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【摘要】近年来，“几何画板”被广泛地应用于数学课堂，这是对传统数学教学模式的一大突破，不仅有助于激发学生的数学学习兴趣，而且可以推动教师进行教学方式的革新.教师利用“几何画板”进行教学，能够将教学中的重点、难点更加直观、形象地展示出来，能够提高学生的学习积极性，培养学生自主探究的能力.在本文中，笔者将以高中数学课堂为研究对象，探究“几何画板”在高中数学课堂中的应用实践，挖掘其辅助数学教学的深层特点.
【关键词】几何画板;高中数学;教学实践与研究
“几何画板”（The Geometers Sketchpad）是一个出色的学习和教学软件，教师利用该软件，可以精确地画出各类图像，直观动态地演示图像，化静为动，营造一种真实的环境，使教学效果更加逼真，从而降低学生对数学学习的畏惧，使学生对知识、概念的理解更加清晰，同时也可以培养学生的空间想象力.“几何画板”在课堂中的融入，有效改善了学生的学习方式，改变了教师的教学方法，将课堂氛围从枯燥无味转化为生动活泼.
一、利用“几何画板”创设丰富的教学情境，激发学生的学习兴趣
将“几何画板”作为数学课堂教学的辅助工具，可以大大提高教学效率.教师借助“几何画板”可以为学生模拟出立体图形的三维影像，使学生的注意力集中到屏幕上，提高学生对知识的专注度并增强其好奇心，让学生以积极愉悦的态度去对待课堂知识，主动投身于教学情境中.
例如，在教学“指数函数及其图像”时，教师先用“几何画板”创设一个细胞分裂的情境，这样的导入贴近学生熟悉的实际生活，能够引起学生极大的兴趣.通过观察细胞分裂的过程，学生可以根据观察得出的规律归纳出细胞个数与细胞分裂之间的数学关系，再结合有关指数函数的知识，求出函数解析式、定义域等内容，此时教师再用“几何画板”绘制学生刚刚求得的指数函数的图像，能够让学生留下深刻的印象.
数学是同日常生活联系密切的学科，教师若在数学教学中利用“几何画板”创设情境，则可以将生活同学生的学习结合起来，使学生对数学学科多几分亲切、少几许陌生.例如，在“正弦函数的图像”这一课的教学中，教师可以借助“几何画板”创设弹簧振子作简谐振动的情境，模拟出有关生活化景象，使学生对正弦函数图像的记忆更加深刻.学习“椭圆”这一课时，教师若利用“几何画板”对行星的轨迹进行模拟，则可以帮助学生去感受椭圆的应用、感悟椭圆的本质规律，学生对模拟出的画面进行思索时能够更深入地理解椭圆的概念，这也是“几何画板”在数学概念教学中的影响之一.
心理学研究表明：学生的思维活动总是由问题开始的，并在解决问题的过程中得到发展.学生学习的过程就是一个不断提出问题，又不断解决问题的过程，因此在教学过程中教师要不断创设问题情境，激发学生的求知欲.教师创设问题情境，并借助“几何画板”为学生提供主动探索和发现问题的条件，使学生的思维能力在问题的猜想与验证中得到提升和发展.例如，研究幂函数图像的特征和性质时，教师创设问题情境：“同学们能否利用‘几何画板’在同一个直角坐标系中作出函数y=x，y=x2，y=x3，y=x12，y=x-1的图像？通过绘制的各函数图像的形状和位置的比较，同学们可以归纳出幂函数的性质吗？”让学生分小组动手操作“几何画板”生成函数y=xα，α是参数，随意改变α的值，如-2，-3，-12，23，32，2，4，5等，观察绘制出的各函数图像，对幂函数的性质进行验证.教师要给学生充分的时间，给他们想、做、说的机会，让他们讨论、质疑、交流，让学生通过“几何画板”的辅助，揭示、验证幂函数的图像特征和性质结论，这样原本静止枯燥的数学课就会变成轻松、活泼能够让学生展示自我的舞台，学生的积极性、参与度都会大大提高，从而在轻松愉快的氛围中获得知识.
二、利用“几何画板”动态展示教学内容，领悟数形结合的数学思想
在多年课堂教学实践中我们发现：学生在学习函数的有关概念、平面解析几何、立体几何等有关知识时，都或多或少存在一定的学习障碍，“数”与“形”不能很好地“统一”.
