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一、什么是数学建模
数学建模是对于现实世界的一个特定的对象,为了一个特定的目的,根据特有的内在规律,作出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。从广义上说,数学模型是从现实世界抽象出来的,是对客观事物的某些属性的一个近似反映。例如:数学中的各种概念、公式、方程式、理论体系与算法系统等,因为它们都是现实世界的原型抽象出来的,因而都是现实世界的数学模型。从狭义上说,只有反映特定问题或特定的具体事物系统的数学结构才叫数学模型。在应用数学中,数学模型一般指狭义的理解,目的在于解决具体的实际问题。
二、建模的方法
数学的方法很多,但从理论上讲,主要有以下两种方法:机理建模方法:利用物理、化学、生物学、经济学、社会学原理建立起数学模型的方法。系统辨识建模方法:直接利用观察数据,根据一定的优良性准则在模型集中找出与数据拟合得最好的模型。这种方法在建立过程控制模型中是常用的。
三、數学建模的一般步骤
数学建模乍一听似乎很高深,但实际上并非如此。例如,在中学的数学课程中,我们在做应用题而列出的数学式子就是简单的数学模型,而做题的过程就是在进行简单的数学建模。下面我们用一道代数应用题求解过程来说明数学建模的步骤。例题:一个笼子里装有鸡和兔若干只,已知它们共有8个头和22只脚,问该笼子中有多少只鸡和多少只兔?
解:设笼中有鸡x只,有兔y只,由已知条件有:
x y=82x 4y=22。
求解如上二元方程组后,解得x=5,y=3,即该笼子中有鸡5只,有兔3只。将此结果代入原题进行验证可知:所求结果正确。根据例题可以得出如下的数学建模步骤。
1.建模准备。要求建模者深刻了解实际问题的背景,明确建模的目的,进行深入细微的调查研究,尽量掌握建模对象的各种信息和数据,找寻实际问题的内在规律。
2.作假设。现实问题涉及面广,数学模型不能面面俱到,应该把实际问题适当地简单化或理想化。这就必须作一定的假设,注意假设应该符合实际背景。
3.建立模型。根据问题的要求和假设,利用恰当的数学方法建立各种量之间的数学关系。建立数学模型时应使用何种方法,应视实际问题而定。
4.模型求解。包括求解各种类型的方程,大多数模型求解需要利用计算机计算,求解还包括画图、列表和证明定理,以及制作计算机软件,等等。
5.讨论和验证。根据模型的特点和模型求解结果,进行分析讨论,如算法的稳定性、精度影响。根据计算结果对问题作出解答、预测或提供最优决策和控制方案,最后将模型的结果与实际情况相比较,检验模型是否合理,说明模型的使用范围及注意事项。
6.模型的应用。把得到的数学模型应用到实际问题中去。建立模型是一个过程,不是一种死板的步骤,如果在讨论和验证时发现模型确实合理,当然可将模型投入应用,如果发现模型不合理,那就必须修改,重新建模,重新求解,再作验证,这一过程可以循环往复,直到获得满意的结果为止。
四、中学数学应用问题与数学建模的差异
中学数学应用问题与数学建模都是为了培养学生应用数学解决实际问题的能力,从步骤上看也有许多相似之处,然而两者都有着层次上的差别,存在着质的差异。
1.中学数学应用问题是数学专家和命题者经过精心加工提炼出来的,问题比较明确,问题中给出的条件一般是充分的。而数学建模的问题直接来自实际,问题中的条件往往是不充分的,有时甚至要求学生自己动手来收集数据。
2.在数学建模过程中为了使问题更明确,作一定的假设是必须的,然而在解决中学数学应用题时,一般不需要假设。
3.数学建模的讨论与论证,比解中学数学应用问题的验证要复杂得多。不仅要验证是否有增根或不符题意的根,而且要考查他们与假设是否矛盾,与实际情况是否吻合等。
4.中学数学应用问题只要求写出答案,而数学建模需要写一篇报告文章来总结。
