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[摘要]数形结合策略可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化。数形结合中，“数”与“形”的信息相互渗透，通过几何图形的“翻译”、数字信息的“转换”、线段图的“呈现”、数的特征的“构造”一系列的有意识训练，使学生思维的广度、深度、灵敏性与准确性都得到充分的发展，不仅使解题简捷迅速，还开拓解题思路，让思维看得见、摸得着。
[关键词]转化;数形结合;数学思想方法;思维
[中图分类号]G623.5
[文献标识码]A
[文章编号] 1007-9068（ 2020） 29-0033-03
数学思想方法有很多，数形结合就是其中的一种，它在实践中的应用是比较广泛的。一方面，通过图形的性质将许多比较抽象的数量关系和数学概念简单化、形象化，增强直观感;另一方面，把图形问题转化为代数问题，可以获得准确的结论。思维是无形的，数形结合策略能为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，让思维看得见、摸得着。马云鹏教授说：“数学基本思想是研究数学科学不可缺少的思想，也是学习数学，理解和掌握数学所应追求和达成的目标。”“数学的思想方法是学习数学，特别是解决数学问题所运用的方法。这些方法一般来讲是具有一定的可操作性，同时反映数学的某些思想，不是一般意义上的具体方法。”数形结合中“数”与“形”的信息转换，其实就是一种相互转化、相互渗透。一线教师要怎样来搭建“数”与“形”的这座桥呢？不妨通过以下四个途径来实现。
一、数形结合，可以通过几何图形来“翻译”
人与几何的关系，可以追溯到几千年前。人类早期的世界观，往往是通过几何来构建的。中国人对世界的理解，可以用方与圆来表示。圆代表了整体和统一，是顺从而包容的;方则是圆的推演和发展，包含了秩序和规则。两千多年前，柏拉图就说过：“上帝将以几何的形式永存。”从一点一线开始，以无穷无尽结束。几何看似简单，却能延伸出复杂多变的逻辑。几何，是实实在在的从“无形”变“有形”。
数学知识来源于现实，又必须符合现实。数形结合，能较好地促进学生联系实际，灵活解决数学问题。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来。在解决代数问题时，找准对应知识点“翻译”成图形，可启发思维，找到解题思路。
【例题】有若干台机器需要在规定的时间内共同完成一项作业。如果增加2台，只需要规定时间的7/8就能完成;如果减少2台，则要推迟2/3小时才能做完。问：一台机器完成这项作业需要几小时？
【分析与解答】教师先引导学生画出示意图（如图1）。用AB表示原来完成这项工作所需要的机器台数，用AF表示所需要的时间，因此长方形ABEF的面积就是完成这项作业的工作总量。
师：长方形ABEF的面积与长方形ACDG的面积相等吗？为什么？（相等，因为工作总量一样）
师：那么面积①与面积②呢？（也相等）为什么？（同时减去空白部分面积后剩余面积也相等）
（师板书：②的面积=2×7/8，①的面积=（1一7/8）×原来的台数）
师：現在能算出原来的台数吗？请算出来。
生1：2×7/8÷（1一7/8）=14（台）。
师：用同样的思维方法算出原时间（如图2）。
生2：根据①②面积相等很容易列出算式（ 14-2）×2/3÷2=4（小时），从而算出一台机器完成这项作业需要14x4=56（小时）。
显然，解决这道题的知识点有两个：一是等量关系，工作效率×工作时间=工作总量，对应着另外一个等式，长×宽=长方形面积;二是等积变形，工作总量是不变的，面积相等，同时减去相同的面积后也相等。
