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【摘要】本文以一道中考题为例，在几何解題教学中尝试让学生自己画出解题所需要的图形，学生在重新构图的过程中理解条件与结论的内在逻辑关系，利用构图的先后顺序找到推理的因果关系，作图与推理同步进行，不同的作图顺序对应不同的解题思路.在这个过程中发展学生的逻辑推理和直观想象两个数学核心素养.
【关键词】初中数学;几何解题教学;图形作用
对于中考的较难题，南京市教研室提倡“一题一课”，即在初三的二轮复习中，用一节课的时间来解决一道题.本文则是作者以2018年南京中考第26题为例设计的一节复习课.主要探讨了在几何证明中，利用图形重构的方法（学生自己依据题目条件重新画图）探索几何证明题的解题思路.
【教学设计】
一、呈现题目
图1如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AF⊥DE，垂足为F.⊙O经过点C，D，F，与AD相交于点G.
（1）求证△AFG∽△DFC;
（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径.
二、图形的重构
问题1：你能否准确地画出该图形？
追问1：你画图的顺序是什么？（先画什么，再画什么）
设计意图：学生经过独立的思考，能够画出下图（图2），即先画出正方形ABCD，确定点E的位置，连接DE，过A作AF⊥ DE于F，从而确定点F的位置，连接CF.
追问2：如何确定圆心O的位置？
设计意图：学生很容易回答出⊙O过C，D，F三点，是△CDF的外接圆，要确定圆心O的位置，在线段CD，DF，FC中任选两条作垂直平分线的交点即可（图3）.
图2 图3 图4
追问3：（如图4）点G是如何确定的？
设计意图：G是⊙O与AD的交点，是由⊙O所确定的，这样，△AFG的形状也取决于⊙O，这个问题能引导学生在思考△AFG∽△DFC时，考虑⊙O带来的相关条件.
分析与解：从图形上看，∠FAG与∠FDC均为从直角中“减掉”一个小角，故考虑证明它们相等.∠FCD是⊙O的圆周角，而∠AGF是⊙O的圆周角∠FGD的补角，应建立它们之间的联系.我们知道，两组角相等可证相似，从而解决这个问题.
解题反思：在解决第（1）小题的时候，从构图上看，我们先构造出正方形，接着确定点E，F的位置，然后过C，D，F确定⊙O，最后确定点G.从证明的思路上看，我们在求证△AFG∽△DFC的过程中，一定会用到⊙O，因为点G是⊙O与AD的交点，从构图的顺序来看，⊙O的构造是先于点G的，即⊙O是因、点G是果.你作图的顺序同时也是你解题的顺序，构图序即解题序！
问题2：如果AB=4，AE=1，你画出的图形是否唯一确定？
追问1：把图中你能计算的所有线段的长度写下来.
追问2：⊙O的半径在图中可以是哪一条线段的长？
设计意图：通过依次对正方形ABCD，点E，F，⊙O与点G的构图（如图5），学生能感受到图中各点的位置都是确定的，从而图中所有的几何元素（线段、角）都是确定的，再由追问，明确这些元素的计算方法，自然地把求⊙O的半径转化为求图中线段OD（或OF，OC）的长度.
图6追问3：连接OD，你准备如何求OD的长度？
分析与解：由于在构图的过程中我们采用了作线段中垂线的方法得到圆心O，那么要求圆的半径则可以作如下辅助线（图6），连接OD，过O作OI⊥CD于I，作OK⊥DE于K，OK分别交AD，BC于J，L.求⊙O的半径，即求OD的长，进而转化为求KD和KO的长，DK=1[]2DF，KO=JO-KJ=1[]2JL-1[]2AF=1[]2DE-1[]2AF，而DE，DF，AF都可以轻松得到.
三、回顾、归纳与反思
在学生写完了整个题目之后，我又提出了这样一个问题：
在求解的过程中，你求出了很多条线段的长度，按求出它们的先后顺序把这些线段写下来，然后和你画图的顺序比较，你有什么发现？
我们能发现，在解决第（2）小题的过程中，图形的重构依然起着非常重要的作用.在解答中，由已知条件，得AD=4，AE=1，从而得到DE，EF，AF等线段的长度，在构图上有其对应的表现，先画出正方形，然后画出点E和点F.而求半径OD的过程在构图中则表现为由两条中垂线OI和JL决定了点O的位置.同样，解题序也是构图序.
