 Falconer关于自仿集的Haus
线性码的重量分析一直是纠错编码研究中的一个重要课题.线性纠错码的重量和完全重量分布不仅刻画了码的纠错能力,而且有助于对信息传输过程的出现错误的分析和计算.近年来,由于权重较少的线性码在秘钥共享、强正则图、结合方案和认证码等研究领域的应用引起了很多学者的广泛研究.设Fpm是含有pm个元的有限域,m,k和l是正整数.在本文中,我们研究了线性码其中通过运用有限域上的二次型理论和一些特殊的Weil和,我们
社交网络上信息、病毒的传播,生活中传染病的爆发,都是我们常见的传播过程.传播过程可以看成是实现信息全覆盖的过程,而病毒、传染病的传播会给社会造成不好的影响,因此研究如何确定信息全覆盖的最短时间是非常有必要的.2014年,Bonato等人最早提出了图的燃烧这一概念,用图的燃烧过程来反映传播过程,用图的燃烧数来反映传播速度.设图G=（V（G）,E（G））的燃烧序列为（x1,x2,…,xk）,即Nk-1
拟对称映射如何影响集合的维数是拟对称映射研究的一个热门方向,其发展和结果也逐步丰富完善.尤其是关于拟对称极小集的研究我们比较关注.直线上的拟对称极小集的结果已经比较丰富,1-维齐次均匀Cantor集[18][38]、一类1-维Moran集[8]、一类1-维数字限制集[7]都是直线上的拟对称极小集.高维满维集是拟对称极小的[16],平面上的一类1-维“天线”型的自相似集是拟对称极小的[4][42].
图的燃烧是一个重要的课题,是一个确定性的离散时间图过程,它可以解释为社交网络中影响力传播的模型,主要涉及病毒的传播,消息的传播等.图G的燃烧数是燃烧过程中的最小步骤数,已有结论表明,图燃烧问题即使对于树和路森林这两种结构简单的图类来说也是NP完备的.因此,确定一种图类的燃烧数是很有意义的.本文主要研究k-仙人掌图燃烧数的界,并根据已有结论:包含至多三个连通分支的路森林的燃烧数,且给出准确值,把这两
解析函数的正规族理论在Riemann映射定理的证明中具有重要作用.同时,它也是复动力系统理论的基础.本文研究拟对称映射的正规族及其在拟对称等价性问题中的应用.在已有成果的基础上,我们给出了拟对称映射族是正规族的几个充分条件.此外,给出了构造拟对称映射的正规族的几种方法.拟对称映射序列的正规性可用于研究空间的拟对称等价性.经常,一个拟对称等价性问题可以归结为构造一列拟对称映射并证明这个拟对称映射序列
有限域上的置换多项式不仅在高级加密标准AES的S盒设计,密钥交换协议以及低差分均匀度密码函数的构造等方面占据重要作用,而且在正交拉丁方和新类型的skew Hadamard差集等数论组合设计研究领域中应用广泛.近年来,大量的有限域上置换多项式的构造方法被相继提出,如AGW准则和开关构造等,这使得有限域上的置换多项式的研究工作取得很大进展.有限域上项数较少的置换多项式有着十分简单的代数表达形式,但是如