学生大多趋向定向思维，但这种思维往往会降低解题的速度和质量。因此，引导学生从定向思维走出来，是突破难点的重要手段，教师正确引导就会达到事半功倍的效果。教师在备课时要根据学生的知识基础、学习习惯，认真设计习题，引导学生进行由数到形的思维转变，要求学生带着这种思维去想、去看、去思考。
二、数形结合，可以从数字信息入手来“转换”
从“数”中提取信息，然后构造成“形”，着眼点还是来自课本基础知识。教师应指导学生看问题从哪人手、从什么角度看，找出问题内在的规律，怎么从数字信息中来架构这个形，逐步形成由浅人深，将复杂问题简单化，培养学生数形结合的思想。
【例题】已知五个数依次是13、12、15、25、20，它们每相邻的两个数相乘得到四个数，这四个数每相邻两个数相乘得到三个数……最后乘得一个数。问：最后这个数的末尾有几个连续的07
【分析与解答】本题只告诉我们数字信息，如果按要求逐次相乘，求得最后的积后再数出有几个0，显然不是个好办法。本题中，要得到一个0，必须要有一个2和一个5相乘。那么要想知道最后的乘积末尾有几个0，就必须清楚这个数的因数中有几个2、几个5。不妨按如下方法来求。
师：先求有几个因数2。13的因数中无2，记作“0”;12的因数中有2个2，记作“2”;15的因数中无2，记作“0”;25的因数中无2，记作“0”;20的因数中有2个2，记作“2”。
师：先把所记的结果填入图3第二行相应的圈内，再按如下的方法操作：因数中不合2的数和含有2个2的数相乘，积中有0 2=2（个）2，因此只要把第二行相邻两个数的和填入第三行相应的圈内，第三行相邻两个数的和填入第四行相应的圈内，即可以得到最后的积中共有10个2。如图4所示。
师：再求有几个因数5。用同样的方法，最后的积中有15个因数5，如图5所示。（想一想，第二行是怎么来的？）
于是可以知道，最后的积中有“10”个因数2和“15”个因数5，即这个数的末尾有10个0。 抽象思维如果脱离直观，一般是很有限度的。这道题的核心是抓住一共有“几个2”和“几个5”，从“数”到“形”画图，就是整理这些2和5。从这样的角度看，学生在解决问题的过程中学会数形结合，用画图的策略整理条件和问题，进而分析数量关系，解决问题。数形结合能培养学生的思维能力，帮助学生形成“在抽象中看出直观”的意识和能力。
三、数形结合，可以借助线段图来“呈现”
行程问题是小学数学应用题中的一个重要板块，它可以变化各种各样的形式，且难度各异。解决这类问题，好的逻辑思维能力非常关键。线段图既可以描述情境，又可以将重要信息进行标注。课堂上，教师可以围绕教学内容创设疑问，层层推进来触发学生的情感，激发学生学习的积极性，充分调动学生的参与意识，主动探究数与形应如何转换。
【例题】甲、乙、丙三人同时从东村向西村行走，甲每小时比乙快6千米，比丙快7.5千米。甲行了3.5小时到达西村，然后立即原路返回，在距离西村15千米处与乙相遇，问：丙行了多少小时和甲相遇？
【分析与解答】首先我和学生一起完成这道题的线段图（如图6）。图的完成非常关键。
师：当甲到达A点后返回与乙相遇时，甲比乙多行了多少千米？
生1：15x2=30（千米）。
师：从开始到甲、乙在B点相遇，经过了多少小时？
生2：30÷6=5（小时）。
师：甲行完全程花了3.5小时，再往回行15千米用了几小时？你现在能算出甲、乙、丙的速度吗？
生3：5-3.5=1.5（小时）。甲的速度是15÷1.5=10（千米/时），乙的速度是10-6=4（千米/时），丙的速度是10-7.5=2.5（千米/时）。
师：求出总路程。
生4：lOx3.5=35（千米）。
师：丙行了多长时间与甲相遇？为什么这样求？
生5：35x2÷（ 10 2.5） =5.6（小时）。因为甲和丙从开始到相遇共同走了2个全程。
