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〓〓在数学抽象归纳能力方面，不同数学能力的学生有不同的差异．具有较强数学能力的学生在收集数学材料所提供的信息时，明显表现出使数学材料形式化，能迅速地完成抽象归纳的任务，同时具有归纳的欲望，乐意地、积极主动地进行概括．
〓〓为了使学生在学习过程中能够不断地适应这一要求，有效地提高自身在这些方面的能力和素质，结合中学数学教学，我侧重于从如下三方面进行培养：由现象到实质，即善于舍弃事物的非本质的细节，抽取问题的实质的能力；运用字母、符号进行推广、推想的能力；由特殊到一般，即化问题的具体提法为一般情况，进而公式化的能力．我又从如下三种途径进行实施：在概念教学中培养学生的抽象能力；在解题教学中培养学生的抽象能力；在章节复习和高考复习中培养学生的抽象能力．
〓〓通过训练使学生明确什么叫做由具体到抽象、由特殊到一般，以及抽象的目标、抽象的方法，明确事物在哪一个点上“抽象”了，从而总结认识一个事物的不断抽象的过程，最终培养学生的概括抽象能力．
〓〓一、“透过现象，抓住实质”的抽象举例
〓〓在概念教学中，大量体现的是这种抽象过程．例如由数字到文字，由常量到变量，由有限到无限的抽象过程，就是中学代数教学过程的三次大的认识思维能力的飞跃．《普通高中新课程标准试验教科书 （数学）》更是体现和突出这一特点，教师教学过程必须领会和实现这一要求．
〓〓近年来，高考中必有一道热门考题应用题，加强考核学生把实际问题抽象成数学问题的抽象能力和解决实际问题的创新能力．把实际问题抽象成数学问题的过程，主要包括审题和联想两个步骤：所谓审题时指认真读题，弄清题设条件和所求结论的实际意义，挖掘隐含条件；所谓联想，是指联想与题目有关的数学知识和数学方法，通过抽象和概括建立数学模型．这个过程是比概念教学难度更大的“透过现象，抓住实质”的抽象过程，可归结为审题——转化——建模——求解——反思的解题教学模式，下面举一例说明．
〓〓例：流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病，某市去年11月份曾发生流感．据资料统计，①11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者都增加50人．由于该市医疗部门采取措施．使该种病毒的传播得到控制．②从某天起，每天的新感染者比前一天的新感染者减少30人．③到11月30日止，该市在这30日内感染该病的患者总共有8670人．④问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数．
〓〓此问题的抽象、建模、求解过程如下：
〓〓（i）阅读理解，抓住本质．留下标号划线的①②③④句，把11月1日到30日分为前n日及后第n 1日至30日止的（30-n）日两段．
〓〓（ii）局部转化，抽象建模．设从11月1日起第n日（n∈N,1≤n≤30）感染此病毒的新患者人数最多．由①从11月1日至第n日止每日感染病毒人数依次成首项a■=20，公差d=50，an=20 50（n-1）的等差数列，前n日总人数为Sn=20n■ ■=25n2-5n；由②从第n 1日起至11月30日止，每日感染人数依次成首项为b■=[20 （n-1）×50]-30=50n-60，公差d’■=-30，项数为（30-n）的等差数列，后（30-n）日的总人数为T30-n=（30-n)（50n-60) ■=-65n2 2445n-14850.
〓〓(iii)整体转化，抽象建模．由③得基本等量关系，有Sn T30-n=8670，即(25n2-5n) (-65n2 2445n-14850)=8670,化简，得n2-61n 588=0,解得n=12，或n=49(舍去).
〓〓第12日的新患者人数为20 （12-1）×50=570.
〓〓（iv）由④作答：11月12日，该市感染此病毒的人数最高，且这一天的新患者人数为570人．
〓〓二、“推广与推想”抽象举例
〓〓在数学教学中培养学生“推广与推想”的抽象能力可从解题教学的“解题反思”中，进行一题多解、多题一解的训练，有计划地变化题目的形式，举一反三，从而使他们由懂得一个问题而熟悉一类问题，提高学生分析问题、解决问题，以及掌握特殊与一般的辩证关系的创新能力和思维品质．下面举一例说明．
〓〓例：式子■分母有理化的推广与推想． 显然■=■=■ ■
特点：■ ■与■-■互为倒数.
〓〓推广：■=■?芎■，n是非负整数；
〓〓■=■?芎■，a是非负实数；
〓〓■=■(■?芎■，a≥0且d＞0.
由上面的推广，继续推想，便可解决如下问题：
〓〓（1）倘若注意到(2 ■)■(2-■)■=1和■·■=■2=■.
不难有：■·■·■=1.
〓〓类似地推广开来，可有：■·■···■■=1.
（2）计算：log■(■ ■)=log■(■-■)■=-1.
同理有：log■(■ ■)=log■(■-■)■=-1（a＞0）.