四、换一种方式来思考
问题3：如果先画出⊙O，那么能否顺利地构造出整个图形？
设计意图：如图7，先画出⊙O，在⊙O上取一条弦CD，以CD为边长构造出正方形ABCD，⊙O与AD，BC的交点分别为G，H，接下来应该怎么画呢？这里学生会有分歧.
如图8，在AB边上任取一点E，过A作AF⊥DE于F，发现F并不在⊙O上，构图与题设不符.若要求F在⊙O上（如图9），连接AF，又不能保证AF与DE垂直，陷入了两难.又该如何解决呢？
经过思考，点F既要满足在⊙O上，又要满足AF⊥DE，点F应该相当特殊，只要将图9略加变化为图10（延长AF），要满足AF与DE垂直这一条件，图10中∠1=90°，∠1为直径所对的圆周角，∠1的边与⊙O已有一个交点D，∠1的另一边与⊙O的交点应是⊙O的直径DH的另一个端点H（如图11），问题就迎刃而解了，F点为AH与⊙O的交点，确定点F后，DF与AB的交点即为点E.
分析与解：以⊙O为基础构造出整个图形，使我们得到了一个更简洁的解法（如图12），简述如下：易证△ADE≌△BAH，从而得到BH=AE=1，则CH=3，连接DH，利用勾股定理得直径DH=CH2 CD2=5，继而求出半径为2.5. 五、梳理解题思路，提炼思想方法
本节课围绕一道中考题的解法展开，与以往不同的是，学生并没有依赖题目本身所提供的图形，而是自己从零开始，根据题目条件本身的逻辑结构一步一步地画出了解题需要的整个图形，按照构图的顺序，逐步确定解题需要的元素，在图形构建完毕的同时得到了证明的思路.甚至从不同的起点开始构造图形，得到的证明思路也完全不同.我们可以称这样的解题方法为“图形重构”法.可以用下面這个结构图来表示.
【教学思考】
从数学核心素养的角度看，证明题的解法不仅仅体现了逻辑推理，证明题中包含的几何图形对学生的直观想象能力也提出了要求.在几何证明中，图形的构造与问题的推理其实是同一个实质的两种不同表现，而图形的重构与思路的建立同步进行，加深了它们之间的关系，图形的构建应具有逻辑顺序，而推理的过程则是图形构建的自然生成.
几何课的教学与评价中，教师常常把作图题和证明题看作两个不同的题型，把作图与证明人为地割裂开，其实这样不利于学生对数学知识结构的整体理解.作者认为，几何证明题的教学中，应当给学生充分的时间，鼓励他们自己建构解题需要的图形.几何解题需要一个准确且漂亮的图形，而这个图形应该由解题者自己构建.因为画图的过程实际上也是一个先定性分析后定量分析的过程，如果能准确作出图形，那么该图形的一切元素皆可求（定性）.而作图的先后顺序和确定图形的约束条件，也正是逻辑推理的顺序与材料（定量）.
《几何原本》的第一个命题是“已知一条线段可以作一个等边三角形”，欧几里得先给出了作法，然后作出了图形，最后给出了证明，这是一个既有数学思维又有美学意义的开端.我们的几何解题教学也应回归到这个主题上——数学推理不仅仅是严谨的逻辑，还应该有“恰到好处的美”.
【参考文献】
[1]欧几里得.几何原本[M].燕晓东，译.南京：江苏人民出版社，2011.
[2]中学数学课程教材研究开发中心组.初中数学核心内容教学设计案例集[M].北京：人民教育出版社，2014.
[3]范连众，孔凡哲.“想得通”“想得到”“做得到”——谈学生发展核心素养在初中数学学科中的落实[J].辽宁教育，2018（3）：9-12.