5.数学建模比中学数学应用问题更能贴近日常生活和生产实际,具有更高的科研价值。有这样一个例子:一池塘两端有A、B两点,要测量AB的长有什么办法?首先我让大家思考,想办法。有的说用尺子量,有的说坐在船上把尺子牵到对岸,等等。首先,我对他们的回答作出了肯定,但又指出其不足。我问:“如果尺子没有这么长,池塘中怎么能用船?还有没有其他更好的方法呢?”学生又积极思考,积极讨论。我又进一步提示:“要是能将AB这条线段移到岸上就好了。该怎么移呢?可以用什么知识呢?”此时,反应快的学生马上想到了三角形全等……于是,我一步步地将学生从实践问题引入到数学知识。我们可以在岸边任取一点O,在连接AO,并延长到C,使AO=CO,连接BO,并延长到D,使BO=DO,然后连接CD,那么CD的长就是AB的长。你能知道为什么吗?这样建立了数学模型以后,绝大部分学生都已找到了结论,然后利用某一个实践,让学生亲自体验一下,尝一尝数学的乐趣,而且数学建模的思想、实践能力都得到了进一步的提高,调动了学生的非智力因素,潜移默化地培养了学生的学习积极性。
五、中学数学应用问题与数学建模的差异给我们的反思
中学数学应用问题与数学建模的教学影响是深远的,随着中学数学应用问题与数学建模的教学的逐步实施,数学知识应用竞赛的逐年开展,其深刻影响将逐步显现出来。
1.中学数学应用问题与数学建模的教学推动了数学教学改革。过去那种封闭式的题海教学方法将受到越来越大的冲击,数学建模教学给中学数学应用问题教学指明了方向。数学建模教学要求学生掌握观察事物、归结数学问题的能力。这种能力的培养是与21世纪的科技发展相适应的,而且是必需的。一些渗透数学建模思想的试题也在各类升学考试中出现,推动了数学教材教法的改革。
2.中学数学应用问题与数学建模的教学是一种素质教育。相当多的学生对用数学解决实际问题,比做纯粹的数学题更有兴趣、更有积极性。数学建模竞赛要求学生具有协作精神,能互相配合、克服困难,这正是现代科学研究中要求和提倡的团队精神。中学数学应用问题与数学建模的教学还能逐步培养学生做学问,善于思考的品质。中学数学应用问题的教学与数学建模正好是学数学、做数学、用数学的过程,它体现了学和用的统一。
3.中学数学应用问题与数学建模所涉及的问题都是与日常生活或科学技术相关的问题,是对学生数学、语文、外语、计算机运用能力的全面考核,这样打破了学科界限,为共同研究问题开了先河,对中学各科教学起了不可替代的作用,促进了学生的全面发展。
数学建模是对于现实世界的一个特定的对象,为了一个特定的目的,根据特有的内在规律,作出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。从广义上说,数学模型是从现实世界抽象出来的,是对客观事物的某些属性的一个近似反映。例如:数学中的各种概念、公式、方程式、理论体系与算法系统等,因为它们都是现实世界的原型抽象出来的,因而都是现实世界的数学模型。从狭义上说,只有反映特定问题或特定的具体事物系统的数学结构才叫数学模型。在应用数学中,数学模型一般指狭义的理解,目的在于解决具体的实际问题。
二、建模的方法
数学的方法很多,但从理论上讲,主要有以下两种方法:机理建模方法:利用物理、化学、生物学、经济学、社会学原理建立起数学模型的方法。系统辨识建模方法:直接利用观察数据,根据一定的优良性准则在模型集中找出与数据拟合得最好的模型。这种方法在建立过程控制模型中是常用的。
三、數学建模的一般步骤
数学建模乍一听似乎很高深,但实际上并非如此。例如,在中学的数学课程中,我们在做应用题而列出的数学式子就是简单的数学模型,而做题的过程就是在进行简单的数学建模。下面我们用一道代数应用题求解过程来说明数学建模的步骤。例题:一个笼子里装有鸡和兔若干只,已知它们共有8个头和22只脚,问该笼子中有多少只鸡和多少只兔?
