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一、习题课中实施“问题—探究”教学模式的问题提出
随着高中新课程改革的逐步展开，“问题—探究”教学模式作为一种新的教学模式，越来越显现出积极的意义，它将实现教师教育方式、学生学习方式和课堂教学方式的全方位革新。目前，国内对“问题—探究”教学模式的研究情况是理论研究较多，教学实践研究较少，并且大多数“问题—探究”教学模式的教学实践研究也只是在新授课中进行。而习题课作为数学课不可缺少的课型，是以巩固知识、训练技能技巧、发展思维为主要任务。因此，从理论到实践去研究在习题课中如何实施“问题—探究”教学模式是十分必要的。
二、“问题—探究”教学模式的含义及其实施意义
“问题—探究”教学模式是指根据教学内容及要求，由教师创设问题情境，以问题的发现、探究和解决来激发学生的求知欲、创造欲和主体意识，培养学生创新能力的一种教学模式。普通高中《数学课程标准》提出，数学教育要以有利于学生全面发展为中心，以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为基本点。在此理念下，数学教学应是数学活动的过程。因此，“问题—探究”教学模式旨在着力体现新课程关于数学教学的基本理念，把现代理念与教育实践有机结合起来，让教师在教学过程中对相关要求有所遵循，改革传统教学模式的弊端，更好地达成新课程期望的数学教育的目标。
三、习题课中实施“问题—探究”教学模式的操作程序
习题课对于学生思维能力的培养、知识的巩固有重要作用，因此如何上好它，对每一位教师而言是一个值得不断思考和探讨的问题。笔者根据“问题—探究”教学模式的理论以及针对习题课的具体特点及要求，在教学实践中不断学习摸索，总结实验，发现在习题课中按照基本程序：设问激趣→探究尝试→合作交流→变式拓展→归纳小结来实施“问题—探究”教学模式，能收到较好的效果，不仅能够提高学生的数学学习成绩，而且能提高学生的学习兴趣、拓展学生思路，培养学生的探究和创新意识。
四、习题课中实施“问题—探究”教学模式的教学案例
［课题］ 不等式证明
［目的］ 通过本课时的教学，使学生系统掌握不等式证明的三种常用方法和基本不等式及其运用，同时着力培养学生的逻辑推理论证能力，提高学生分析问题、解决问题的能力，借以发展学生的探究能力，并使学生在领会不等式的证明方法的同时，感受到数学的美妙，提高其数学素养。
［重点］ 培养学生的逻辑推理论证能力，使学生能针对具体问题，进行具体的分析，灵活运用各种证法。
［难点］ 综合法证明不等式。
［方法］ 问题探究教学法
［过程］
1.提出问题，激发兴趣
引言：同学们，我们已经学习了不等式证明的三种方法——比较法、综合法和分析法。今天我们上一节习题课，来系统认识不等式的三种证明方法，提高同学们证明不等式的能力。（板书课题：不等式的证明）
你能用什么方法证明下面的不等式？
［评述］ 开门见山，让学生明确学习目的，为新课指明方向。
[板书] 如果a,b∈R+，求证：a3+b3≥a2b+ab2。
［评述］提出问题让学生思考，創设问题情境，激发学生学习欲望和要求，唤起学生对旧知识的回忆。习题课的重点是习题的处理，其中选题是重要环节，是教师备课的重点。精选例题要体现基础知识应用、基本方法训练、具有指导意义，凸显针对性（认识误区、解题失误）、典型性（做一题、会一法、想一串，能归纳事物本质或解法规律）、多样性（活化知识、提高能力，能体现一题多解、一题多变）。安排“小坡度、密台阶”的习题，有利于学生在“发现区”内解题，有利于学生“步步登高”，使学生感到“高而可攀”，由此调动学生做题的积极性，树立学生解题的必胜信心。
2.探究尝试，合作交流
（1）基本方法。
如何证明不等式呢？我们首先回忆不等式证明有哪些基本方法？
[板书] 比较法、分析法、综合法（四个基本不等式）
分别由学生阐述三种证明方法，并给出各自的证明。教师评判并简单小结。
［评述］ 通过教师启发，让学生逐步回忆所学知识，并应用它们来分析问题、解决问题，以形成较系统和完整的知识结构。
（2）其他方法。
设问：除了上面的三种证明方法，还有其他证明方法吗？
