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摘要：概念的关键教学点即一个根本或核心的教学点，是把握概念的一个突破口。抓住概念关键教学点能起到“奠基（知识）、示范（方法）、引领（能力）、启迪（思想）”的作用。本文以“三角函数的概念”为例阐述如何把握教学关键点，发展学生的数学抽象思维。
关键词：概念教学;关键教学点;教学过程，数学抽象思维
中图分类号：G633.6 文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）07-094
所谓“关键教学点”是指一个根本的或核心的教学点，从知识或思想方法上对其他数学知识的学习有一定统领或较强迁移作用的教学点，它在教学过程中能起到“奠基（知识）、示范（方法）、引领（能力）、启迪（思想）”的作用。加强“关键教学点”的教学，有利于学生更好地掌握基础知识、基本技能、基本思想，形成基本活动经验的能力。[1]三角函数的概念是高中数学教学的一个核心概念，是学生利用直角三角形表示锐角三角函数的升级，是对函数概念的加深。因此锐角三角函数及函数的概念是本节课的关键教学点，而如何在学生原有认知的基础上，借助直角三角形、直角坐标系和单位圆，三位一体共同刻画出三角函数的概念是突破这一教学关键点的方法。下面，笔者将以“三角函数的概念”为例阐述如何把握概念教学关键点，发展学生的数学抽象思维。
一、经历实物表征过程，发展感性认知
周期现象一般与周期运动有关，一个常见又简单的例子便是“圆周上一个点的运动”。
问题1：以摩天轮中心为参照物，如何刻画坐在摩天轮里面的人的位置？
我们所学习的函数模型中有没有能刻画这种周而复始的变化？
你能否把问题抽象成数学问题？
设计意图：该环节把抽象的数学概念以典型、生动、具体的实例呈现给学生，然后在直观感知和认知经验的基础上提炼出问题的本质。让学生通过生活实例对事物进行表征，从中抽象出数学的研究对象;通过对问题一般性的思考和分析，初步发展学生的感性认知;通过用数学的眼光看世界，以达到培养学生数学抽象的思维方式的目标。
二、经历图形表征过程，丰富表象认知
问题2：如图，圆上一点P在以A为起点逆时针旋转的过程中，如何刻画点P的位置变化情况？
学生探究讨论，产生两种方案，方案1，可以以O为原点建立直角坐标系，那么点P的位置可以由点P的坐标（x，y）表示，方案2，点P的位置由半径和∠POA确定。设半径为r，∠POA为α，则点P的位置可表示为（r，α）。
问题3：既然两种方法都可以用来表示点P的位置，两者之间由什么内在联系？
设计意图：让学生明确所研究实际问题的数学背景，从两个不同的视角来表示点P，培养学生有意识地用数学的语言来表达世界。
问题4：为了简化上述问题，先设α为锐角，过P做PM垂直x轴，在锐角三角形POM中，角α与三角形的对边、邻边、斜边有什么关系？
设计意图：培养学生将复杂的问题简单化的思维习惯，在已有的锐角三角函数的知识的基础上进一步探索，得到角α的正弦值、余弦值和正切值：sinα=yr，cosα=xr，tanα=yx。可见，锐角三角函数是本节课的一个关键教学点，通过在直角三角形中研究锐角的三角函数值，对锐角三角函数知识进行回顾，方法进行示范，从而进行思想引领，由浅入深，循序渐进引出任意角的三角函数。
问题5：对于锐角α，当点P在α的终边上运动时，α的正弦值、余弦值和正切值会发生改变吗？
设计意图：引导学生利用相似三角形，发现终边上点的位置不会改变对应边的比值，即对三角函数值没有影响，在发现的过程中促进学生逻辑推理和数学抽象等核心素养的形成和发展。
问题6：上述比值与哪个量有关？
设计意图：α确定了，对应边之间的比值就确定了，α与对应边比值之间形成了一种一一对应关系，即对于任意的锐角α，有且只有唯一的yr与之对应，初步以函数概念的模式对表达式进行阐述。
问题7：既然终边上一点P的位置不会影响α的三角函数值，那么能否在终边上选取适当的点P，使表达式简化？