数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.然而，教学道具只有一块黑板、一支粉笔式的教学在讲解数形结合、图像动态变化、空间几何体等内容时比较困难，静态的、粗糙的粉笔作图很难把图像准确地描绘清楚.对此，利用“几何画板”可以展示图形变化的动态过程以及图像变化时随之出现的数值变化，将抽象的公式转化为形象的图像，把解题的过程直接呈现出来，真正意义上实现数形结合.
比如，教师用“几何画板”教授“直线与圆的关系”一课时，能够把教学内容变得形象、直观，一改枯燥无味的课堂氛围.再如：“几何画板”可以用来研究线性规划最优解的问题.例如：求目标函数z=2x y的最大值和最小值，使式中x，y满足下列约束条件： x-4y≤-3，3x 5y≤25，x≥1.
在实际教学中，我们发现学生在寻找最优解时常常出现一些问题：一是作图精度不够，很难准确画出可行域;二是不易控制目标函数的平移，找到的最优解出现错误.教师借助“几何画板”就可以解决这些困难，“几何画板”不仅能够精确画出可行域和目标直线，还可以清晰地演示自动平移直线y=-2x z寻找最优解的动态过程，让学生充分体验用图解法求最優解的发现、探索过程，建立精准的数形联系，使线性规划问题的求解深入浅出，通俗易懂.
从平面图形到空间立体图形，是认识上的一次飞跃，很多学生学得比较吃力，跟不上教师的节奏，将“几何画板”融入课堂教学可以解决这个问题.利用“几何画板”可以在极短时间内描绘出需要的几何图形，甚至可以对部分重点图形结构、辅助线等进行色彩标注，也可以选择设置闪烁效果，使其更为突出;利用“几何画板”构造的立体图形，可以旋转，学生能够清晰地看到图形的多个角度，这与传统教学方式中只能呈现图形的一个角度显著不同;利用“几何画板”可以将图形动态变化，有利于学生深入理解几何图形的面积、体积公式. 三、利用“几何画板”进行发现式探究活动，培养学生团结协作、解决问题的能力
高中数学中有很多教学难点，为了突破教学难点，教师可以让学生参与到精心设计的实验探究活动中.学生以问题为载体，在教师的引导下进行组内探究学习，体验探究学习的乐趣，同时培养分析、解决、转化问题的能力.
例如，在探究“三角形解的个数”时，对如下问题进行变形转换：
问题：在△ABC中，已知A=30°，a=1，b=2，求B;
变式1：在△ABC中，已知A=30°，a=12，b=2，求B;
变式2：在△ABC中，已知A=30°，a=3，b=2，求B;
变式3：在△ABC中，已知A=30°，a=32，b=2，求B;
变式4：在△ABC中，已知A=120°，a=3，b=2，求B;
变式5：在△ABC中，已知A=120°，a=1，b=2，求B.
探究：在三角形中，若两边和其中一边的对角已知，那么在怎样的情况下，求另一边对角时会出现两解的情况？一解、 无解呢？学生分组探究，合作交流，教师利用“几何画板”进行探究和验证（如下图）.
问题：一个解变式1：无解
变式2：一个解变式3：两个解
变式4：一个解变式5：无解
在探究阶段，教师借助“几何画板”的动画模拟功能，可以简洁而直观地揭示出三角形解的情况，在此基础上引导学生进行探究性问题的研究设计.此时，对于学生来说，数学学习变成了一种数学实验，大大提高了其学习积极性和解決实际问题的能力.
在研究三角函数y=Asin（ωx φ）的图像时，教师可以组织学生进行自主探究.学校要为学生创造进入电脑教室学习的机会，同时给学生电脑安装“几何画板”软件.学生可以分组进行探究，各小组探究y=Asin（ωx φ）的参数A，ω，φ的变化对函数图像的形状和位置的影响.如在“几何画板”中画出y=sin x，y=2sin x，y=3sin x，y=12sin x，y=13sin x的图像（如下图），合作探究参数A的变化对函数图像有什么影响.
学生以“几何画板”为平台进行演示、探究，合作、交流，并归纳总结，最终得出结论.这样的教学不但直观、灵活地揭示了知识之间的内在联系，也为学生提供了动手机会，可以让学生在实践中习得真正的知识.
总而言之，“几何画板”在高中数学教学课堂上可以发挥辅助工具的作用，教师利用“几何画板”进行教学能够将现代信息技术与数学学科相互融合，为学生创设自由的学习环境，帮助学生更好地学习知识、提高自身能力.
【参考文献】
[1]陶维林.几何画板实用范例教程[M].北京：清华大学出版社，2013.