探究：调动学生积极开展讨论，发表不同的观点。教师可适时点拨。通过巡视，与学生一起总结证法。
3.变式引申，拓展思维
设问：你能改编原不等式，或对不等式进行一般化吗？
（1）结论变化：已知a，b ∈R+，求证：2（a3+b3）≥（a+b)（a2+b2）。
已知a，b ∈R+，求证：4（a3+b3）≥（a+b)3。
（2）条件变化：已知a，b ∈R+，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2。
已知a，b ∈R+，a+b≥0，求证：a3+b3≥a2b+ab2。
（3）幂次变化：已知a，b ∈R+，求证：a4+b4≥a3b+ab3。
已知a，b ∈R+，n为正整数，求证：an+1+bn+1≥anb+abn。
已知a，b ∈R+，m，n为正整数，求证:am+n+bm+n≥ambn+anbm。
（4）项数变化：已知a，b，c∈R+，且不全相等，求证：
2(a3+b3+c3）＞a2（b+c）+b2（c+a） +c2(a+b）。
已知 ai∈R+（i=1，2，…，n），n∈N+,求证：
n（a31+a32+…+a3n）≥（a1+a2+…+an）·（ a21+a22+…+a2n）。
［评述］ 变式拓展是深化知识十分有效的手段。变式引申，可使学生所学的知识得到巩固与提高，创新能力也得到发展。变式拓展的目的是防止学生机械模仿，使学生练习的思维过程具有合理的梯度，逐步增加创造性因素。在习题课教学中，教师如果能够经常引导学生在解题后再思考其结果所包含的意义，反思是否可将题设条件和结果进行引申和变换，设置变式拓展题目或题组，多角度运用知识，多途径对技能方法进行练习，这将有助于学生把知识学活，有助于学生举一反三、触类旁通，有助于学生产生学习的“最佳动机”和激发学生的灵感，从而升华学生的思维，培养学生的创新意识。值得一提的是，变式拓展的题目，也同样需要学生的探究活动。因此，模式结构中的探究尝试、合作交流、变式拓展三大步骤组成了一个闭合回路，应根据教学条件灵活运用模式而不唯模式。
4.反馈矫正，练习巩固
已知a，b，c∈R+，求证：ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）≥6abc。
［评述］ 在习题课的教学中教师要根据反馈练习，及时对学生的掌握情况进行了解。一方面教师及时在练习中获得信息反馈，可以及时调整原来的教学进程；另一方面，教师也可以指导学生根据反馈信息调整自己的学习，帮助学生优化认知结构，调理问题解决的思维模式，使学生形成知识体系。
5.归纳小结，延伸提高
教师引导：
常用证法 比较法分析法综合法基本不等式a2+b2≥2ab（a，b∈R） ≥ （a，b∈R+）a3+b3+c3≥3abc（a，b∈R+） ≥ （a，b，c∈R+）
［评述］ 习题课的归纳小结，重在使知识纳入系统，使方法得到提炼，使解题思路得以开阔。归纳小结既可由学生对本节习题课重点内容进行回顾、概括，亦可由教师对学生的奇思妙解进行鼓励，对疏漏进行回授补偿，还可在短短的结语中设置悬念，为后续教学埋下伏笔。
6.布置作业，重现知识
1．已知a，b∈R+，求证：(a+b）（a3+b3）≥（a2+b2）2。
［评述］ 习题课的结束肯定不能代表任务的完成，必须有目的、有计划地安排一定程度的重现性作业，才能保证学生获得牢固的知识和熟练的技能，但重现并不等同于机械重复。因此，课外设置变式习题，如同质异型题、同形异质题、逆向思维题进行思维训练及等效实验设计，进一步巩固本课所学方法。
由此案例可以看出：在实施“问题—探究”教学模式的过程中，教师仅仅起了向导作用，教师设问引导学生探索、思考。学生也从一个接受者的角色转化为一个探究者，通过思考、探究、讨论、归纳、总结等活动方式，从自己的最近发展区去研究学习，从而建构了自己新的知识结构，提高了数学学习的探究能力，促进了数学思维的发展，同时为以后的学习和其他课程的学习培养了良好的素质。因此，在习题课中构建与实施“问题—探究”教学模式能够进一步优化教学过程，提高高中数学课堂教学的有效性，培养学生的探究和创新意识。◆（作者单位：广东省番禺中学）
□责任编辑：周瑜芽