〓〓log■(■)=1（a≥0 ,ｄ＞0且a=0时ｄ≠1）. 〓〓（3）解方程:(■-■)■=(■ ■)■.
〓〓由上面结论，可得(■ ■)■=(■-■)■
〓〓故3x-7=-7x-3，x=■
〓〓对于 (■-■)■=(■ ■)■a≥0，可仿上法解之．
〓〓三、“特殊与一般”抽象的举例
〓〓若被研究的对象很抽象或困难，一时无从下手，往往可以先将问题特殊化，或者利用图形直观观察，或者用具体数字代替字母验证；或者用有限代替无限；或者把运动问题暂时化为静止状态；或者削弱问题的某些条件限制，即从“特殊化”或“简单化”的情况下寻求问题解决的方法，猜想问题的普遍性结论，分析特殊性与普遍性的内在联系，并在一般性状态下予以解决论证．其典型例子莫过于数学归纳法的原理及其应用．
〓〓例： (2012年武汉市调研试题)设a■是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．
〓〓（1）写出数列a■的前三项；(2)求数列a■的通项公式(写出推证过程).
〓〓解: （1）略解前三项分别为2，6，10．
〓〓（２）解：由前三项猜想数列有通项公式a■=4n-2.
〓〓证明：（a）当n=1时,∵ 4×1-2=2，又由（１）知a1=2,故结论成立．
〓〓（b）假设n=k (n?叟1,k∈N)有ak=4k-2成立．
〓〓由题意,■=■ ,且ak=4k-2，得2k=■,
〓〓解得Sk=2k2，又■=■,
〓〓且S■=S■ ak 1,
〓〓将Sk=2k2代入上式,得(■)=2(ak 1 2k2).
〓〓整理得a2■■-4ak 1 4-16k2=0，由于ak 1＞0，解得ak 1=2 4k=4(k 1)-2，即n=k 1时，结论正确．
根据（a）（b）,可知结论对一切自然数n均成立．
〓〓上面数学归纳法的原理及应用举例，就是典型的由特殊到一般，有限到无限的递推、猜想、证明的概括与抽象的范例．
〓〓在概念教学、解题教学以及高考复习教学中实施对学生抽象能力培养的思路和方法，能使学生对当前高考侧重考核能力和素质的适应性不断增强，取得较好效果．总之，培养学生的抽象归纳能力的方法和形式是多样的，只要教师能根据教材特点，结合学生实际，善于思考学生抽象归纳思维发展的规律，就一定能在教学中培养出抽象归纳能力出色的好学生．
〓〓责任编辑〓罗〓峰
〓〓为了使学生在学习过程中能够不断地适应这一要求，有效地提高自身在这些方面的能力和素质，结合中学数学教学，我侧重于从如下三方面进行培养：由现象到实质，即善于舍弃事物的非本质的细节，抽取问题的实质的能力；运用字母、符号进行推广、推想的能力；由特殊到一般，即化问题的具体提法为一般情况，进而公式化的能力．我又从如下三种途径进行实施：在概念教学中培养学生的抽象能力；在解题教学中培养学生的抽象能力；在章节复习和高考复习中培养学生的抽象能力．
〓〓通过训练使学生明确什么叫做由具体到抽象、由特殊到一般，以及抽象的目标、抽象的方法，明确事物在哪一个点上“抽象”了，从而总结认识一个事物的不断抽象的过程，最终培养学生的概括抽象能力．
〓〓一、“透过现象，抓住实质”的抽象举例
〓〓在概念教学中，大量体现的是这种抽象过程．例如由数字到文字，由常量到变量，由有限到无限的抽象过程，就是中学代数教学过程的三次大的认识思维能力的飞跃．《普通高中新课程标准试验教科书 （数学）》更是体现和突出这一特点，教师教学过程必须领会和实现这一要求．
〓〓近年来，高考中必有一道热门考题应用题，加强考核学生把实际问题抽象成数学问题的抽象能力和解决实际问题的创新能力．把实际问题抽象成数学问题的过程，主要包括审题和联想两个步骤：所谓审题时指认真读题，弄清题设条件和所求结论的实际意义，挖掘隐含条件；所谓联想，是指联想与题目有关的数学知识和数学方法，通过抽象和概括建立数学模型．这个过程是比概念教学难度更大的“透过现象，抓住实质”的抽象过程，可归结为审题——转化——建模——求解——反思的解题教学模式，下面举一例说明．
〓〓例：流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病，某市去年11月份曾发生流感．据资料统计，①11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者都增加50人．由于该市医疗部门采取措施．使该种病毒的传播得到控制．②从某天起，每天的新感染者比前一天的新感染者减少30人．③到11月30日止，该市在这30日内感染该病的患者总共有8670人．④问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数．
〓〓此问题的抽象、建模、求解过程如下：
〓〓（i）阅读理解，抓住本质．留下标号划线的①②③④句，把11月1日到30日分为前n日及后第n 1日至30日止的（30-n）日两段．
〓〓（ii）局部转化，抽象建模．设从11月1日起第n日（n∈N,1≤n≤30）感染此病毒的新患者人数最多．由①从11月1日至第n日止每日感染病毒人数依次成首项a■=20，公差d=50，an=20 50（n-1）的等差数列，前n日总人数为Sn=20n■ ■=25n2-5n；由②从第n 1日起至11月30日止，每日感染人数依次成首项为b■=[20 （n-1）×50]-30=50n-60，公差d’■=-30，项数为（30-n）的等差数列，后（30-n）日的总人数为T30-n=（30-n)（50n-60) ■=-65n2 2445n-14850.