设计意图：当点P位于终边与单位圆的交点，即r=1表达式最简，自然过渡到单位圆，由此得到，sinα=y，cosα=x，tanα=yx让学生感受数学的简洁美。
问题8：与锐角终边相同的角，上述表达式是否依然成立？
问题9：α的终边在二、三、四象限，上述表达式是否依然成立？
设计意图：抓住锐角三角函数这一教学关键点，从特殊到一般，从对锐角三角函数的研究，过渡到对终边相同的角的研究，到对二、三、四象限角的研究，层层深入把角过渡到任意角，帮助学生突破从锐角三角函数到任意角的三角函数的这一教学难点。
三、经历符号表征过程，形成抽象思维
问题10：探究x，y的值随α的变化情况，x，y的值是否由α唯一确定？
通过几何画板的演示，让学生观察x，y的值随α的变化过程，并发现x，y的值由α唯一确定。
问题11：α→y是一种什么样的对应关系？
一般的，任意给定一个角α，它的终边与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标x，还是纵坐标y，都是唯一确定的。所以，点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数。
設计意图：α既是一个角，又是一个实数（弧度制），这样，当α确定时，有且只有唯一确定的y与之对应。如果在一个数集当中的任意一个元素，在另一个数集当中都有唯一确定的元素与之对应，则这就是函数关系。此时，α的正弦值就与y之间建立了函数关系，同理，α的余弦值就与x之间建立了函数关系，α的正切值与yx之间建立了函数关系。通过学生的动手探索、小组讨论，引导学生与其他已有函数感念进行类比，观察总结出α→y的对应本质上是函数的对应，从而归纳、建构出三角函数的概念。培养学生在关联情境中，发现、提出并解决问题的能力。 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y）。
（1）把点P的纵坐标y叫作α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα;
（2）把点P的横坐标x叫作α的余弦函数，记作sinα，即x=cosα;
（3）把点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫作α的正切函数，记作tanα，即yx=tanα（x≠0）。[2]
设计意图：新课标建议教师从知识、思想方法、素养的角度整体把握课程内容，从关注一节课、一节课的教学到更大范围（如一个单元、一章、一个主题）的教学，促进学生数学学科核心素养连续性和阶段性發展[3]。就本节课而言，函数概念关键教学点，任意角的三角函数是函数的一个下位概念，因此教学设计上应该将三角函数纳入函数的定义体系中，用研究一般函数的方法来研究任意角的三角函数，从而体现知识、方法和素养的整体性与连贯性[4]。
综上所述，本节课的设计从摩天轮上的游客入手，抽象成圆上点的位置;教学过程牢牢抓住研究（r，α）和（x，y）的内在联系，抽象出锐角三角形中边角的关系，进而推广到任意角的三角函数的表示方法;通过分析角与坐标的对应关系，抽象出这种对应本身就是一种函数关系，水到渠成得出三角函数的概念。这样的设计让学生通过自己的独立思考以及与他人的讨论与反思，自己悟出概念;通过一系列符号的表征，用数学思维分析、解决问题，用数学的语言表达世界，不断培养学生的抽象思维能力。
参考文献：
[1]李晓华，邵琼.“教学关键点”视角下培养学生数学核心素养的实践与思考——以“任意角的三角函数”为例[J].中学数学研究，2020（09）：14-16.
[2]章建跃，李增沪.普通高中教科书·数学（必修）：第一册[M].A版.北京：人民教育出版社，2019.
[3]史宁中，王尚志主编.普通高中数学课程标准（2017年版）解读冈.北京：高等教育出版社，2018（05）.
[4]刘宏英.核心素养理念下的概念教学——以“任意角的三角函数（第一课时）”同课异构为例[J].高中数学教与学，2020（12）20-21.