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
随着高中新课程改革的逐步展开，“问题—探究”教学模式作为一种新的教学模式，越来越显现出积极的意义，它将实现教师教育方式、学生学习方式和课堂教学方式的全方位革新。目前，国内对“问题—探究”教学模式的研究情况是理论研究较多，教学实践研究较少，并且大多数“问题—探究”教学模式的教学实践研究也只是在新授课中进行。而习题课作为数学课不可缺少的课型，是以巩固知识、训练技能技巧、发展思维为主要任务。因此，从理论到实践去研究在习题课中如何实施“问题—探究”教学模式是十分必要的。
二、“问题—探究”教学模式的含义及其实施意义
“问题—探究”教学模式是指根据教学内容及要求，由教师创设问题情境，以问题的发现、探究和解决来激发学生的求知欲、创造欲和主体意识，培养学生创新能力的一种教学模式。普通高中《数学课程标准》提出，数学教育要以有利于学生全面发展为中心，以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为基本点。在此理念下，数学教学应是数学活动的过程。因此，“问题—探究”教学模式旨在着力体现新课程关于数学教学的基本理念，把现代理念与教育实践有机结合起来，让教师在教学过程中对相关要求有所遵循，改革传统教学模式的弊端，更好地达成新课程期望的数学教育的目标。
三、习题课中实施“问题—探究”教学模式的操作程序
习题课对于学生思维能力的培养、知识的巩固有重要作用，因此如何上好它，对每一位教师而言是一个值得不断思考和探讨的问题。笔者根据“问题—探究”教学模式的理论以及针对习题课的具体特点及要求，在教学实践中不断学习摸索，总结实验，发现在习题课中按照基本程序：设问激趣→探究尝试→合作交流→变式拓展→归纳小结来实施“问题—探究”教学模式，能收到较好的效果，不仅能够提高学生的数学学习成绩，而且能提高学生的学习兴趣、拓展学生思路，培养学生的探究和创新意识。
四、习题课中实施“问题—探究”教学模式的教学案例
［课题］ 不等式证明
［目的］ 通过本课时的教学，使学生系统掌握不等式证明的三种常用方法和基本不等式及其运用，同时着力培养学生的逻辑推理论证能力，提高学生分析问题、解决问题的能力，借以发展学生的探究能力，并使学生在领会不等式的证明方法的同时，感受到数学的美妙，提高其数学素养。
［重点］ 培养学生的逻辑推理论证能力，使学生能针对具体问题，进行具体的分析，灵活运用各种证法。
［难点］ 综合法证明不等式。
［方法］ 问题探究教学法
［过程］
1.提出问题，激发兴趣
引言：同学们，我们已经学习了不等式证明的三种方法——比较法、综合法和分析法。今天我们上一节习题课，来系统认识不等式的三种证明方法，提高同学们证明不等式的能力。（板书课题：不等式的证明）
你能用什么方法证明下面的不等式？
［评述］ 开门见山，让学生明确学习目的，为新课指明方向。
[板书] 如果a,b∈R+，求证：a3+b3≥a2b+ab2。
［评述］提出问题让学生思考，創设问题情境，激发学生学习欲望和要求，唤起学生对旧知识的回忆。习题课的重点是习题的处理，其中选题是重要环节，是教师备课的重点。精选例题要体现基础知识应用、基本方法训练、具有指导意义，凸显针对性（认识误区、解题失误）、典型性（做一题、会一法、想一串，能归纳事物本质或解法规律）、多样性（活化知识、提高能力，能体现一题多解、一题多变）。安排“小坡度、密台阶”的习题，有利于学生在“发现区”内解题，有利于学生“步步登高”，使学生感到“高而可攀”，由此调动学生做题的积极性，树立学生解题的必胜信心。
2.探究尝试，合作交流
（1）基本方法。
如何证明不等式呢？我们首先回忆不等式证明有哪些基本方法？
[板书] 比较法、分析法、综合法（四个基本不等式）
分别由学生阐述三种证明方法，并给出各自的证明。教师评判并简单小结。
［评述］ 通过教师启发，让学生逐步回忆所学知识，并应用它们来分析问题、解决问题，以形成较系统和完整的知识结构。
（2）其他方法。
设问：除了上面的三种证明方法，还有其他证明方法吗？
探究：调动学生积极开展讨论，发表不同的观点。教师可适时点拨。通过巡视，与学生一起总结证法。