结合线段图，通过层层梳理，把一道较难的题分解成5个学生容易理解的基本问题，这样把课本知识和难题有机地结合起来，让知识水平较差的学生也能体会到解决难题的喜悦。
线段图只是将数学信息具体化的一种方式，将数转化为形的最大好处就是直观具体。从小学就开始培养学生数形结合的意识，有利于学生养成数形结合的习惯，使之今后即使遇到更加复杂的问题时也不至于手忙脚乱，而是有更多的思路去解决。线段图仍是揭示小学数学应用题中的数量关系最基本、最自然的手段。对于某些问题，如果线段图不能清晰地显示其数量关系，则可以通过对线段图的分析与改造，设计出能清晰地显示其数量关系的其他图形，使解题过程变得更简洁、更方便。
四、数形结合，可以通过数的特征来“构造”
数形结合解题，实际上是一个“数”与“形”互相转化的过程，即把题目中的数量关系转化成图形，将抽象的数量关系形象化，再根据对图形的观察、分析、联想，逐步转化成算式，以实现问题的解决。教学中，教师要帮助学生克服思维定式，鼓励学生大胆合理地进行想象，让学生充分展现他们的发明和创造，培养他们的独立思考能力和探索精神，不拘泥于教师教过的一般解题模式，追求新颖的解题方法，能从新的角度、用灵活的方法解决问题。
【例题】计算：1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 =？
【分析与解答】可以引导学生按如下两个层次来思考：第一层次，让学生依据已有的计算经验，或按从左到右的顺序依次计算，或通过把算式中的分数都通分成分母相同的分数算出结果;第二层次，也是最关键的思维环节，启发学生在下面的图形（如图7）中表示出算式中的每一个加数。很显然，这里要通过分数的意义来进行构造。1/2表示把单位“1”平均分成2份，取其中的一份，单位“1”即是图中大正方形。并且，这5个分数都可以在这个大正方形中找到对应的位置。完成后可以发现，原题中5个分数的和就等于总面积减去剩余面积的差，即1与1/32的差。由此，1/2 1/4 1/8 1/16 =1-1/32=31/32。如此，就使一道相对复杂的异分母分数连加题转化为能够直接口算的减法题。
实践证明，数形结合可以促进学生思维的灵活性和创造性，激发学生的灵感，使之顿悟，获得较优化的解法。下面的例题也可以用类似的思路解答：
【例题】求1 2 3 4 5 6 7=？
【分析与解答】这道题在初中只要用等差数列公式就可以轻而易举解决，但小学阶段该怎么进行思考呢？不妨也构造图形来试一试。
这些数都是自然数，根据题意构造图8，转化成求正方形的个数之和，图9也是求正方形的个数之和，把图8和图9合并成图10，这样拼成一个长方形，容易求得长方形里正方形的个数是（1 7）x7=56，它的一半是56÷2=28。
这里不需要用到等差数列的知识，通过构造图形，转化成简单的求正方形个数。由此，我们还可以继续强化和延伸：求1 2 3 4 5 - 100=？
多年的教学实践证明，经过几何图形的“翻译”、数字信息的“转换”、线段图的“呈现”、数的特征来“构造”一系列的数形结合训练，学生思维的广度、深度、灵敏性与准确性都得到充分的发展，学生的创造性思维也得以培养。这一切也体现了“以教师为主导，学生为主体，导学为主线”的教学思想。南京大学郑毓信撰文写道：“相对于‘常规思维的改进’，数学思维的学习主要体现了思维发展的新的可能性;当然，在具体从事后一方面的工作時，又应采取更为广泛的视角，即应当更加重视数学思想和数学思想方法的普遍意义。”教学大纲强调：“小学数学教学要使学生既长知识，又长智慧。”因此，在加强基础知识教学的同时，要把发展智力和培养能力贯穿教学始终，让思维看得见，数形结合的思想起着很重要的作用。
[参考文献]
[1]马云鹏，关于数学核心素养的几个问题[J].课程·教材·教法，2015（9）.
