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数学教学中，学生在理解了知识内容的基础上，还要经过多次反复的练习得才能达到巩固、运用以及系统化知识的目的，这也是数学学习的特点之一。然而，练习仅仅是“多次”“反复”就能顺利、有效地达成预期的教学目标吗？显然不是。
尽管新课程理念已深入人心，教师在课堂上“满堂灌”的现象也大为改观了，但我们仍然能看到，许多教师在练习方法上存在一些误区，即“强调练习的数量，忽视练习的功能”。这样只会加重学生的负担，甚至学生在重压之下“反弹”：练习的效果越来越差。练习不能“为练而练”，要有的放矢，精当而高效。鉴于此，优化练习设计、提高练习的有效性应为我们数学教师所关注。
在小学数学教学中，几乎没有一节课是只讲不练的，故练习质量的高低必将影响学生数学素养的形成。但在当前数学教学过程中，出现了重视练习数量轻视练习设计、重视被动完成轻视主动指导等现象，值得我们反思，也促使我们去探索小学数学练习运用的优化策略，做到既关注知识技能的掌握，又调动学生的学习动机，促使学生全面发展。
一、小学数学练习价值的再认识
长期以来，练习的功能被定位在“知识的理解和巩固”“技能技巧的强化”和“知识技能的检测”上，好像和教育行政部门倡导“减负增效”的教育夙愿以及课程标准所倡导的“从学生的生活经验出发，注重过程探究、情感体验”的要求相距甚远。
其实，我们阅读不同时期、不同版本的小学数学教材都会发现，练习份额约占全册容量的60%左右。其原因在于学生理解知识、形成技能等不是一次完成的，而是要在初步理解的基础上，经过多次反复练习才能达到巩固、运用以及系统化的目的。心理学研究表明：“练习时学习者对学习任务的重复接触或重复反应，是学习者心智技能和动作技能形成的基本途径。”
练习是数学教学活动中重要组成部分，它是以训练为基本手段，以思维为核心，促使学生的知识得到巩固，并逐渐形成技能，发展智力的过程。在课程改革的背景下，数学练习的价值应该体现在以下几个方面：一是帮助学生掌握课程标准规定的数学知识和技能，落实“四基”目标（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）；二是促使学生思维发展、提高数学素养，较好实现过程性目标（数学思考、问题解决）；三是及时反馈教学效果，检查学生独立学习能力，评价教与学的水平。
二、小学数学练习运用的优化策略
合理运用练习是减轻学生负担，提高教学效率的有效举措，也是发展学生数学思维，提高数学素养的重要途径。在诸多有关数学练习的研究文献中，较多关注练习设计的题型或题目，往往忽视了教材习题的深度开发和基本练习类型的运用。因此，我们在设计练习时，要认真钻研教材，理解编排意图，根据学生认知特点，本着以“课本习题为主、课外习题为辅”的原则，对学生已有练习中习题作适当调整、组合、补充，提高练习的“广度”和“深度”，对学生进行有针对性的训练。
1. 利用教材习题——丰富认知
教材习题是小学数学练习的重要组成部分，是学生消化所学数学知识并转化成技能的重要载体。许多教师较多关注教材习题解答方法的多样化，往往忽视了教材练习的隐含功能。教师对教材习题不做细致的推敲，其直接后果是教材习题的功能被弱化，教材意图不能显现。因此，数学教师应认真研读每一道教材习题，认真选取典型有效的习题组织学生进行练习，使习题的效益达到最大化。
下面是人教版《数学》三年级上册《测量》的课后练习第1题。
先判断下面哪个图形是正方形的，再量一量，看看你的判断对不对。
本题以两个四边形为知识载体，是建立在学生对原有正方形认识基础上的，通过几何直观、动手测量判断哪个图形是正方形，主要考查学生测量的知识和测量的方法。但是出于对学生数学的整体素养和知识的横纵向联系考虑，我对这一道习题做了以下调整，以测量知识为主线，将知识的生长点架构在空间与图形这一领域内，分别从说一说，量一量，变一变这三个层次逐级深化：
①说一说，哪一个图形不是正方形，你是怎么想的？
②量一量，看你的判断是否正确？
③变一变，把第二个长方形也变成正方形，你有几种方法？
以上三个层次对习题做了调整，使学生认识活动划分为由易到难、由简到繁的递进层次，培养学生思维的深刻性。从第一个问题当中：“你是怎么想的？”唤醒学生的认知起点，让学生通过几何直观来判断哪个图形不是正方形，进而为学生估测“哪组对边长”做好铺垫，让学生意识到估测的出发点和最终目的，都是为了服务于生活；第二个问题的提出是让学生动手去检验估测的结果，是对估测结果的考查，为第三个问题做好承接；第三个问题以正方形的边长特征为出发点，将长方形改成正方形，加深了对长方形和正方形的认识。
