本文首先研究图中短圈问题.短圈在许多领域（如：拓扑图论）中扮演很重要的角色.不论在理论上,还是实际应用中,人们往往需要寻找某些类型的短圈.如果最短不可收缩圈的长度足够长,则嵌入图会有许多类似于平面图的性质[37],例如：若G是一个大边宽（最短的不可收缩圈长于最长的面边界）嵌入图,且是一个3-连通图的细分,则G的最小亏格嵌入是唯一的.在图的染色理论中,人们总是对最短圈加以限制,从而导致图的色数降低.例如,如果嵌入图的宽度足够大,那么该图是5色可染的[38].设c1是一个图G的由广探术所产生的基本圈的集合,C2是由所有C1中的两个圈的对称差所组成的集合.我们证明了（1）C=C1∪C2（有O（n6）个元素,其中n为图的点数）包含一个Ⅱ-嵌入图G的一个最短Ⅱ-双侧圈.这就推出存在一个多项式算法用以发现一个嵌入图的一个最短Ⅱ-双侧圈,并且由此解决了由B.Mohax和C.Thomassen提出的公开问题[25p.112].（2）C包含了一个图G的所有可能的最短偶圈,因此在任何一个图中至多存在多项式（O（n6））多个最短偶圈.（3）设C0是一个图G的所有最短圈的集合.则C0∈C.另外,许多类型的最短圈包含在C0（∈C）中.同时无穷多个例子显示：在某些（嵌入）图中可以分别存在指数多个最短奇圈,最短Ⅱ-单侧圈,最短Ⅱ-双侧圈.在本文的第二部分,我们研究Mobius梯子图的1-因子数和3-边染色数.（在证明著名的Heawood的一般曲面上的图的染色问题的猜想的历史上,所有的Kn的三角剖分嵌入都是“人为地”构造出来的（即,由电流图所诱导出来的）,而Mobius梯子图恰好是一类Youngs的电流图的底图.）我们找到这些数的精确公式并且证明了在这类图中有指数多个1-因子和3-边染色（即：1-因子分解数目）.作为应用,我们证明了每一个由Youngs和Ringel的电流图所对应的K12m+7的三角剖分对应有指数多个Grunbaum染色（即,对三角剖分图进行3-边染色,使得每个三角形用到3种颜色）.在本文的第三部分,我们研究K2s+t-1的2-边染色中的同色对集问题.Cockayne和Lorimer8]证明了,在K2s+t-l（s≥t≥1）的任何一个2-边染色中,存在一个所有边都同色的s-对集（人们称这样的对集为单色对集）或另一个颜色的t-对集.我们证明了这样的单色对集的数目是指数多个,由此加强了Cockayne和Lorimer的上述结果.我们证明了：在K2s+t-1（s≥t≥1）的任何一个2-边染色中,存在至少2[s/2]个相同颜色的s-对集；或至少2[t/2]个另一种颜色的t-对集.此外,我们还证明了：在K2s+t-l（s≥t≥1）的任何一个2-边染色中,存在至少2[t/2]f（n）个相同颜色的s-对集；或至少2[t/2]个另一种颜色的t-对集,其中f（n）=（2n-1）!!,n=s-t.这不仅推广了Erdos etal[13]和Gerencser et al [15]的一个Ramsey数,同时也提高了我们之前的关于这样的对集数目的下界[5].在本文的第四部分,一个曲面上嵌入的赋权图是LEW（大边宽度）-嵌入的,如果每一个不可收缩圈都长于任何一个面的边界Whitney的结果[44]告诉我们,3-连通平面图在平面上只有一个嵌入.Tutte [41]通过对3-连通平面图的面圈的组合描述,得到了Whitney的唯一性定理.为了将上述性质推广到一般的曲面上,Thomassen对于LEW-嵌入做了大量的研究,并成功地将Whitney的唯一性定理在LEW-嵌入的情形下,推广到了一般曲面上[37].在此过程中,Thomassen还证明了存在一个多项式算法,用以判定一个图是否有LEW-嵌入,并且如果有的话,还将给出一个LEW-嵌入.如果允许对图的边进行赋权,那么情形如何呢?为此,Mohar和Thomassen在他们的专著[25p.134-135]中,提出了如下公开问题：是否存在多项式算法用以判定如下问题：（α）给定一个曲面S上的嵌入图G,是否存在一个大边宽-权函数,使得G成为S上的赋权的大边宽嵌入图.（b）给定一个图G,是否存在G的一个嵌入,使得G在该嵌入下,存在一个大边宽-权函数,使G成为赋权的大边宽嵌入图.为此,我们研究了网格图G（α,b）（α≥2,b≥2）和Mobius梯子图Gn（n≥4）赋权的LEW-嵌入问题,证明这两类图分别在环面和射影平面上无赋权的LEW-嵌入,再运用拓扑手术方式构造出可定向曲面Sn和不可定向曲面Nn上的无赋权的LEW-嵌入图.我们的结果表明：对于任意曲面∑,存在一类图,使得该类图,无论怎样给边赋权,在∑上都没有赋权的LEW-嵌入.从而从一个侧面给了问题（a）,（b）一个逼近.