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《中小学数学》多期刊文对“铅垂高”的定义、应用进行了探讨,本文沿用他们的定义,将夹在抛物线和直线之间与x轴垂直的线段称为“铅垂高”,并就其存在最大值或最小值的性质及其应用作一个粗浅的探究.
一、“铅垂高”的最大值、最小值的探究
例1:如图1,已知二次函数y=-x2 2x 3与y=-x 3直线交于B、C两点,P为直线BC上方抛物线上一动点,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,垂线PH交抛物线于点D,求PD的最大值。
解:设P(x,y),其中0 ∴x=时,PD的最大值为
例2:如图2,已知二次函数y=-x2 2x 3图象与直线y=x 4无交点,P为抛物线上任意一点,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,垂线PH交直线y=x 4于点D,求PD的最小值。
解:设P(x,y)
∴x=时,PD的最小值为
小结:从以上两个例子可以发现,线段PD夹在抛物线与直线之间,当P点在抛物线上运动时,PD的长度是以P点横坐标x为自变量的二次函数,这样PD长度的最值问题就转化成了二次函数的最值问题,进一步研究发现无论抛物线开口方向如何,当直线与抛物线无交点时,夹在直线与抛物线之间的“铅垂高”,存在最小值;当直线与抛物线有交点时,夹在直线与抛物线之间的“铅垂高”,在两交点横坐标之间的区间上存在最大值.
二、“铅垂高”最值的应用
1.利用“铅垂高”最大值,求三角形面积的最大值
例3:(2008·深圳) 如图3,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2 bx c(a>0)与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),OB=OC ,tan∠ACO=.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点D(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AD下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APD的面积最大?求出此时P点的坐标和△APD的最大面积.
分析:(1)先求A、B、C三点坐标,代入即可求得二次函数表达式;(2)如图4,作PH⊥轴,垂足为H,交AD于点E,作DG⊥PE,垂足为G,因为S△APD=S△APE
S△DPE=PE×(AH GD)=PE×
=PE×3=PE,而“铅垂高”PE有最大值,所以S△APD有最大值。
解:(1)y=x2-2x-3(过程略)
(2)设P点横坐标为x,如图4,作PH⊥x轴,垂足为H,交AD于点E,作DG⊥PE,垂足为G,
∵xD=2,∴yD=-3
∴
一、“铅垂高”的最大值、最小值的探究
例1:如图1,已知二次函数y=-x2 2x 3与y=-x 3直线交于B、C两点,P为直线BC上方抛物线上一动点,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,垂线PH交抛物线于点D,求PD的最大值。
解:设P(x,y),其中0
例2:如图2,已知二次函数y=-x2 2x 3图象与直线y=x 4无交点,P为抛物线上任意一点,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,垂线PH交直线y=x 4于点D,求PD的最小值。
解:设P(x,y)
∴x=时,PD的最小值为
小结:从以上两个例子可以发现,线段PD夹在抛物线与直线之间,当P点在抛物线上运动时,PD的长度是以P点横坐标x为自变量的二次函数,这样PD长度的最值问题就转化成了二次函数的最值问题,进一步研究发现无论抛物线开口方向如何,当直线与抛物线无交点时,夹在直线与抛物线之间的“铅垂高”,存在最小值;当直线与抛物线有交点时,夹在直线与抛物线之间的“铅垂高”,在两交点横坐标之间的区间上存在最大值.
二、“铅垂高”最值的应用
1.利用“铅垂高”最大值,求三角形面积的最大值
例3:(2008·深圳) 如图3,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2 bx c(a>0)与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),OB=OC ,tan∠ACO=.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点D(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AD下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APD的面积最大?求出此时P点的坐标和△APD的最大面积.
分析:(1)先求A、B、C三点坐标,代入即可求得二次函数表达式;(2)如图4,作PH⊥轴,垂足为H,交AD于点E,作DG⊥PE,垂足为G,因为S△APD=S△APE
S△DPE=PE×(AH GD)=PE×
=PE×3=PE,而“铅垂高”PE有最大值,所以S△APD有最大值。
解:(1)y=x2-2x-3(过程略)
(2)设P点横坐标为x,如图4,作PH⊥x轴,垂足为H,交AD于点E,作DG⊥PE,垂足为G,
∵xD=2,∴yD=-3
∴