本文系江苏省十三五规划课题《指向“数学抽象”核心素养的核心概念教学的实践研究》（批准号：XB-b/2018/05）和苏州市十三五规划课题《构建数学核心概念与思想方法资源库，优化高中数学教与学的研究》（批准号苏教科规验字第16122377）成果。
（作者单位：江苏省沙溪高级中学，江苏 太仓215400）
关键词：概念教学;关键教学点;教学过程，数学抽象思维
中图分类号：G633.6 文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）07-094
所谓“关键教学点”是指一个根本的或核心的教学点，从知识或思想方法上对其他数学知识的学习有一定统领或较强迁移作用的教学点，它在教学过程中能起到“奠基（知识）、示范（方法）、引领（能力）、启迪（思想）”的作用。加强“关键教学点”的教学，有利于学生更好地掌握基础知识、基本技能、基本思想，形成基本活动经验的能力。[1]三角函数的概念是高中数学教学的一个核心概念，是学生利用直角三角形表示锐角三角函数的升级，是对函数概念的加深。因此锐角三角函数及函数的概念是本节课的关键教学点，而如何在学生原有认知的基础上，借助直角三角形、直角坐标系和单位圆，三位一体共同刻画出三角函数的概念是突破这一教学关键点的方法。下面，笔者将以“三角函数的概念”为例阐述如何把握概念教学关键点，发展学生的数学抽象思维。
一、经历实物表征过程，发展感性认知
周期现象一般与周期运动有关，一个常见又简单的例子便是“圆周上一个点的运动”。
问题1：以摩天轮中心为参照物，如何刻画坐在摩天轮里面的人的位置？
我们所学习的函数模型中有没有能刻画这种周而复始的变化？
你能否把问题抽象成数学问题？
设计意图：该环节把抽象的数学概念以典型、生动、具体的实例呈现给学生，然后在直观感知和认知经验的基础上提炼出问题的本质。让学生通过生活实例对事物进行表征，从中抽象出数学的研究对象;通过对问题一般性的思考和分析，初步发展学生的感性认知;通过用数学的眼光看世界，以达到培养学生数学抽象的思维方式的目标。
二、经历图形表征过程，丰富表象认知
问题2：如图，圆上一点P在以A为起点逆时针旋转的过程中，如何刻画点P的位置变化情况？
学生探究讨论，产生两种方案，方案1，可以以O为原点建立直角坐标系，那么点P的位置可以由点P的坐标（x，y）表示，方案2，点P的位置由半径和∠POA确定。设半径为r，∠POA为α，则点P的位置可表示为（r，α）。
问题3：既然两种方法都可以用来表示点P的位置，两者之间由什么内在联系？
设计意图：让学生明确所研究实际问题的数学背景，从两个不同的视角来表示点P，培养学生有意识地用数学的语言来表达世界。
问题4：为了简化上述问题，先设α为锐角，过P做PM垂直x轴，在锐角三角形POM中，角α与三角形的对边、邻边、斜边有什么关系？
设计意图：培养学生将复杂的问题简单化的思维习惯，在已有的锐角三角函数的知识的基础上进一步探索，得到角α的正弦值、余弦值和正切值：sinα=yr，cosα=xr，tanα=yx。可见，锐角三角函数是本节课的一个关键教学点，通过在直角三角形中研究锐角的三角函数值，对锐角三角函数知识进行回顾，方法进行示范，从而进行思想引领，由浅入深，循序渐进引出任意角的三角函数。
问题5：对于锐角α，当点P在α的终边上运动时，α的正弦值、余弦值和正切值会发生改变吗？
设计意图：引导学生利用相似三角形，发现终边上点的位置不会改变对应边的比值，即对三角函数值没有影响，在发现的过程中促进学生逻辑推理和数学抽象等核心素养的形成和发展。
问题6：上述比值与哪个量有关？
设计意图：α确定了，对应边之间的比值就确定了，α与对应边比值之间形成了一种一一对应关系，即对于任意的锐角α，有且只有唯一的yr与之对应，初步以函数概念的模式对表达式进行阐述。
问题7：既然终边上一点P的位置不会影响α的三角函数值，那么能否在终边上选取适当的点P，使表达式简化？
设计意图：当点P位于终边与单位圆的交点，即r=1表达式最简，自然过渡到单位圆，由此得到，sinα=y，cosα=x，tanα=yx让学生感受数学的简洁美。
问题8：与锐角终边相同的角，上述表达式是否依然成立？