[2]郑毓信.“数学与思维”之深思[J].数学教育学报，2015， 24（1）
（责编吴美玲）
[关键词]转化;数形结合;数学思想方法;思维
[中图分类号]G623.5
[文献标识码]A
[文章编号] 1007-9068（ 2020） 29-0033-03
数学思想方法有很多，数形结合就是其中的一种，它在实践中的应用是比较广泛的。一方面，通过图形的性质将许多比较抽象的数量关系和数学概念简单化、形象化，增强直观感;另一方面，把图形问题转化为代数问题，可以获得准确的结论。思维是无形的，数形结合策略能为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，让思维看得见、摸得着。马云鹏教授说：“数学基本思想是研究数学科学不可缺少的思想，也是学习数学，理解和掌握数学所应追求和达成的目标。”“数学的思想方法是学习数学，特别是解决数学问题所运用的方法。这些方法一般来讲是具有一定的可操作性，同时反映数学的某些思想，不是一般意义上的具体方法。”数形结合中“数”与“形”的信息转换，其实就是一种相互转化、相互渗透。一线教师要怎样来搭建“数”与“形”的这座桥呢？不妨通过以下四个途径来实现。
一、数形结合，可以通过几何图形来“翻译”
人与几何的关系，可以追溯到几千年前。人类早期的世界观，往往是通过几何来构建的。中国人对世界的理解，可以用方与圆来表示。圆代表了整体和统一，是顺从而包容的;方则是圆的推演和发展，包含了秩序和规则。两千多年前，柏拉图就说过：“上帝将以几何的形式永存。”从一点一线开始，以无穷无尽结束。几何看似简单，却能延伸出复杂多变的逻辑。几何，是实实在在的从“无形”变“有形”。
数学知识来源于现实，又必须符合现实。数形结合，能较好地促进学生联系实际，灵活解决数学问题。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来。在解决代数问题时，找准对应知识点“翻译”成图形，可启发思维，找到解题思路。
【例题】有若干台机器需要在规定的时间内共同完成一项作业。如果增加2台，只需要规定时间的7/8就能完成;如果减少2台，则要推迟2/3小时才能做完。问：一台机器完成这项作业需要几小时？
【分析与解答】教师先引导学生画出示意图（如图1）。用AB表示原来完成这项工作所需要的机器台数，用AF表示所需要的时间，因此长方形ABEF的面积就是完成这项作业的工作总量。
师：长方形ABEF的面积与长方形ACDG的面积相等吗？为什么？（相等，因为工作总量一样）
师：那么面积①与面积②呢？（也相等）为什么？（同时减去空白部分面积后剩余面积也相等）
（师板书：②的面积=2×7/8，①的面积=（1一7/8）×原来的台数）
师：現在能算出原来的台数吗？请算出来。
生1：2×7/8÷（1一7/8）=14（台）。
师：用同样的思维方法算出原时间（如图2）。
生2：根据①②面积相等很容易列出算式（ 14-2）×2/3÷2=4（小时），从而算出一台机器完成这项作业需要14x4=56（小时）。
显然，解决这道题的知识点有两个：一是等量关系，工作效率×工作时间=工作总量，对应着另外一个等式，长×宽=长方形面积;二是等积变形，工作总量是不变的，面积相等，同时减去相同的面积后也相等。
学生大多趋向定向思维，但这种思维往往会降低解题的速度和质量。因此，引导学生从定向思维走出来，是突破难点的重要手段，教师正确引导就会达到事半功倍的效果。教师在备课时要根据学生的知识基础、学习习惯，认真设计习题，引导学生进行由数到形的思维转变，要求学生带着这种思维去想、去看、去思考。
二、数形结合，可以从数字信息入手来“转换”
