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本论文以凸体为研究对象，主要涉及两个方面的内容：中心对称凸体仿射不变量之比的极值；凸体与平行线网相交的Buffon概率。
[1]中心对称凸体仿射不变量的比的极值
本文属于凸体几何的度量理论中的等周极值问题，所做的工作是利用几何分析的渐近理论、局部理论和积分变换方法研究凸体的度量不等式和极值问题，重点研究凸体的投影体的极值性质。通过定义一个新的中心仿射不变量W(P)[1]，把中心对称仿射不变量之比的极值的结果从中心对称凸多胞形推广到一般的中心对称凸体上去。
[2]凸体与平行线网相交的Buffon概率
本文主要借助于积分几何的方法，通过求几何体的运动测度的比值来求解他们的Buffon概率。
所做的工作包括正三边形和正四边形的Buffon概率问题，以及通过前二者总结的规律推导出的二维凸体中正多边形与平行线网相交的Buffon概率的一般公式。