本博士论文主要研究Lp-Brunn-Minkowski理论中的一些极值问题.本文首先介绍了所属学科的发展历程、研究现状和主要的代表人物以及作者的主要工作.接着研究了关于广义的投影体、相交体、质心体的单调性，然后重点研究了拟Lp-相交体，对偶Lp-John椭球和迷向Lp-表面积测度等. 作者取得的主要研究成果是：(1)关于投影体、相交体、质心体的单调性问题是凸体几何中最基本而又相当重要的问题，其中关于投影体和相交体的单调性问题分别是著名的Shephard问题和Busemann-Petty问题.我们将原有的结果推广到广义的投影体、相交体、质心体上，其中广义质心体是在本文中首次定义. (2)给出了拟Lp-相交体的定义并得到了拟Lp-Busemann相交不等式，得到了关于拟Lp-相交体的对偶Brunn-Minkowski不等式，考虑了它的单调性，推广到混合的拟Lp-相交体后得到了关于混合拟Lp-相交体的Aleksandrov-Fenchel不等式.并利用Aleksandrov-Fenchel不等式给出了一个唯一性定理. (3)对于p≥1，获得了一族对偶Lp-John椭球EpK，这族椭球包括了两个在凸体几何与局部理论中都相当重要的椭球：L(o)wner椭球JK和Legendre椭球Г2K，事实上，有E∞K=JK,E2K=Г2K.并且证明了对偶Lp-John椭球与Lp-质心体之间存在着John包含关系。这个结果与Lutwak，Yang和Zhang的《Lp-John椭球》形成了一种完美的对称. (4)应用Lp-John椭球及对偶Lp-John椭球的性质得到了一系列关于Lp-投影体、Lp-质心体的体积不等式，如Lp-Petty投影不等式和Lp-质心体不等式的逆向形式的不完全精确形式，并且得到了Lp-John椭球的另一种形式的包含关系，另外我们利用John基给出了Lp-型Loomis-Whitney不等式以及Pythagorean不等式. (5)研究了迷向Lp-表面积测度，证明了相同体积凸体的Lp-表面积在仿射变换下达到最小当且仅当此凸体的Lp-表面积测度是迷向的，对于Lp-表面积迷向的凸体将其Lp投影体的极体按其Lp-表面积给出了上下界估计，并且得到了Lp-等周不等式及其逆向形式.对于1≤p≤2时给出了Lp-表面积迷向位置的稳定性.