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《小学教学参考》(数学版)2007年第11期发表了周胜发老师题为《巧用借的策略解题举隅》的文章，拜读之后受益匪浅。我对文中选用的四道例题尤为喜爱，它们既充满童趣，又发人深思。但对其中两道例题的解答有不同的看法，特借贵刊一角与周老师商榷，不当之处，敬请指正。
例1 甲、乙、丙、丁四人同路旅游，他们拿出同样多的钱合买一些饮料和食品，准备在游玩时食用。但由于甲少喝了4瓶饮料，其他3人各自拿出3.6元钱给甲。问买回的饮料是多少钱一瓶?
这道题的背景是学生喜爱的旅游活动。周老师是这样解答的：甲少喝4瓶饮料，就当作先借给他人，现在还给甲4瓶饮料，那么甲应与其他3人一样，也要拿出3.6元，则4瓶饮料为3.6×4=14.4(元)，所以每瓶饮料是14.4÷3=4.8(元)。
初读周老师的解答，没能理解，再读还是不得要领，这引起了我的重视。是自己头脑愚笨，还是周老师说理不透，或解答有问题?好奇心催我拿起笔，试着解答起来。
根据题意，我首先画出了如下线段图：
由上面线段图可知，乙、丙、丁各比甲多得4瓶饮料。4人未能公平分配。为了让分配公平，有如下两个方案：一是将乙、丙、丁3人多分得的饮料(共4×3=12瓶)拿出来重新分配，每人该分得12÷4=3(瓶)，这样乙、丙、丁每人多得4-3=1(瓶)，他们应将多分得的饮料退给甲；第二个方案是，乙、丙、丁不退出多得的1瓶饮料，而改付给甲1瓶饮料的钱。
由题意可知，乙、丙、丁3人是采用第二个方案的，即他们都没有把多得的1瓶饮料退给甲，而是各自付给了甲3.6元作为等值补偿。因此，每瓶饮料3.6元，而周老师得到的答案是每瓶4.8元!
解答完题目后，我陷入了深思：周老师的解答问题究竟出在哪?该如何修正?对我们今后解题教学有何启示?于是，我再次研读周老师的解答。
细心的读者不难发现，周老师解答的关键是把“甲少喝的4瓶饮料，就当作先借给他人”。从这个假设出发，我们不难得出，乙、丙、丁3人只分得了他们各自该分得的饮料。甲少喝4瓶饮料的原因是他把自己分得的饮料借给了他人(一定不是借给乙、丙、丁3人，否则他们3人就各自比甲多得4 4/3瓶饮料，和已知条件矛盾)。这样，乙、丙、丁当然不会付钱给甲。而原题是说“由于甲少喝4瓶饮料，其他3人各自拿出3.6元给甲”，这句话的弦外之音是：甲少喝的4瓶饮料是由于乙、丙、丁多喝导致的，他们当然愿意付钱给甲。由此可知，周老师的假设和原题的题意出现了偏差，从而导致解题失误。这个例子告诉我们，用“借”的方法解题，不能和原题意矛盾。
经探索，我发现只要对周老师的解法略作调整，解法立即通俗易懂。如下：
题中告诉我们，甲比其他3人少分4瓶饮料，可以假设他们4人以集体名义借来4瓶饮料(不是周老师说的以甲自己的名义借出4瓶饮料)，并都分给甲。这样，甲分得的饮料数就和其他3人的饮料数相同了。为体现分配公平，甲应该把其他3人给的3.6×3=10.8(元)退出归4人共有。还要再拿出3.6元也归4人共有。由此可知，4人比原来共多得了4瓶饮料，共多付出10.8 3.6=14.4(元)，因此每瓶饮料为14.4÷4=3.6(元)。
再者，创设如下问题情境，学生理解起来也很容易。其解法和周老师的解法也更为接近。如下：
假设甲、乙、丙、丁4人平均分完饮料后，路上遇王大爷，4人决定送4瓶饮料给他(每人送出1瓶)，但在实际送时。4瓶饮料都是由甲代付的。这样，甲就比乙、丙、丁每人各少得4瓶饮料和原题意表达“甲比其他3人少得4瓶饮料”的语境实质相同)。这样，为保证分配公平，乙、丙、丁每人应付给甲与1瓶饮料价格等值的3.6元钱，因此每瓶饮料这3.6元。
当然，本题若用方程解法更为简单。
设乙、丙、丁每人实际得到的饮料瓶数比应得的多x瓶。则甲实际得到的饮料数比应得的少3X瓶。由此可知。乙比甲多得(3X X)瓶。依题意得：
3x x=4
X=1
这就是说，乙多得1瓶饮料，而他为此多付出了3.6元。因此每瓶饮料为3.6元。
当然。本题还有许多其他解法，限于篇幅不一一列举。
比较上面各种解法，我们可以看出，基本的解法简单易懂。富有技巧性的解法反而不利于学生的理解。因此。教师在选择解法于课堂教学时，要注重通法，淡化特技。
例2 悟空偷来一些仙桃，先分给师傅一些后，还剩下13个仙桃师兄弟三人分。师傅为了测试三个徒弟的智慧，于是提出这样的要求：其中两人分得1/3，一人分得1/5。由于八戒不懂算术，认为分得桃子的1/5多，就争着要1/5的桃子。八戒是否分得最多?应怎么分?