根据教材习题合理改编，一题用“足”，不仅帮助学生巩固了知识，而且使学生的知识系统更加完善，更培养了学生思维的深刻性。
2. 善用过渡练习——领悟本质
在数学教学过程中，有些学习内容或者较为抽象，或者所需知识经验学生较匮乏等原因，我们直接教学这样的内容，必然学生难以理解、教学效果不佳。因此，在教学这样的内容时，我们需要根据教学需要，设计一些过渡性练习，帮助学生沟通新旧知识的联系，更好地理解学习内容的本质。
例如“甲数比乙数多[13]，乙数比甲数少[13]”是学生反复出现的错误，产生的原因：一是学生形成了固有认识“甲比乙多几，就是乙比甲少几”；二是学生对“求一个数比另一个数多（少）几分之几”的问题不理解。在辅导过程中，可以设计这样的练习。
某小组有男生4人，女生5人。
①根据以上信息画出线段图。
例如：
②女生比男生多（ ）人，以男生人数为标准量，怎样描述女生人数比男生人数多的部分？
可以这样描述：女生比男生多1人，以男生人数为标准量，多的人数是男生人数的[14]，可以说女生比男生多[14]。 ③男生比女生少（ ）人，以女生人数为标准量，怎样描述男生人数比女生人数少的部分？
可以这样描述：男生比女生少1人，以女生人数为标准量，少的人数是女生人数的[15]，可以说男生比女生少[15]。
在学生初步接触“求一个数比另一个数多（少）几分之几”的问题时，进行这样的训练，有效地借助直观手段帮助完善“比较量相同、标准量不同、分率也不同”的认知结构。
3. 活用变式练习——举一反三
数学教学的重要功能是对学生数学思维的培养。在日常教学过程中，我们活用变式练习，引导学生加深对所学内容的认识和理解，还可以有效培养思维的灵活性。在常规教学，许多教师比较关注对数学公式、数学规律的变式练习，却忽视了对数学概念的变式理解。
下面以人教版《数学》五年级下册《因数和倍数》一课为例，说明概念教学的变式练习。
教材是没有在“整除”的前提下，定义“因数”“倍数”的概念，而是直接根据图示用描述性的语言来定义：“2和6是12的因数。12是2的倍数，也是6的倍数。”
虽然教材没有提及“整除”，但是“整除”仍然是“因数”“倍数”概念的本质属性。因此，在教学时，我们设计了“72是8的倍数”的判断题，改变了教材中根据乘法算式，描述因数和倍数关系的“标准”说法，直接让学生思考72和8之间的关系。引导学生从乘法和除法两个角度去思考，发现乘法和除法之间是一种互逆的关系，但都可以研究因数和倍数的关系。究其原因是因为8能整除72，这种“整除”意识可以得到了渗透。
又如我们也会发现这样的错例“将[1214]的分子加上6，要使分数的大小不变，分母应加上（6）”。究其原因是学生对分数的基本性质不理解，性质中只有“同时乘或者除以”，没有“加上”的说法，说明学生对性质理解不准确。因此，在教学这一内容的时，我们通过“变”，既能巩固性质又能加深理解。如《分数的基本性质》里确实没有“加上”的说法，但我们可以引导学生把“加”转化成为“乘”去思考，并且不难得出“分子和分母同时加上相同的倍数，分数的大小不变”这一结论。与此同时，还可以将本题中改为“将[1214]的分母减去7，要使分数的大小不变，分子应减去（ ）”，这样引导学生把“减去”转化成“除以”去思考，也可以得出相关结论。这样的变式练习，既加深了学生对原性质的理解，又增加了灵活解决问题的经验。
4. 巧用对比练习——加深理解
在数学教学中，我们经常运用对比练习来帮助学生加深对数学知识理解。从对比练习的实质来看，对比的目的就是比较，即比较题目之间相同点或不同点，从而使学生加深理解。下面结合学生的常见错例进行分析。
例如在计算[14÷（13 14）]时，容易出现这样的错误“[14÷（13 14）=14÷][13 ][14÷14=42 56=98]”。显然，这个错误是由于使用运算定律不当造成的，运用了并不存在的“除法分配律”。在引导学生纠错的过程中，不仅要关注运算顺序，让学生体会到运用正确运算顺序的计算结果的正确性，即[14÷（13 14）]=14÷[712]=24。还要引导学生将这个算式的数学结构与乘法分配律的数学结构进行比较，从而形成对乘法分配律正确的认识。比较数学结构时，可以运用对比练习。如计算（[13] [14]）÷[12]，学生在对比中可以发现两个算式的数学结构可以这样理解。通过对比练习，对比数学结构学生对乘法分配律的深刻的认识，克服了思维定势对学生计算的干扰。