从“数”中提取信息，然后构造成“形”，着眼点还是来自课本基础知识。教师应指导学生看问题从哪人手、从什么角度看，找出问题内在的规律，怎么从数字信息中来架构这个形，逐步形成由浅人深，将复杂问题简单化，培养学生数形结合的思想。
【例题】已知五个数依次是13、12、15、25、20，它们每相邻的两个数相乘得到四个数，这四个数每相邻两个数相乘得到三个数……最后乘得一个数。问：最后这个数的末尾有几个连续的07
【分析与解答】本题只告诉我们数字信息，如果按要求逐次相乘，求得最后的积后再数出有几个0，显然不是个好办法。本题中，要得到一个0，必须要有一个2和一个5相乘。那么要想知道最后的乘积末尾有几个0，就必须清楚这个数的因数中有几个2、几个5。不妨按如下方法来求。
师：先求有几个因数2。13的因数中无2，记作“0”;12的因数中有2个2，记作“2”;15的因数中无2，记作“0”;25的因数中无2，记作“0”;20的因数中有2个2，记作“2”。
师：先把所记的结果填入图3第二行相应的圈内，再按如下的方法操作：因数中不合2的数和含有2个2的数相乘，积中有0 2=2（个）2，因此只要把第二行相邻两个数的和填入第三行相应的圈内，第三行相邻两个数的和填入第四行相应的圈内，即可以得到最后的积中共有10个2。如图4所示。
师：再求有几个因数5。用同样的方法，最后的积中有15个因数5，如图5所示。（想一想，第二行是怎么来的？）
于是可以知道，最后的积中有“10”个因数2和“15”个因数5，即这个数的末尾有10个0。 抽象思维如果脱离直观，一般是很有限度的。这道题的核心是抓住一共有“几个2”和“几个5”，从“数”到“形”画图，就是整理这些2和5。从这样的角度看，学生在解决问题的过程中学会数形结合，用画图的策略整理条件和问题，进而分析数量关系，解决问题。数形结合能培养学生的思维能力，帮助学生形成“在抽象中看出直观”的意识和能力。
三、数形结合，可以借助线段图来“呈现”
行程问题是小学数学应用题中的一个重要板块，它可以变化各种各样的形式，且难度各异。解决这类问题，好的逻辑思维能力非常关键。线段图既可以描述情境，又可以将重要信息进行标注。课堂上，教师可以围绕教学内容创设疑问，层层推进来触发学生的情感，激发学生学习的积极性，充分调动学生的参与意识，主动探究数与形应如何转换。
【例题】甲、乙、丙三人同时从东村向西村行走，甲每小时比乙快6千米，比丙快7.5千米。甲行了3.5小时到达西村，然后立即原路返回，在距离西村15千米处与乙相遇，问：丙行了多少小时和甲相遇？
【分析与解答】首先我和学生一起完成这道题的线段图（如图6）。图的完成非常关键。
师：当甲到达A点后返回与乙相遇时，甲比乙多行了多少千米？
生1：15x2=30（千米）。
师：从开始到甲、乙在B点相遇，经过了多少小时？
生2：30÷6=5（小时）。
师：甲行完全程花了3.5小时，再往回行15千米用了几小时？你现在能算出甲、乙、丙的速度吗？
生3：5-3.5=1.5（小时）。甲的速度是15÷1.5=10（千米/时），乙的速度是10-6=4（千米/时），丙的速度是10-7.5=2.5（千米/时）。
师：求出总路程。
生4：lOx3.5=35（千米）。
师：丙行了多长时间与甲相遇？为什么这样求？
生5：35x2÷（ 10 2.5） =5.6（小时）。因为甲和丙从开始到相遇共同走了2个全程。
结合线段图，通过层层梳理，把一道较难的题分解成5个学生容易理解的基本问题，这样把课本知识和难题有机地结合起来，让知识水平较差的学生也能体会到解决难题的喜悦。
