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【摘要】 变式教学是连接双基与创新的纽带。在数学课堂中被广泛应用。新课程背景下充分运用变式教学，可拓展学生的思维。促使学生自觉将数学学习技术内化为主体需要，使教学过程成为有利于学生积极探究的过程，提高学生的学习效能。本文首先提出变式教学的本质含义、设计变式的原则，然后论述变式在各种数学题型中的应用，最后强调变式教学的价值。
【关键词】 初中数学变式教学变式原则有效教学
变式训练是提高学生的发散思维能力，化归、迁移思维能力和思维灵活性的有效方法之一。数学教学改革专家顾泠沅创立的青浦四条经验中，其中一条“组织好课堂层次序列，进行变式教学”，就强调了变式训练的重要性。运用变式训练可以提高数学题目的利用率，提高教学有效性，起到综合运用知识，有效培养学生综合思维能力，充分理解数学本质属性的作用。这同时也符合新课程标准的基本理念。下面结合课堂教学实践谈谈在数学教学中如何运用变式训练，激活数学思维。
1数学变式教学的本质含义
数学变式教学，是指通过不同角度、不同的侧面、不同的背景，从多个方面变更所提供的数学对象或数学问题的呈现形式，使事物的非本质特征发生变化而本质特征保持不变的教学形式。
初中数学变式教学，对提高学生的思维能力、应变能力是大有益处。变式教学在教学过程中不仅是对基础知识、基本技能和思维的训练，而且也是有效实现新课程三维教学目标的重要途径。
2变式教学中遵循的几个原则
2.1一题多解，触类旁通。通过一题多解，让学生从不同角度思考问题、解决问题，可以引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性。
【案例1】：如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？（只剩一个底角和一条底边）
学生给出的三种“补出”方法：
①量出∠C度数，画出∠B＝∠C，∠B与∠C的边相交得到顶点A；
②作BC边上的中垂线，与∠C的一边相交得到顶点A；
③“对折”。
看画出的三角形是否为等腰三角形，由此引发全等三角形判定定理的证明。
这道题从不同的角度进行多向思维，把三角形全等的知识点有机地联系起来，发展了学生的多向思维能力。
学生总结出该题的三种常规的办法：
①作∠A的平分线，利用“角角边”；②过A作BC边的垂线，利用“角角边”；③作BC边上的中线，“边边角”不能证明。
两种创造性的证法：④假定AB>AC，由“大边对大角”得出矛盾；⑤△ABC≌△ACB，应用“角边角”。
2.2一题多变，横向联想。通过一题多变，可避免题海战术，让学生掌握数学知识之间的联系，享受数学的相似美，提高学生归纳概括的能力。
【案例2】：如左图，有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm。要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上。问加工成的正方形零件的边长为多少mm？
变式1：将“正方形PQMN”改为“矩形PQMN”。问矩形的长和宽分别为多少时，所截得的矩形面积最大？最大面积是多少？余料的利用率是多少？
变式2：一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5，面积为1.5，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1）所示，乙设计方案如图（2）所示。你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由。（加工损耗忽略不计，计算结果可保留分数）
图（1）图（2）
变式3：已知△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝80，BC＝60，如图所示，把边长分别为x1，x2，x3，…xn的n个正方形依次放入△ABC中，则第1个正方形的边长x1=；第n个正方形的边长xn=(用含n的式子表示，n≥1)。
变式4：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3。
①如图（1），四边形DEFG为Rt△ABC的内接正方形，求正方形的边长。
②如图（2），三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt△ABC，求正方形的边长。
③如图（3），三角形内有并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt△ABC，求正方形的边长。
图（1） 图（2）图（3）