问题9：α的终边在二、三、四象限，上述表达式是否依然成立？
设计意图：抓住锐角三角函数这一教学关键点，从特殊到一般，从对锐角三角函数的研究，过渡到对终边相同的角的研究，到对二、三、四象限角的研究，层层深入把角过渡到任意角，帮助学生突破从锐角三角函数到任意角的三角函数的这一教学难点。
三、经历符号表征过程，形成抽象思维
问题10：探究x，y的值随α的变化情况，x，y的值是否由α唯一确定？
通过几何画板的演示，让学生观察x，y的值随α的变化过程，并发现x，y的值由α唯一确定。
问题11：α→y是一种什么样的对应关系？
一般的，任意给定一个角α，它的终边与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标x，还是纵坐标y，都是唯一确定的。所以，点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数。
設计意图：α既是一个角，又是一个实数（弧度制），这样，当α确定时，有且只有唯一确定的y与之对应。如果在一个数集当中的任意一个元素，在另一个数集当中都有唯一确定的元素与之对应，则这就是函数关系。此时，α的正弦值就与y之间建立了函数关系，同理，α的余弦值就与x之间建立了函数关系，α的正切值与yx之间建立了函数关系。通过学生的动手探索、小组讨论，引导学生与其他已有函数感念进行类比，观察总结出α→y的对应本质上是函数的对应，从而归纳、建构出三角函数的概念。培养学生在关联情境中，发现、提出并解决问题的能力。 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y）。
（1）把点P的纵坐标y叫作α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα;
（2）把点P的横坐标x叫作α的余弦函数，记作sinα，即x=cosα;
（3）把点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫作α的正切函数，记作tanα，即yx=tanα（x≠0）。[2]
设计意图：新课标建议教师从知识、思想方法、素养的角度整体把握课程内容，从关注一节课、一节课的教学到更大范围（如一个单元、一章、一个主题）的教学，促进学生数学学科核心素养连续性和阶段性發展[3]。就本节课而言，函数概念关键教学点，任意角的三角函数是函数的一个下位概念，因此教学设计上应该将三角函数纳入函数的定义体系中，用研究一般函数的方法来研究任意角的三角函数，从而体现知识、方法和素养的整体性与连贯性[4]。
综上所述，本节课的设计从摩天轮上的游客入手，抽象成圆上点的位置;教学过程牢牢抓住研究（r，α）和（x，y）的内在联系，抽象出锐角三角形中边角的关系，进而推广到任意角的三角函数的表示方法;通过分析角与坐标的对应关系，抽象出这种对应本身就是一种函数关系，水到渠成得出三角函数的概念。这样的设计让学生通过自己的独立思考以及与他人的讨论与反思，自己悟出概念;通过一系列符号的表征，用数学思维分析、解决问题，用数学的语言表达世界，不断培养学生的抽象思维能力。
参考文献：
[1]李晓华，邵琼.“教学关键点”视角下培养学生数学核心素养的实践与思考——以“任意角的三角函数”为例[J].中学数学研究，2020（09）：14-16.
[2]章建跃，李增沪.普通高中教科书·数学（必修）：第一册[M].A版.北京：人民教育出版社，2019.
[3]史宁中，王尚志主编.普通高中数学课程标准（2017年版）解读冈.北京：高等教育出版社，2018（05）.
[4]刘宏英.核心素养理念下的概念教学——以“任意角的三角函数（第一课时）”同课异构为例[J].高中数学教与学，2020（12）20-21.
本文系江苏省十三五规划课题《指向“数学抽象”核心素养的核心概念教学的实践研究》（批准号：XB-b/2018/05）和苏州市十三五规划课题《构建数学核心概念与思想方法资源库，优化高中数学教与学的研究》（批准号苏教科规验字第16122377）成果。
（作者单位：江苏省沙溪高级中学，江苏 太仓215400）