3.变式引申，拓展思维
设问：你能改编原不等式，或对不等式进行一般化吗？
（1）结论变化：已知a，b ∈R+，求证：2（a3+b3）≥（a+b)（a2+b2）。
已知a，b ∈R+，求证：4（a3+b3）≥（a+b)3。
（2）条件变化：已知a，b ∈R+，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2。
已知a，b ∈R+，a+b≥0，求证：a3+b3≥a2b+ab2。
（3）幂次变化：已知a，b ∈R+，求证：a4+b4≥a3b+ab3。
已知a，b ∈R+，n为正整数，求证：an+1+bn+1≥anb+abn。
已知a，b ∈R+，m，n为正整数，求证:am+n+bm+n≥ambn+anbm。
（4）项数变化：已知a，b，c∈R+，且不全相等，求证：
2(a3+b3+c3）＞a2（b+c）+b2（c+a） +c2(a+b）。
已知 ai∈R+（i=1，2，…，n），n∈N+,求证：
n（a31+a32+…+a3n）≥（a1+a2+…+an）·（ a21+a22+…+a2n）。
［评述］ 变式拓展是深化知识十分有效的手段。变式引申，可使学生所学的知识得到巩固与提高，创新能力也得到发展。变式拓展的目的是防止学生机械模仿，使学生练习的思维过程具有合理的梯度，逐步增加创造性因素。在习题课教学中，教师如果能够经常引导学生在解题后再思考其结果所包含的意义，反思是否可将题设条件和结果进行引申和变换，设置变式拓展题目或题组，多角度运用知识，多途径对技能方法进行练习，这将有助于学生把知识学活，有助于学生举一反三、触类旁通，有助于学生产生学习的“最佳动机”和激发学生的灵感，从而升华学生的思维，培养学生的创新意识。值得一提的是，变式拓展的题目，也同样需要学生的探究活动。因此，模式结构中的探究尝试、合作交流、变式拓展三大步骤组成了一个闭合回路，应根据教学条件灵活运用模式而不唯模式。
4.反馈矫正，练习巩固
已知a，b，c∈R+，求证：ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）≥6abc。
［评述］ 在习题课的教学中教师要根据反馈练习，及时对学生的掌握情况进行了解。一方面教师及时在练习中获得信息反馈，可以及时调整原来的教学进程；另一方面，教师也可以指导学生根据反馈信息调整自己的学习，帮助学生优化认知结构，调理问题解决的思维模式，使学生形成知识体系。
5.归纳小结，延伸提高
教师引导：
常用证法 比较法分析法综合法基本不等式a2+b2≥2ab（a，b∈R） ≥ （a，b∈R+）a3+b3+c3≥3abc（a，b∈R+） ≥ （a，b，c∈R+）
［评述］ 习题课的归纳小结，重在使知识纳入系统，使方法得到提炼，使解题思路得以开阔。归纳小结既可由学生对本节习题课重点内容进行回顾、概括，亦可由教师对学生的奇思妙解进行鼓励，对疏漏进行回授补偿，还可在短短的结语中设置悬念，为后续教学埋下伏笔。
6.布置作业，重现知识
1．已知a，b∈R+，求证：(a+b）（a3+b3）≥（a2+b2）2。
［评述］ 习题课的结束肯定不能代表任务的完成，必须有目的、有计划地安排一定程度的重现性作业，才能保证学生获得牢固的知识和熟练的技能，但重现并不等同于机械重复。因此，课外设置变式习题，如同质异型题、同形异质题、逆向思维题进行思维训练及等效实验设计，进一步巩固本课所学方法。
由此案例可以看出：在实施“问题—探究”教学模式的过程中，教师仅仅起了向导作用，教师设问引导学生探索、思考。学生也从一个接受者的角色转化为一个探究者，通过思考、探究、讨论、归纳、总结等活动方式，从自己的最近发展区去研究学习，从而建构了自己新的知识结构，提高了数学学习的探究能力，促进了数学思维的发展，同时为以后的学习和其他课程的学习培养了良好的素质。因此，在习题课中构建与实施“问题—探究”教学模式能够进一步优化教学过程，提高高中数学课堂教学的有效性，培养学生的探究和创新意识。◆（作者单位：广东省番禺中学）
□责任编辑：周瑜芽
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”