〓〓(iii)整体转化，抽象建模．由③得基本等量关系，有Sn T30-n=8670，即(25n2-5n) (-65n2 2445n-14850)=8670,化简，得n2-61n 588=0,解得n=12，或n=49(舍去).
〓〓第12日的新患者人数为20 （12-1）×50=570.
〓〓（iv）由④作答：11月12日，该市感染此病毒的人数最高，且这一天的新患者人数为570人．
〓〓二、“推广与推想”抽象举例
〓〓在数学教学中培养学生“推广与推想”的抽象能力可从解题教学的“解题反思”中，进行一题多解、多题一解的训练，有计划地变化题目的形式，举一反三，从而使他们由懂得一个问题而熟悉一类问题，提高学生分析问题、解决问题，以及掌握特殊与一般的辩证关系的创新能力和思维品质．下面举一例说明．
〓〓例：式子■分母有理化的推广与推想． 显然■=■=■ ■
特点：■ ■与■-■互为倒数.
〓〓推广：■=■?芎■，n是非负整数；
〓〓■=■?芎■，a是非负实数；
〓〓■=■(■?芎■，a≥0且d＞0.
由上面的推广，继续推想，便可解决如下问题：
〓〓（1）倘若注意到(2 ■)■(2-■)■=1和■·■=■2=■.
不难有：■·■·■=1.
〓〓类似地推广开来，可有：■·■···■■=1.
（2）计算：log■(■ ■)=log■(■-■)■=-1.
同理有：log■(■ ■)=log■(■-■)■=-1（a＞0）.
〓〓log■(■)=1（a≥0 ,ｄ＞0且a=0时ｄ≠1）. 〓〓（3）解方程:(■-■)■=(■ ■)■.
〓〓由上面结论，可得(■ ■)■=(■-■)■
〓〓故3x-7=-7x-3，x=■
〓〓对于 (■-■)■=(■ ■)■a≥0，可仿上法解之．
〓〓三、“特殊与一般”抽象的举例
〓〓若被研究的对象很抽象或困难，一时无从下手，往往可以先将问题特殊化，或者利用图形直观观察，或者用具体数字代替字母验证；或者用有限代替无限；或者把运动问题暂时化为静止状态；或者削弱问题的某些条件限制，即从“特殊化”或“简单化”的情况下寻求问题解决的方法，猜想问题的普遍性结论，分析特殊性与普遍性的内在联系，并在一般性状态下予以解决论证．其典型例子莫过于数学归纳法的原理及其应用．
〓〓例： (2012年武汉市调研试题)设a■是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．
〓〓（1）写出数列a■的前三项；(2)求数列a■的通项公式(写出推证过程).
〓〓解: （1）略解前三项分别为2，6，10．
〓〓（２）解：由前三项猜想数列有通项公式a■=4n-2.
〓〓证明：（a）当n=1时,∵ 4×1-2=2，又由（１）知a1=2,故结论成立．
〓〓（b）假设n=k (n?叟1,k∈N)有ak=4k-2成立．
〓〓由题意,■=■ ,且ak=4k-2，得2k=■,
〓〓解得Sk=2k2，又■=■,
〓〓且S■=S■ ak 1,
〓〓将Sk=2k2代入上式,得(■)=2(ak 1 2k2).
〓〓整理得a2■■-4ak 1 4-16k2=0，由于ak 1＞0，解得ak 1=2 4k=4(k 1)-2，即n=k 1时，结论正确．
根据（a）（b）,可知结论对一切自然数n均成立．
〓〓上面数学归纳法的原理及应用举例，就是典型的由特殊到一般，有限到无限的递推、猜想、证明的概括与抽象的范例．
〓〓在概念教学、解题教学以及高考复习教学中实施对学生抽象能力培养的思路和方法，能使学生对当前高考侧重考核能力和素质的适应性不断增强，取得较好效果．总之，培养学生的抽象归纳能力的方法和形式是多样的，只要教师能根据教材特点，结合学生实际，善于思考学生抽象归纳思维发展的规律，就一定能在教学中培养出抽象归纳能力出色的好学生．
〓〓责任编辑〓罗〓峰