[算 式＼
尽管新课程理念已深入人心，教师在课堂上“满堂灌”的现象也大为改观了，但我们仍然能看到，许多教师在练习方法上存在一些误区，即“强调练习的数量，忽视练习的功能”。这样只会加重学生的负担，甚至学生在重压之下“反弹”：练习的效果越来越差。练习不能“为练而练”，要有的放矢，精当而高效。鉴于此，优化练习设计、提高练习的有效性应为我们数学教师所关注。
在小学数学教学中，几乎没有一节课是只讲不练的，故练习质量的高低必将影响学生数学素养的形成。但在当前数学教学过程中，出现了重视练习数量轻视练习设计、重视被动完成轻视主动指导等现象，值得我们反思，也促使我们去探索小学数学练习运用的优化策略，做到既关注知识技能的掌握，又调动学生的学习动机，促使学生全面发展。
一、小学数学练习价值的再认识
长期以来，练习的功能被定位在“知识的理解和巩固”“技能技巧的强化”和“知识技能的检测”上，好像和教育行政部门倡导“减负增效”的教育夙愿以及课程标准所倡导的“从学生的生活经验出发，注重过程探究、情感体验”的要求相距甚远。
其实，我们阅读不同时期、不同版本的小学数学教材都会发现，练习份额约占全册容量的60%左右。其原因在于学生理解知识、形成技能等不是一次完成的，而是要在初步理解的基础上，经过多次反复练习才能达到巩固、运用以及系统化的目的。心理学研究表明：“练习时学习者对学习任务的重复接触或重复反应，是学习者心智技能和动作技能形成的基本途径。”
练习是数学教学活动中重要组成部分，它是以训练为基本手段，以思维为核心，促使学生的知识得到巩固，并逐渐形成技能，发展智力的过程。在课程改革的背景下，数学练习的价值应该体现在以下几个方面：一是帮助学生掌握课程标准规定的数学知识和技能，落实“四基”目标（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）；二是促使学生思维发展、提高数学素养，较好实现过程性目标（数学思考、问题解决）；三是及时反馈教学效果，检查学生独立学习能力，评价教与学的水平。
二、小学数学练习运用的优化策略
合理运用练习是减轻学生负担，提高教学效率的有效举措，也是发展学生数学思维，提高数学素养的重要途径。在诸多有关数学练习的研究文献中，较多关注练习设计的题型或题目，往往忽视了教材习题的深度开发和基本练习类型的运用。因此，我们在设计练习时，要认真钻研教材，理解编排意图，根据学生认知特点，本着以“课本习题为主、课外习题为辅”的原则，对学生已有练习中习题作适当调整、组合、补充，提高练习的“广度”和“深度”，对学生进行有针对性的训练。
1. 利用教材习题——丰富认知
教材习题是小学数学练习的重要组成部分，是学生消化所学数学知识并转化成技能的重要载体。许多教师较多关注教材习题解答方法的多样化，往往忽视了教材练习的隐含功能。教师对教材习题不做细致的推敲，其直接后果是教材习题的功能被弱化，教材意图不能显现。因此，数学教师应认真研读每一道教材习题，认真选取典型有效的习题组织学生进行练习，使习题的效益达到最大化。
下面是人教版《数学》三年级上册《测量》的课后练习第1题。
先判断下面哪个图形是正方形的，再量一量，看看你的判断对不对。
本题以两个四边形为知识载体，是建立在学生对原有正方形认识基础上的，通过几何直观、动手测量判断哪个图形是正方形，主要考查学生测量的知识和测量的方法。但是出于对学生数学的整体素养和知识的横纵向联系考虑，我对这一道习题做了以下调整，以测量知识为主线，将知识的生长点架构在空间与图形这一领域内，分别从说一说，量一量，变一变这三个层次逐级深化：
①说一说，哪一个图形不是正方形，你是怎么想的？
②量一量，看你的判断是否正确？
③变一变，把第二个长方形也变成正方形，你有几种方法？
以上三个层次对习题做了调整，使学生认识活动划分为由易到难、由简到繁的递进层次，培养学生思维的深刻性。从第一个问题当中：“你是怎么想的？”唤醒学生的认知起点，让学生通过几何直观来判断哪个图形不是正方形，进而为学生估测“哪组对边长”做好铺垫，让学生意识到估测的出发点和最终目的，都是为了服务于生活；第二个问题的提出是让学生动手去检验估测的结果，是对估测结果的考查，为第三个问题做好承接；第三个问题以正方形的边长特征为出发点，将长方形改成正方形，加深了对长方形和正方形的认识。