这是一道很受学生欢迎的数学趣题。周老师提供的解法是：由于13不能被3和5同时整除，所以采用一般方法不易把13个桃子按要求分开。如果从他们的师傅那里借来2个桃子，使分配总量变为15，15同时能被3和5整除。则悟空和沙僧各分得桃子15×1/3=5(个)，八戒分得桃子15×1/5=3(个)。分好后正好剩下15-13=2(个)桃子，再还给师傅。
乍一看，该题采用先借2个桃子然后再还回的方法。巧妙地解决了分桃子难题。思维独特，技巧高超，令人拍案叫绝。但细细品味，却怎么也高兴不起来。大家不妨算算，如果答案正确，那么八戒分得了剩余桃子的3÷13=3/13，这不是他该得的1/5!悟空和沙僧各分得了剩余桃子的5÷13=5/13，这也不是他们各自该得的1/3
为什么会出现这种情况呢?细细揣摩，不难看出，问题恰恰出在那个“充满智慧”的“借”的方法上。那个初看叫人拍案叫绝的“先借后还”方法，用在本题时，却改变了题意。事实上，按照题意要求，八戒本该得到13个桃子的1/5，而借来2个桃子后，他却得到了15个桃子的1/5。同样，悟空和沙僧本该各得到13个桃子的1/3，借来2个桃子后，他们也各得到了15个桃子的1/3。这都和原题意出现了理解偏差，在“不知不觉”中改变了题意。
这个例子再次说明，我们用借的方法去解题时，要忠于原题意。不能“借”后使原题意发生改变。否则，很可能出现类似于上面两个例题的错误。
注：原文中的例2和下面的“分牛问题”实质相同：“古代有一位老人。在临终前嘱咐他的三个儿子：他已不久于人世了，家里没有什么东西给你们留下，只有畜牧场上的19头耕牛。你们三人分吧，老大分得总数的二分之一，老二分得总数的四分之一，老三分得总数的五分之一，但不许把牛杀掉或卖掉。”
关于这个“分牛问题”的讨论，很多刊物已发表过相关的文章，感兴趣的读者可以去查阅，相信你一定有很大的收获。
例1 甲、乙、丙、丁四人同路旅游，他们拿出同样多的钱合买一些饮料和食品，准备在游玩时食用。但由于甲少喝了4瓶饮料，其他3人各自拿出3.6元钱给甲。问买回的饮料是多少钱一瓶?
这道题的背景是学生喜爱的旅游活动。周老师是这样解答的：甲少喝4瓶饮料，就当作先借给他人，现在还给甲4瓶饮料，那么甲应与其他3人一样，也要拿出3.6元，则4瓶饮料为3.6×4=14.4(元)，所以每瓶饮料是14.4÷3=4.8(元)。
初读周老师的解答，没能理解，再读还是不得要领，这引起了我的重视。是自己头脑愚笨，还是周老师说理不透，或解答有问题?好奇心催我拿起笔，试着解答起来。
根据题意，我首先画出了如下线段图：
由上面线段图可知，乙、丙、丁各比甲多得4瓶饮料。4人未能公平分配。为了让分配公平，有如下两个方案：一是将乙、丙、丁3人多分得的饮料(共4×3=12瓶)拿出来重新分配，每人该分得12÷4=3(瓶)，这样乙、丙、丁每人多得4-3=1(瓶)，他们应将多分得的饮料退给甲；第二个方案是，乙、丙、丁不退出多得的1瓶饮料，而改付给甲1瓶饮料的钱。
由题意可知，乙、丙、丁3人是采用第二个方案的，即他们都没有把多得的1瓶饮料退给甲，而是各自付给了甲3.6元作为等值补偿。因此，每瓶饮料3.6元，而周老师得到的答案是每瓶4.8元!