解:设笼中有鸡x只,有兔y只,由已知条件有:
x y=82x 4y=22。
求解如上二元方程组后,解得x=5,y=3,即该笼子中有鸡5只,有兔3只。将此结果代入原题进行验证可知:所求结果正确。根据例题可以得出如下的数学建模步骤。
1.建模准备。要求建模者深刻了解实际问题的背景,明确建模的目的,进行深入细微的调查研究,尽量掌握建模对象的各种信息和数据,找寻实际问题的内在规律。
2.作假设。现实问题涉及面广,数学模型不能面面俱到,应该把实际问题适当地简单化或理想化。这就必须作一定的假设,注意假设应该符合实际背景。
3.建立模型。根据问题的要求和假设,利用恰当的数学方法建立各种量之间的数学关系。建立数学模型时应使用何种方法,应视实际问题而定。
4.模型求解。包括求解各种类型的方程,大多数模型求解需要利用计算机计算,求解还包括画图、列表和证明定理,以及制作计算机软件,等等。
5.讨论和验证。根据模型的特点和模型求解结果,进行分析讨论,如算法的稳定性、精度影响。根据计算结果对问题作出解答、预测或提供最优决策和控制方案,最后将模型的结果与实际情况相比较,检验模型是否合理,说明模型的使用范围及注意事项。
6.模型的应用。把得到的数学模型应用到实际问题中去。建立模型是一个过程,不是一种死板的步骤,如果在讨论和验证时发现模型确实合理,当然可将模型投入应用,如果发现模型不合理,那就必须修改,重新建模,重新求解,再作验证,这一过程可以循环往复,直到获得满意的结果为止。
四、中学数学应用问题与数学建模的差异
中学数学应用问题与数学建模都是为了培养学生应用数学解决实际问题的能力,从步骤上看也有许多相似之处,然而两者都有着层次上的差别,存在着质的差异。
1.中学数学应用问题是数学专家和命题者经过精心加工提炼出来的,问题比较明确,问题中给出的条件一般是充分的。而数学建模的问题直接来自实际,问题中的条件往往是不充分的,有时甚至要求学生自己动手来收集数据。
2.在数学建模过程中为了使问题更明确,作一定的假设是必须的,然而在解决中学数学应用题时,一般不需要假设。
3.数学建模的讨论与论证,比解中学数学应用问题的验证要复杂得多。不仅要验证是否有增根或不符题意的根,而且要考查他们与假设是否矛盾,与实际情况是否吻合等。
4.中学数学应用问题只要求写出答案,而数学建模需要写一篇报告文章来总结。
5.数学建模比中学数学应用问题更能贴近日常生活和生产实际,具有更高的科研价值。有这样一个例子:一池塘两端有A、B两点,要测量AB的长有什么办法?首先我让大家思考,想办法。有的说用尺子量,有的说坐在船上把尺子牵到对岸,等等。首先,我对他们的回答作出了肯定,但又指出其不足。我问:“如果尺子没有这么长,池塘中怎么能用船?还有没有其他更好的方法呢?”学生又积极思考,积极讨论。我又进一步提示:“要是能将AB这条线段移到岸上就好了。该怎么移呢?可以用什么知识呢?”此时,反应快的学生马上想到了三角形全等……于是,我一步步地将学生从实践问题引入到数学知识。我们可以在岸边任取一点O,在连接AO,并延长到C,使AO=CO,连接BO,并延长到D,使BO=DO,然后连接CD,那么CD的长就是AB的长。你能知道为什么吗?这样建立了数学模型以后,绝大部分学生都已找到了结论,然后利用某一个实践,让学生亲自体验一下,尝一尝数学的乐趣,而且数学建模的思想、实践能力都得到了进一步的提高,调动了学生的非智力因素,潜移默化地培养了学生的学习积极性。
五、中学数学应用问题与数学建模的差异给我们的反思
中学数学应用问题与数学建模的教学影响是深远的,随着中学数学应用问题与数学建模的教学的逐步实施,数学知识应用竞赛的逐年开展,其深刻影响将逐步显现出来。
1.中学数学应用问题与数学建模的教学推动了数学教学改革。过去那种封闭式的题海教学方法将受到越来越大的冲击,数学建模教学给中学数学应用问题教学指明了方向。数学建模教学要求学生掌握观察事物、归结数学问题的能力。这种能力的培养是与21世纪的科技发展相适应的,而且是必需的。一些渗透数学建模思想的试题也在各类升学考试中出现,推动了数学教材教法的改革。
2.中学数学应用问题与数学建模的教学是一种素质教育。相当多的学生对用数学解决实际问题,比做纯粹的数学题更有兴趣、更有积极性。数学建模竞赛要求学生具有协作精神,能互相配合、克服困难,这正是现代科学研究中要求和提倡的团队精神。中学数学应用问题与数学建模的教学还能逐步培养学生做学问,善于思考的品质。中学数学应用问题的教学与数学建模正好是学数学、做数学、用数学的过程,它体现了学和用的统一。
3.中学数学应用问题与数学建模所涉及的问题都是与日常生活或科学技术相关的问题,是对学生数学、语文、外语、计算机运用能力的全面考核,这样打破了学科界限,为共同研究问题开了先河,对中学各科教学起了不可替代的作用,促进了学生的全面发展。