2.3 一题多导，创设情境。对于大多数学生无从下手的题，在教学过程中可立足于学生的思维基础，分几个小问题引导，启发学生，创设良好的问题情境，使学生最大限度地参与解决问题的全过程。
【案例3】：在已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8。
①如图（1），若半径为r1的⊙O1是Rt△ABC内切圆，求r1。
②如图（2），若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2。
③如图（3），当n大于2的正整数时，若半径rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…⊙On依次外切，且⊙O1与AC、BC相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、⊙O3、…、⊙On-1均与AB边相切，求rn。
图①图② 图③
通过该题学生既学到了新知识，又复习了旧知识，还找到了新旧知识之间的联系。由此还可以将这种类型的问题与现实问题情境相结合，真正做到活学活用。
变式：有一块直角三角形的白铁皮，其一条直角边和斜边长分别为60cm和100cm。若从这块白铁皮上剪出一块尽可能大的圆铁皮，这块圆铁皮的面积有多大？从余下的白铁皮中再剪出一块尽可能大的圆铁皮，这块圆铁皮的半径是多少？
3变式教学要把握好“度”
3.1 变式的数量要“适度”。变式不是为了“变式”而变式，而是要根据教学或学习需要，遵循学生的认知规律而设计数学变式，使学生在理解知识的基础之上，把学到的知识转化为能力，形成技能技巧。
3.2 变式的内容与难度要有“梯度”。变式习题的设置不仅要考虑到适当的量的安排，更要注重训练的梯度性，具有科学的循序渐进的训练程序，才能更有效地提高学生的学习效率。
【案例5】：如左图，由4个等腰直角三角形组成，其中第1个直角三角形的腰长为1cm，求第4个直角三角形的斜边长度。
變式1：如右图，已知条件不变，求第5个等腰直角三角形的斜边长，并探究第n个等腰直角三角形的斜边长为多少？
变式2：已知条件不变，求第6个等腰直角三角形直角边的长，并探究第n个等腰直角三角形的直角边长为多少？
变式3：已知条件不变，求第6个等腰直角三角形的面积，并探究第n个等腰直角三角形的面积为多少？
参考文献
1李善良.现代认知观下的数学概念学习与教学.江苏教育出版社，2005
2张奠宙.中国数学双基教学.上海教育出版社，2006
3许灵飞.变式教学在初中数学教学中的应用.数学学习与研究，2010.3
4郑毓信.变式理论的必要发展.中学数学月刊，2006(1)
5张奠宙，守乃庆.数学教育概论.北京:高等教育出版社，2004
【关键词】 初中数学变式教学变式原则有效教学
变式训练是提高学生的发散思维能力，化归、迁移思维能力和思维灵活性的有效方法之一。数学教学改革专家顾泠沅创立的青浦四条经验中，其中一条“组织好课堂层次序列，进行变式教学”，就强调了变式训练的重要性。运用变式训练可以提高数学题目的利用率，提高教学有效性，起到综合运用知识，有效培养学生综合思维能力，充分理解数学本质属性的作用。这同时也符合新课程标准的基本理念。下面结合课堂教学实践谈谈在数学教学中如何运用变式训练，激活数学思维。
1数学变式教学的本质含义
数学变式教学，是指通过不同角度、不同的侧面、不同的背景，从多个方面变更所提供的数学对象或数学问题的呈现形式，使事物的非本质特征发生变化而本质特征保持不变的教学形式。
初中数学变式教学，对提高学生的思维能力、应变能力是大有益处。变式教学在教学过程中不仅是对基础知识、基本技能和思维的训练，而且也是有效实现新课程三维教学目标的重要途径。
2变式教学中遵循的几个原则
2.1一题多解，触类旁通。通过一题多解，让学生从不同角度思考问题、解决问题，可以引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性。
【案例1】：如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？（只剩一个底角和一条底边）
学生给出的三种“补出”方法：
①量出∠C度数，画出∠B＝∠C，∠B与∠C的边相交得到顶点A；
②作BC边上的中垂线，与∠C的一边相交得到顶点A；
③“对折”。
看画出的三角形是否为等腰三角形，由此引发全等三角形判定定理的证明。
这道题从不同的角度进行多向思维，把三角形全等的知识点有机地联系起来，发展了学生的多向思维能力。
学生总结出该题的三种常规的办法：
①作∠A的平分线，利用“角角边”；②过A作BC边的垂线，利用“角角边”；③作BC边上的中线，“边边角”不能证明。
两种创造性的证法：④假定AB>AC，由“大边对大角”得出矛盾；⑤△ABC≌△ACB，应用“角边角”。