解答完题目后，我陷入了深思：周老师的解答问题究竟出在哪?该如何修正?对我们今后解题教学有何启示?于是，我再次研读周老师的解答。
细心的读者不难发现，周老师解答的关键是把“甲少喝的4瓶饮料，就当作先借给他人”。从这个假设出发，我们不难得出，乙、丙、丁3人只分得了他们各自该分得的饮料。甲少喝4瓶饮料的原因是他把自己分得的饮料借给了他人(一定不是借给乙、丙、丁3人，否则他们3人就各自比甲多得4 4/3瓶饮料，和已知条件矛盾)。这样，乙、丙、丁当然不会付钱给甲。而原题是说“由于甲少喝4瓶饮料，其他3人各自拿出3.6元给甲”，这句话的弦外之音是：甲少喝的4瓶饮料是由于乙、丙、丁多喝导致的，他们当然愿意付钱给甲。由此可知，周老师的假设和原题的题意出现了偏差，从而导致解题失误。这个例子告诉我们，用“借”的方法解题，不能和原题意矛盾。
经探索，我发现只要对周老师的解法略作调整，解法立即通俗易懂。如下：
题中告诉我们，甲比其他3人少分4瓶饮料，可以假设他们4人以集体名义借来4瓶饮料(不是周老师说的以甲自己的名义借出4瓶饮料)，并都分给甲。这样，甲分得的饮料数就和其他3人的饮料数相同了。为体现分配公平，甲应该把其他3人给的3.6×3=10.8(元)退出归4人共有。还要再拿出3.6元也归4人共有。由此可知，4人比原来共多得了4瓶饮料，共多付出10.8 3.6=14.4(元)，因此每瓶饮料为14.4÷4=3.6(元)。
再者，创设如下问题情境，学生理解起来也很容易。其解法和周老师的解法也更为接近。如下：
假设甲、乙、丙、丁4人平均分完饮料后，路上遇王大爷，4人决定送4瓶饮料给他(每人送出1瓶)，但在实际送时。4瓶饮料都是由甲代付的。这样，甲就比乙、丙、丁每人各少得4瓶饮料和原题意表达“甲比其他3人少得4瓶饮料”的语境实质相同)。这样，为保证分配公平，乙、丙、丁每人应付给甲与1瓶饮料价格等值的3.6元钱，因此每瓶饮料这3.6元。
当然，本题若用方程解法更为简单。
设乙、丙、丁每人实际得到的饮料瓶数比应得的多x瓶。则甲实际得到的饮料数比应得的少3X瓶。由此可知。乙比甲多得(3X X)瓶。依题意得：
3x x=4
X=1
这就是说，乙多得1瓶饮料，而他为此多付出了3.6元。因此每瓶饮料为3.6元。
当然。本题还有许多其他解法，限于篇幅不一一列举。
比较上面各种解法，我们可以看出，基本的解法简单易懂。富有技巧性的解法反而不利于学生的理解。因此。教师在选择解法于课堂教学时，要注重通法，淡化特技。
例2 悟空偷来一些仙桃，先分给师傅一些后，还剩下13个仙桃师兄弟三人分。师傅为了测试三个徒弟的智慧，于是提出这样的要求：其中两人分得1/3，一人分得1/5。由于八戒不懂算术，认为分得桃子的1/5多，就争着要1/5的桃子。八戒是否分得最多?应怎么分?
这是一道很受学生欢迎的数学趣题。周老师提供的解法是：由于13不能被3和5同时整除，所以采用一般方法不易把13个桃子按要求分开。如果从他们的师傅那里借来2个桃子，使分配总量变为15，15同时能被3和5整除。则悟空和沙僧各分得桃子15×1/3=5(个)，八戒分得桃子15×1/5=3(个)。分好后正好剩下15-13=2(个)桃子，再还给师傅。
乍一看，该题采用先借2个桃子然后再还回的方法。巧妙地解决了分桃子难题。思维独特，技巧高超，令人拍案叫绝。但细细品味，却怎么也高兴不起来。大家不妨算算，如果答案正确，那么八戒分得了剩余桃子的3÷13=3/13，这不是他该得的1/5!悟空和沙僧各分得了剩余桃子的5÷13=5/13，这也不是他们各自该得的1/3
为什么会出现这种情况呢?细细揣摩，不难看出，问题恰恰出在那个“充满智慧”的“借”的方法上。那个初看叫人拍案叫绝的“先借后还”方法，用在本题时，却改变了题意。事实上，按照题意要求，八戒本该得到13个桃子的1/5，而借来2个桃子后，他却得到了15个桃子的1/5。同样，悟空和沙僧本该各得到13个桃子的1/3，借来2个桃子后，他们也各得到了15个桃子的1/3。这都和原题意出现了理解偏差，在“不知不觉”中改变了题意。
这个例子再次说明，我们用借的方法去解题时，要忠于原题意。不能“借”后使原题意发生改变。否则，很可能出现类似于上面两个例题的错误。
注：原文中的例2和下面的“分牛问题”实质相同：“古代有一位老人。在临终前嘱咐他的三个儿子：他已不久于人世了，家里没有什么东西给你们留下，只有畜牧场上的19头耕牛。你们三人分吧，老大分得总数的二分之一，老二分得总数的四分之一，老三分得总数的五分之一，但不许把牛杀掉或卖掉。”
关于这个“分牛问题”的讨论，很多刊物已发表过相关的文章，感兴趣的读者可以去查阅，相信你一定有很大的收获。