数形结合在高考中占有非常重要的地位,纵观近几年高考试题,无论在函数、向量、解析几何和立体几何等方面都得以体现。应用数形结合,可使复杂问题简单化、抽象问题具体化,起到事半功倍的效果。是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法。
　　例1已知点A(3,0)、B(0,3)、C(cosα、sinα)α∈(■,■),求角α的值。
　　本题由两向量的模相等,用代数法解其实也不难。但当我们把模相等转化为点C到A、B两点的距离相等,可得点C在线段AB的中垂线y=x上,很快可得α=■。
　　例2 已知双曲线的顶点到渐进线的距离为2,焦点到渐进线的距离为6,则该双曲线的离心率为。
　　e=■=■=3。
　　例3已知sinα>sinβ,那么下列命题正确的是( )
　　A.若α、β是第一象限角,则cosα>cosβ。
　　B.若α、β是第二象限角,则tanα>tanβ。
　　C.若α、β是第三象限角,则cosα>cosβ。
　　D.若α、β是第四象限角,则tanα>tanβ。
　　分析考察选项A,作单位圆,如图,OA、OB分别为角α、β的终边,∵OC为α的余弦线,OD为β的余弦线,则有cosα>cosβ,知A错,依次判断知选D。
　　例4函数u=■+■的值域是 。
　　分析 此题用一般的方法很难求出u的范围。由于右端根号内同为一次函数,故可令x=■,y=■消去t得:x2+2y2=16■所给函数化为含参数u的直线系y=-x+u,它与椭圆x2+2y2=16(在第一象限的部分,包括端点)右公共点。如图知umin=2■,当直线与椭圆相切于第一象限时u取最大值,此时由方程组■得3x2-4ux+u2-16=0,由△=0?圳u=±2■,因直线过第一象限,∴umax=2■故所求函数的值域为2■,2■。
　　例5已知实数x、y满足不等式组■,求函数z=■的值域。
　　思路分析 由解析几何知识可知,所给的不等式组表示圆x2+y2=4的右半圆(含边界),z=■可改写为y+3=z(x+1),把z看作参数,则此方程表示过定点p(-1,-3),斜率为z的直线族。则所求问题的几何意义是:求过半圆域x2+y2≤4(x≥0)内或边界上任一点与点p(-1,-3)的直线斜率的最大、最小值。由图显见,过点P和点A(0,2)的直线斜率最大,zmax=■=5。过点P向半圆作切线,切线的斜率最小。设切点为B(a,b),则过B点的切线方程为ax+by=4。又B在半圆周上,P在切线上。综上可知函数的值域为■,5。
　　数形结合思想实际上包含“以形辅数”和“以数辅形”两个方面,及把问题的数量关系和图形性质结合起来考察。但在应用过程中还必须注意以下几个问题:
　　1.形的准确性,这是数形结合的基础;
　　2.数形结合,贵在结合,要充分发挥两者的优势,形有直观、形象的特点,但代替不了具体的运算和证明。而数才是其真正的主角,若忽视这一点,很容易造成数行结合的谬用。(作者单位陕西省合阳县合阳中学)责任编辑 杨博