根据教材习题合理改编，一题用“足”，不仅帮助学生巩固了知识，而且使学生的知识系统更加完善，更培养了学生思维的深刻性。
2. 善用过渡练习——领悟本质
在数学教学过程中，有些学习内容或者较为抽象，或者所需知识经验学生较匮乏等原因，我们直接教学这样的内容，必然学生难以理解、教学效果不佳。因此，在教学这样的内容时，我们需要根据教学需要，设计一些过渡性练习，帮助学生沟通新旧知识的联系，更好地理解学习内容的本质。
例如“甲数比乙数多[13]，乙数比甲数少[13]”是学生反复出现的错误，产生的原因：一是学生形成了固有认识“甲比乙多几，就是乙比甲少几”；二是学生对“求一个数比另一个数多（少）几分之几”的问题不理解。在辅导过程中，可以设计这样的练习。
某小组有男生4人，女生5人。
①根据以上信息画出线段图。
例如：
②女生比男生多（ ）人，以男生人数为标准量，怎样描述女生人数比男生人数多的部分？
可以这样描述：女生比男生多1人，以男生人数为标准量，多的人数是男生人数的[14]，可以说女生比男生多[14]。 ③男生比女生少（ ）人，以女生人数为标准量，怎样描述男生人数比女生人数少的部分？
可以这样描述：男生比女生少1人，以女生人数为标准量，少的人数是女生人数的[15]，可以说男生比女生少[15]。
在学生初步接触“求一个数比另一个数多（少）几分之几”的问题时，进行这样的训练，有效地借助直观手段帮助完善“比较量相同、标准量不同、分率也不同”的认知结构。
3. 活用变式练习——举一反三
数学教学的重要功能是对学生数学思维的培养。在日常教学过程中，我们活用变式练习，引导学生加深对所学内容的认识和理解，还可以有效培养思维的灵活性。在常规教学，许多教师比较关注对数学公式、数学规律的变式练习，却忽视了对数学概念的变式理解。
下面以人教版《数学》五年级下册《因数和倍数》一课为例，说明概念教学的变式练习。
教材是没有在“整除”的前提下，定义“因数”“倍数”的概念，而是直接根据图示用描述性的语言来定义：“2和6是12的因数。12是2的倍数，也是6的倍数。”
虽然教材没有提及“整除”，但是“整除”仍然是“因数”“倍数”概念的本质属性。因此，在教学时，我们设计了“72是8的倍数”的判断题，改变了教材中根据乘法算式，描述因数和倍数关系的“标准”说法，直接让学生思考72和8之间的关系。引导学生从乘法和除法两个角度去思考，发现乘法和除法之间是一种互逆的关系，但都可以研究因数和倍数的关系。究其原因是因为8能整除72，这种“整除”意识可以得到了渗透。
又如我们也会发现这样的错例“将[1214]的分子加上6，要使分数的大小不变，分母应加上（6）”。究其原因是学生对分数的基本性质不理解，性质中只有“同时乘或者除以”，没有“加上”的说法，说明学生对性质理解不准确。因此，在教学这一内容的时，我们通过“变”，既能巩固性质又能加深理解。如《分数的基本性质》里确实没有“加上”的说法，但我们可以引导学生把“加”转化成为“乘”去思考，并且不难得出“分子和分母同时加上相同的倍数，分数的大小不变”这一结论。与此同时，还可以将本题中改为“将[1214]的分母减去7，要使分数的大小不变，分子应减去（ ）”，这样引导学生把“减去”转化成“除以”去思考，也可以得出相关结论。这样的变式练习，既加深了学生对原性质的理解，又增加了灵活解决问题的经验。
4. 巧用对比练习——加深理解
在数学教学中，我们经常运用对比练习来帮助学生加深对数学知识理解。从对比练习的实质来看，对比的目的就是比较，即比较题目之间相同点或不同点，从而使学生加深理解。下面结合学生的常见错例进行分析。
例如在计算[14÷（13 14）]时，容易出现这样的错误“[14÷（13 14）=14÷][13 ][14÷14=42 56=98]”。显然，这个错误是由于使用运算定律不当造成的，运用了并不存在的“除法分配律”。在引导学生纠错的过程中，不仅要关注运算顺序，让学生体会到运用正确运算顺序的计算结果的正确性，即[14÷（13 14）]=14÷[712]=24。还要引导学生将这个算式的数学结构与乘法分配律的数学结构进行比较，从而形成对乘法分配律正确的认识。比较数学结构时，可以运用对比练习。如计算（[13] [14]）÷[12]，学生在对比中可以发现两个算式的数学结构可以这样理解。通过对比练习，对比数学结构学生对乘法分配律的深刻的认识，克服了思维定势对学生计算的干扰。
[算 式＼