[2]谢尚鸽.几何画板有效融入高中数学课堂教学的研究与实践[J].中国校外教育，2010（06）：83-84.
[3]刘虹.几何画板在高中数学教学中的应用[J].中国现代教育装备，2010（08）：54-57.
【关键词】几何画板;高中数学;教学实践与研究
“几何画板”（The Geometers Sketchpad）是一个出色的学习和教学软件，教师利用该软件，可以精确地画出各类图像，直观动态地演示图像，化静为动，营造一种真实的环境，使教学效果更加逼真，从而降低学生对数学学习的畏惧，使学生对知识、概念的理解更加清晰，同时也可以培养学生的空间想象力.“几何画板”在课堂中的融入，有效改善了学生的学习方式，改变了教师的教学方法，将课堂氛围从枯燥无味转化为生动活泼.
一、利用“几何画板”创设丰富的教学情境，激发学生的学习兴趣
将“几何画板”作为数学课堂教学的辅助工具，可以大大提高教学效率.教师借助“几何画板”可以为学生模拟出立体图形的三维影像，使学生的注意力集中到屏幕上，提高学生对知识的专注度并增强其好奇心，让学生以积极愉悦的态度去对待课堂知识，主动投身于教学情境中.
例如，在教学“指数函数及其图像”时，教师先用“几何画板”创设一个细胞分裂的情境，这样的导入贴近学生熟悉的实际生活，能够引起学生极大的兴趣.通过观察细胞分裂的过程，学生可以根据观察得出的规律归纳出细胞个数与细胞分裂之间的数学关系，再结合有关指数函数的知识，求出函数解析式、定义域等内容，此时教师再用“几何画板”绘制学生刚刚求得的指数函数的图像，能够让学生留下深刻的印象.
数学是同日常生活联系密切的学科，教师若在数学教学中利用“几何画板”创设情境，则可以将生活同学生的学习结合起来，使学生对数学学科多几分亲切、少几许陌生.例如，在“正弦函数的图像”这一课的教学中，教师可以借助“几何画板”创设弹簧振子作简谐振动的情境，模拟出有关生活化景象，使学生对正弦函数图像的记忆更加深刻.学习“椭圆”这一课时，教师若利用“几何画板”对行星的轨迹进行模拟，则可以帮助学生去感受椭圆的应用、感悟椭圆的本质规律，学生对模拟出的画面进行思索时能够更深入地理解椭圆的概念，这也是“几何画板”在数学概念教学中的影响之一.
心理学研究表明：学生的思维活动总是由问题开始的，并在解决问题的过程中得到发展.学生学习的过程就是一个不断提出问题，又不断解决问题的过程，因此在教学过程中教师要不断创设问题情境，激发学生的求知欲.教师创设问题情境，并借助“几何画板”为学生提供主动探索和发现问题的条件，使学生的思维能力在问题的猜想与验证中得到提升和发展.例如，研究幂函数图像的特征和性质时，教师创设问题情境：“同学们能否利用‘几何画板’在同一个直角坐标系中作出函数y=x，y=x2，y=x3，y=x12，y=x-1的图像？通过绘制的各函数图像的形状和位置的比较，同学们可以归纳出幂函数的性质吗？”让学生分小组动手操作“几何画板”生成函数y=xα，α是参数，随意改变α的值，如-2，-3，-12，23，32，2，4，5等，观察绘制出的各函数图像，对幂函数的性质进行验证.教师要给学生充分的时间，给他们想、做、说的机会，让他们讨论、质疑、交流，让学生通过“几何画板”的辅助，揭示、验证幂函数的图像特征和性质结论，这样原本静止枯燥的数学课就会变成轻松、活泼能够让学生展示自我的舞台，学生的积极性、参与度都会大大提高，从而在轻松愉快的氛围中获得知识.
二、利用“几何画板”动态展示教学内容，领悟数形结合的数学思想
在多年课堂教学实践中我们发现：学生在学习函数的有关概念、平面解析几何、立体几何等有关知识时，都或多或少存在一定的学习障碍，“数”与“形”不能很好地“统一”.
数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.然而，教学道具只有一块黑板、一支粉笔式的教学在讲解数形结合、图像动态变化、空间几何体等内容时比较困难，静态的、粗糙的粉笔作图很难把图像准确地描绘清楚.对此，利用“几何画板”可以展示图形变化的动态过程以及图像变化时随之出现的数值变化，将抽象的公式转化为形象的图像，把解题的过程直接呈现出来，真正意义上实现数形结合.