线段图只是将数学信息具体化的一种方式，将数转化为形的最大好处就是直观具体。从小学就开始培养学生数形结合的意识，有利于学生养成数形结合的习惯，使之今后即使遇到更加复杂的问题时也不至于手忙脚乱，而是有更多的思路去解决。线段图仍是揭示小学数学应用题中的数量关系最基本、最自然的手段。对于某些问题，如果线段图不能清晰地显示其数量关系，则可以通过对线段图的分析与改造，设计出能清晰地显示其数量关系的其他图形，使解题过程变得更简洁、更方便。
四、数形结合，可以通过数的特征来“构造”
数形结合解题，实际上是一个“数”与“形”互相转化的过程，即把题目中的数量关系转化成图形，将抽象的数量关系形象化，再根据对图形的观察、分析、联想，逐步转化成算式，以实现问题的解决。教学中，教师要帮助学生克服思维定式，鼓励学生大胆合理地进行想象，让学生充分展现他们的发明和创造，培养他们的独立思考能力和探索精神，不拘泥于教师教过的一般解题模式，追求新颖的解题方法，能从新的角度、用灵活的方法解决问题。
【例题】计算：1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 =？
【分析与解答】可以引导学生按如下两个层次来思考：第一层次，让学生依据已有的计算经验，或按从左到右的顺序依次计算，或通过把算式中的分数都通分成分母相同的分数算出结果;第二层次，也是最关键的思维环节，启发学生在下面的图形（如图7）中表示出算式中的每一个加数。很显然，这里要通过分数的意义来进行构造。1/2表示把单位“1”平均分成2份，取其中的一份，单位“1”即是图中大正方形。并且，这5个分数都可以在这个大正方形中找到对应的位置。完成后可以发现，原题中5个分数的和就等于总面积减去剩余面积的差，即1与1/32的差。由此，1/2 1/4 1/8 1/16 =1-1/32=31/32。如此，就使一道相对复杂的异分母分数连加题转化为能够直接口算的减法题。
实践证明，数形结合可以促进学生思维的灵活性和创造性，激发学生的灵感，使之顿悟，获得较优化的解法。下面的例题也可以用类似的思路解答：
【例题】求1 2 3 4 5 6 7=？
【分析与解答】这道题在初中只要用等差数列公式就可以轻而易举解决，但小学阶段该怎么进行思考呢？不妨也构造图形来试一试。
这些数都是自然数，根据题意构造图8，转化成求正方形的个数之和，图9也是求正方形的个数之和，把图8和图9合并成图10，这样拼成一个长方形，容易求得长方形里正方形的个数是（1 7）x7=56，它的一半是56÷2=28。
这里不需要用到等差数列的知识，通过构造图形，转化成简单的求正方形个数。由此，我们还可以继续强化和延伸：求1 2 3 4 5 - 100=？
多年的教学实践证明，经过几何图形的“翻译”、数字信息的“转换”、线段图的“呈现”、数的特征来“构造”一系列的数形结合训练，学生思维的广度、深度、灵敏性与准确性都得到充分的发展，学生的创造性思维也得以培养。这一切也体现了“以教师为主导，学生为主体，导学为主线”的教学思想。南京大学郑毓信撰文写道：“相对于‘常规思维的改进’，数学思维的学习主要体现了思维发展的新的可能性;当然，在具体从事后一方面的工作時，又应采取更为广泛的视角，即应当更加重视数学思想和数学思想方法的普遍意义。”教学大纲强调：“小学数学教学要使学生既长知识，又长智慧。”因此，在加强基础知识教学的同时，要把发展智力和培养能力贯穿教学始终，让思维看得见，数形结合的思想起着很重要的作用。
[参考文献]
[1]马云鹏，关于数学核心素养的几个问题[J].课程·教材·教法，2015（9）.
[2]郑毓信.“数学与思维”之深思[J].数学教育学报，2015， 24（1）
（责编吴美玲）