[4]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准（2011）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[5]李峰，白亚娟.教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2017.
[6]约翰·查尔顿·波金霍尔.数学的意义[C].王文浩，译.长沙：湖南科学技术出版社，2018.
【关键词】初中数学;几何解题教学;图形作用
对于中考的较难题，南京市教研室提倡“一题一课”，即在初三的二轮复习中，用一节课的时间来解决一道题.本文则是作者以2018年南京中考第26题为例设计的一节复习课.主要探讨了在几何证明中，利用图形重构的方法（学生自己依据题目条件重新画图）探索几何证明题的解题思路.
【教学设计】
一、呈现题目
图1如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AF⊥DE，垂足为F.⊙O经过点C，D，F，与AD相交于点G.
（1）求证△AFG∽△DFC;
（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径.
二、图形的重构
问题1：你能否准确地画出该图形？
追问1：你画图的顺序是什么？（先画什么，再画什么）
设计意图：学生经过独立的思考，能够画出下图（图2），即先画出正方形ABCD，确定点E的位置，连接DE，过A作AF⊥ DE于F，从而确定点F的位置，连接CF.
追问2：如何确定圆心O的位置？
设计意图：学生很容易回答出⊙O过C，D，F三点，是△CDF的外接圆，要确定圆心O的位置，在线段CD，DF，FC中任选两条作垂直平分线的交点即可（图3）.
图2 图3 图4
追问3：（如图4）点G是如何确定的？
设计意图：G是⊙O与AD的交点，是由⊙O所确定的，这样，△AFG的形状也取决于⊙O，这个问题能引导学生在思考△AFG∽△DFC时，考虑⊙O带来的相关条件.
分析与解：从图形上看，∠FAG与∠FDC均为从直角中“减掉”一个小角，故考虑证明它们相等.∠FCD是⊙O的圆周角，而∠AGF是⊙O的圆周角∠FGD的补角，应建立它们之间的联系.我们知道，两组角相等可证相似，从而解决这个问题.
解题反思：在解决第（1）小题的时候，从构图上看，我们先构造出正方形，接着确定点E，F的位置，然后过C，D，F确定⊙O，最后确定点G.从证明的思路上看，我们在求证△AFG∽△DFC的过程中，一定会用到⊙O，因为点G是⊙O与AD的交点，从构图的顺序来看，⊙O的构造是先于点G的，即⊙O是因、点G是果.你作图的顺序同时也是你解题的顺序，构图序即解题序！
问题2：如果AB=4，AE=1，你画出的图形是否唯一确定？
追问1：把图中你能计算的所有线段的长度写下来.
追问2：⊙O的半径在图中可以是哪一条线段的长？
设计意图：通过依次对正方形ABCD，点E，F，⊙O与点G的构图（如图5），学生能感受到图中各点的位置都是确定的，从而图中所有的几何元素（线段、角）都是确定的，再由追问，明确这些元素的计算方法，自然地把求⊙O的半径转化为求图中线段OD（或OF，OC）的长度.
图6追问3：连接OD，你准备如何求OD的长度？
分析与解：由于在构图的过程中我们采用了作线段中垂线的方法得到圆心O，那么要求圆的半径则可以作如下辅助线（图6），连接OD，过O作OI⊥CD于I，作OK⊥DE于K，OK分别交AD，BC于J，L.求⊙O的半径，即求OD的长，进而转化为求KD和KO的长，DK=1[]2DF，KO=JO-KJ=1[]2JL-1[]2AF=1[]2DE-1[]2AF，而DE，DF，AF都可以轻松得到.
三、回顾、归纳与反思
在学生写完了整个题目之后，我又提出了这样一个问题：
在求解的过程中，你求出了很多条线段的长度，按求出它们的先后顺序把这些线段写下来，然后和你画图的顺序比较，你有什么发现？
我们能发现，在解决第（2）小题的过程中，图形的重构依然起着非常重要的作用.在解答中，由已知条件，得AD=4，AE=1，从而得到DE，EF，AF等线段的长度，在构图上有其对应的表现，先画出正方形，然后画出点E和点F.而求半径OD的过程在构图中则表现为由两条中垂线OI和JL决定了点O的位置.同样，解题序也是构图序.