比如，教师用“几何画板”教授“直线与圆的关系”一课时，能够把教学内容变得形象、直观，一改枯燥无味的课堂氛围.再如：“几何画板”可以用来研究线性规划最优解的问题.例如：求目标函数z=2x y的最大值和最小值，使式中x，y满足下列约束条件： x-4y≤-3，3x 5y≤25，x≥1.
在实际教学中，我们发现学生在寻找最优解时常常出现一些问题：一是作图精度不够，很难准确画出可行域;二是不易控制目标函数的平移，找到的最优解出现错误.教师借助“几何画板”就可以解决这些困难，“几何画板”不仅能够精确画出可行域和目标直线，还可以清晰地演示自动平移直线y=-2x z寻找最优解的动态过程，让学生充分体验用图解法求最優解的发现、探索过程，建立精准的数形联系，使线性规划问题的求解深入浅出，通俗易懂.
从平面图形到空间立体图形，是认识上的一次飞跃，很多学生学得比较吃力，跟不上教师的节奏，将“几何画板”融入课堂教学可以解决这个问题.利用“几何画板”可以在极短时间内描绘出需要的几何图形，甚至可以对部分重点图形结构、辅助线等进行色彩标注，也可以选择设置闪烁效果，使其更为突出;利用“几何画板”构造的立体图形，可以旋转，学生能够清晰地看到图形的多个角度，这与传统教学方式中只能呈现图形的一个角度显著不同;利用“几何画板”可以将图形动态变化，有利于学生深入理解几何图形的面积、体积公式. 三、利用“几何画板”进行发现式探究活动，培养学生团结协作、解决问题的能力
高中数学中有很多教学难点，为了突破教学难点，教师可以让学生参与到精心设计的实验探究活动中.学生以问题为载体，在教师的引导下进行组内探究学习，体验探究学习的乐趣，同时培养分析、解决、转化问题的能力.
例如，在探究“三角形解的个数”时，对如下问题进行变形转换：
问题：在△ABC中，已知A=30°，a=1，b=2，求B;
变式1：在△ABC中，已知A=30°，a=12，b=2，求B;
变式2：在△ABC中，已知A=30°，a=3，b=2，求B;
变式3：在△ABC中，已知A=30°，a=32，b=2，求B;
变式4：在△ABC中，已知A=120°，a=3，b=2，求B;
变式5：在△ABC中，已知A=120°，a=1，b=2，求B.
探究：在三角形中，若两边和其中一边的对角已知，那么在怎样的情况下，求另一边对角时会出现两解的情况？一解、 无解呢？学生分组探究，合作交流，教师利用“几何画板”进行探究和验证（如下图）.
问题：一个解变式1：无解
变式2：一个解变式3：两个解
变式4：一个解变式5：无解
在探究阶段，教师借助“几何画板”的动画模拟功能，可以简洁而直观地揭示出三角形解的情况，在此基础上引导学生进行探究性问题的研究设计.此时，对于学生来说，数学学习变成了一种数学实验，大大提高了其学习积极性和解決实际问题的能力.
在研究三角函数y=Asin（ωx φ）的图像时，教师可以组织学生进行自主探究.学校要为学生创造进入电脑教室学习的机会，同时给学生电脑安装“几何画板”软件.学生可以分组进行探究，各小组探究y=Asin（ωx φ）的参数A，ω，φ的变化对函数图像的形状和位置的影响.如在“几何画板”中画出y=sin x，y=2sin x，y=3sin x，y=12sin x，y=13sin x的图像（如下图），合作探究参数A的变化对函数图像有什么影响.
学生以“几何画板”为平台进行演示、探究，合作、交流，并归纳总结，最终得出结论.这样的教学不但直观、灵活地揭示了知识之间的内在联系，也为学生提供了动手机会，可以让学生在实践中习得真正的知识.
总而言之，“几何画板”在高中数学教学课堂上可以发挥辅助工具的作用，教师利用“几何画板”进行教学能够将现代信息技术与数学学科相互融合，为学生创设自由的学习环境，帮助学生更好地学习知识、提高自身能力.
【参考文献】
[1]陶维林.几何画板实用范例教程[M].北京：清华大学出版社，2013.
[2]谢尚鸽.几何画板有效融入高中数学课堂教学的研究与实践[J].中国校外教育，2010（06）：83-84.
[3]刘虹.几何画板在高中数学教学中的应用[J].中国现代教育装备，2010（08）：54-57.