2.2一题多变，横向联想。通过一题多变，可避免题海战术，让学生掌握数学知识之间的联系，享受数学的相似美，提高学生归纳概括的能力。
【案例2】：如左图，有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm。要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上。问加工成的正方形零件的边长为多少mm？
变式1：将“正方形PQMN”改为“矩形PQMN”。问矩形的长和宽分别为多少时，所截得的矩形面积最大？最大面积是多少？余料的利用率是多少？
变式2：一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5，面积为1.5，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1）所示，乙设计方案如图（2）所示。你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由。（加工损耗忽略不计，计算结果可保留分数）
图（1）图（2）
变式3：已知△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝80，BC＝60，如图所示，把边长分别为x1，x2，x3，…xn的n个正方形依次放入△ABC中，则第1个正方形的边长x1=；第n个正方形的边长xn=(用含n的式子表示，n≥1)。
变式4：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3。
①如图（1），四边形DEFG为Rt△ABC的内接正方形，求正方形的边长。
②如图（2），三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt△ABC，求正方形的边长。
③如图（3），三角形内有并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt△ABC，求正方形的边长。
图（1） 图（2）图（3）
2.3 一题多导，创设情境。对于大多数学生无从下手的题，在教学过程中可立足于学生的思维基础，分几个小问题引导，启发学生，创设良好的问题情境，使学生最大限度地参与解决问题的全过程。
【案例3】：在已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8。
①如图（1），若半径为r1的⊙O1是Rt△ABC内切圆，求r1。
②如图（2），若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2。
③如图（3），当n大于2的正整数时，若半径rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…⊙On依次外切，且⊙O1与AC、BC相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、⊙O3、…、⊙On-1均与AB边相切，求rn。
图①图② 图③
通过该题学生既学到了新知识，又复习了旧知识，还找到了新旧知识之间的联系。由此还可以将这种类型的问题与现实问题情境相结合，真正做到活学活用。
变式：有一块直角三角形的白铁皮，其一条直角边和斜边长分别为60cm和100cm。若从这块白铁皮上剪出一块尽可能大的圆铁皮，这块圆铁皮的面积有多大？从余下的白铁皮中再剪出一块尽可能大的圆铁皮，这块圆铁皮的半径是多少？
3变式教学要把握好“度”
3.1 变式的数量要“适度”。变式不是为了“变式”而变式，而是要根据教学或学习需要，遵循学生的认知规律而设计数学变式，使学生在理解知识的基础之上，把学到的知识转化为能力，形成技能技巧。
3.2 变式的内容与难度要有“梯度”。变式习题的设置不仅要考虑到适当的量的安排，更要注重训练的梯度性，具有科学的循序渐进的训练程序，才能更有效地提高学生的学习效率。
【案例5】：如左图，由4个等腰直角三角形组成，其中第1个直角三角形的腰长为1cm，求第4个直角三角形的斜边长度。
變式1：如右图，已知条件不变，求第5个等腰直角三角形的斜边长，并探究第n个等腰直角三角形的斜边长为多少？
变式2：已知条件不变，求第6个等腰直角三角形直角边的长，并探究第n个等腰直角三角形的直角边长为多少？
变式3：已知条件不变，求第6个等腰直角三角形的面积，并探究第n个等腰直角三角形的面积为多少？
参考文献
1李善良.现代认知观下的数学概念学习与教学.江苏教育出版社，2005
2张奠宙.中国数学双基教学.上海教育出版社，2006
3许灵飞.变式教学在初中数学教学中的应用.数学学习与研究，2010.3
4郑毓信.变式理论的必要发展.中学数学月刊，2006(1)
5张奠宙，守乃庆.数学教育概论.北京:高等教育出版社，2004