四、换一种方式来思考
问题3：如果先画出⊙O，那么能否顺利地构造出整个图形？
设计意图：如图7，先画出⊙O，在⊙O上取一条弦CD，以CD为边长构造出正方形ABCD，⊙O与AD，BC的交点分别为G，H，接下来应该怎么画呢？这里学生会有分歧.
如图8，在AB边上任取一点E，过A作AF⊥DE于F，发现F并不在⊙O上，构图与题设不符.若要求F在⊙O上（如图9），连接AF，又不能保证AF与DE垂直，陷入了两难.又该如何解决呢？
经过思考，点F既要满足在⊙O上，又要满足AF⊥DE，点F应该相当特殊，只要将图9略加变化为图10（延长AF），要满足AF与DE垂直这一条件，图10中∠1=90°，∠1为直径所对的圆周角，∠1的边与⊙O已有一个交点D，∠1的另一边与⊙O的交点应是⊙O的直径DH的另一个端点H（如图11），问题就迎刃而解了，F点为AH与⊙O的交点，确定点F后，DF与AB的交点即为点E.
分析与解：以⊙O为基础构造出整个图形，使我们得到了一个更简洁的解法（如图12），简述如下：易证△ADE≌△BAH，从而得到BH=AE=1，则CH=3，连接DH，利用勾股定理得直径DH=CH2 CD2=5，继而求出半径为2.5. 五、梳理解题思路，提炼思想方法
本节课围绕一道中考题的解法展开，与以往不同的是，学生并没有依赖题目本身所提供的图形，而是自己从零开始，根据题目条件本身的逻辑结构一步一步地画出了解题需要的整个图形，按照构图的顺序，逐步确定解题需要的元素，在图形构建完毕的同时得到了证明的思路.甚至从不同的起点开始构造图形，得到的证明思路也完全不同.我们可以称这样的解题方法为“图形重构”法.可以用下面這个结构图来表示.
【教学思考】
从数学核心素养的角度看，证明题的解法不仅仅体现了逻辑推理，证明题中包含的几何图形对学生的直观想象能力也提出了要求.在几何证明中，图形的构造与问题的推理其实是同一个实质的两种不同表现，而图形的重构与思路的建立同步进行，加深了它们之间的关系，图形的构建应具有逻辑顺序，而推理的过程则是图形构建的自然生成.
几何课的教学与评价中，教师常常把作图题和证明题看作两个不同的题型，把作图与证明人为地割裂开，其实这样不利于学生对数学知识结构的整体理解.作者认为，几何证明题的教学中，应当给学生充分的时间，鼓励他们自己建构解题需要的图形.几何解题需要一个准确且漂亮的图形，而这个图形应该由解题者自己构建.因为画图的过程实际上也是一个先定性分析后定量分析的过程，如果能准确作出图形，那么该图形的一切元素皆可求（定性）.而作图的先后顺序和确定图形的约束条件，也正是逻辑推理的顺序与材料（定量）.
《几何原本》的第一个命题是“已知一条线段可以作一个等边三角形”，欧几里得先给出了作法，然后作出了图形，最后给出了证明，这是一个既有数学思维又有美学意义的开端.我们的几何解题教学也应回归到这个主题上——数学推理不仅仅是严谨的逻辑，还应该有“恰到好处的美”.
【参考文献】
[1]欧几里得.几何原本[M].燕晓东，译.南京：江苏人民出版社，2011.
[2]中学数学课程教材研究开发中心组.初中数学核心内容教学设计案例集[M].北京：人民教育出版社，2014.
[3]范连众，孔凡哲.“想得通”“想得到”“做得到”——谈学生发展核心素养在初中数学学科中的落实[J].辽宁教育，2018（3）：9-12.
[4]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准（2011）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[5]李峰，白亚娟.教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2017.
[6]约翰·查尔顿·波金霍尔.数学的意义[C].王文浩，译.长沙：湖南科学技术出版社，2018.